Engalin Ennangal

By Pie Mathematics Association

அறிவு அல்ல; அனுபவம்

கணிதம் குறித்த எளிமையான, ஆர்வத்தை வளர்க்கும் நூல்களை ஆங்கிலத்தில் பார்க்கும் போதும், படிக்கும் போதும் 'எம் தமிழ் நண்பர்களுக்கு தமிழில் இவற்றை வாசிக்கும் வாய்ப்பு கிடைப்பதில்லையே' என்கின்ற ஏக்கம் ஆழமாக என் மனத்தில் எழுவதுண்டு. அக்குறையைத் தீர்க்கும் மகத்தான பணியை திரு. சிவராமன் அவர்கள் செய்து வருவது தெரிந்து மனம் எழுந்து நின்று மரியாதை செலுத்தியது.

பணத்தைக் கூட தருவதற்கு தயாராக இருப்பவர்கள், அறிவைப் பகிர்ந்து தரத் தயாராக இருக்க மாட்டார்கள். ஏனென்றால், பணம் செலவழிந்துவிட்ட பிறகு நம்மிடமே அவர்கள் திரும்ப வருவார்கள். ஆனால் அறிவு சேமிக்கக் கூடியதாகவும், வளர்வதாகவும் இருக்கும் வற்றாத ஊற்று.

தன் அறிவைத் தன்னுடைய முதலீடாக மட்டும் மாற்றிக்கொள்ளாமல் அனைவரையும் அதில் பங்குதாரர்களாக ஆக்கும் முயற்சியாக 'எண்களின் எண்ணங்கள்' என்கிற அற்புதமான அறிவுக் களஞ்சியம் அவர்களிடமிருந்து விளைந்திருக்கிறது. அதன் ஒவ்வொரு பக்கமும் பரவசமூட்டுகிறது.

நூலில் வாசிப்பதை மிக நேர்த்தியாக முன்னகர்த்திச் செல்ல உதவுகின்றன வண்ணப்படங்கள். வர்க்க எண்களை அறிய உதவும் கட்டம் மிகுந்த சிறப்பு. இரட்டை எண், ஒற்றை எண் போன்றவற்றை அவர் விளக்கக் கொடுத்துள்ள படங்கள் சின்னஞ்சிறு பிள்ளைகளுக்கும் வாசிப்பை சுலபமாக்கும். அவர் நமக்குத் தெரியாத பல தமிழ் கணிதச் சொற்களை அறிமுகப்படுத்தி, இதனை அருஞ்சொற்பொருட் களஞ்சியமாகவும் ஆக்கியிருக்கிறார். இது தமிழ் ஆட்சி மொழிப் பயன்பாட்டிற்கும் உதவும்.

'வாழ்வோடு தொடர்பில்லாத எந்த அறிவும் பயனற்றது' என்றே கருதவேண்டும். ஒருவர் கணித வடிவியல் மூலம் தன் நிலத்தை உழுவதற்கு எந்த வடிவத்தில் தன் பயிர்களை அமைத்தால் அதிக பரப்பு கிடைக்கும் என்பதையறிந்தால், அதிக லாபம் ஈட்ட முடியும் என்று அவர் உதாரணம் தருகிறார்.

'பை கணித மன்றம்' என்ற அமைப்பின் பணிகள் பாராட்டுக்குரியவை. இது போன்ற நூல்கள் வெளிவரும் பொழுது தமிழ்நாட்டில் கணிதமேதைகள் உருவாவதற்கு வாய்ப்புகள் அதிகம். குறைந்த விலையில் நிறைந்த தகவல்களை, 'மலர்களிலிருந்து மகரந்தம் சேகரிக்கும் தேனீக்கள்' போல பை கணித மன்றத்தார் செயல்படுகிறார்கள்.

முனைவர் வெ.இறையண்பு IAS.

செயலாளர்

பணியாளர் மற்றும் நிர்வாக சீர்திருத்தத்துறை

தலைமைச் செயலகம்,

சென்னை-9

• Language: தமிழ்
• Publisher: Pustaka Digital Media
• Release date: Aug 12, 2019
• ISBN: 6580113101742

Book preview

http://www.pustaka.co.in

எண்களின் எண்ணங்கள்

Engalin Ennangal

Author:

இரா. சிவராமன்

R. Sivaraman

For other books

http://www.pustaka.co.in/home/author/r-sivaraman

Digital/Electronic Copyright © by Pustaka Digital Media Pvt. Ltd.

All other copyright © by Author.

All rights reserved. This book or any portion thereof may not be reproduced or used in any manner whatsoever without the express written permission of the publisher except for the use of brief quotations in a book review.

எண்களின் எண்ணங்கள்

அணிந்துரை

அறிவு அல்ல; அனுபவம்

கணிதம் குறித்த எளிமையான, ஆர்வத்தை வளர்க்கும் நூல்களை ஆங்கிலத்தில் பார்க்கும் போதும், படிக்கும் போதும் 'எம் தமிழ் நண்பர்களுக்கு தமிழில் இவற்றை வாசிக்கும் வாய்ப்பு கிடைப்பதில்லையே' என்கின்ற ஏக்கம் ஆழமாக என் மனத்தில் எழுவதுண்டு. அக்குறையைத் தீர்க்கும் மகத்தான பணியை திரு. சிவராமன் அவர்கள் செய்து வருவது தெரிந்து மனம் எழுந்து நின்று மரியாதை செலுத்தியது.

பணத்தைக் கூட தருவதற்கு தயாராக இருப்பவர்கள், அறிவைப் பகிர்ந்து தரத் தயாராக இருக்க மாட்டார்கள். ஏனென்றால், பணம் செலவழிந்துவிட்ட பிறகு நம்மிடமே அவர்கள் திரும்ப வருவார்கள். ஆனால் அறிவு சேமிக்கக் கூடியதாகவும், வளர்வதாகவும் இருக்கும் வற்றாத ஊற்று.

தன் அறிவைத் தன்னுடைய முதலீடாக மட்டும் மாற்றிக்கொள்ளாமல் அனைவரையும் அதில் பங்குதாரர்களாக ஆக்கும் முயற்சியாக 'எண்களின் எண்ணங்கள்' என்கிற அற்புதமான அறிவுக் களஞ்சியம் அவர்களிடமிருந்து விளைந்திருக்கிறது. அதன் ஒவ்வொரு பக்கமும் பரவசமூட்டுகிறது.

தமிழர்கள் எண்களின் மீது எவ்வளவு பற்று வைத்திருந்தனர் என்பதை இலக்கியத்தைத் தொட்டுக் காட்டி நமக்கு தெளிவுபடுத்தியிருக்கிறார்.

இறைமை கூட எண்ணாகவும், எழுத்தாகவும் இருப்பதாக அப்பர் பாடிய வரிகள் அருமை. நம்மில் அறிவு குறைந்த உயிரினங்கள் கூட எண்ணிக்கையை அறிந்து கொள்கின்றன என்பது அரிய தகவல். குழந்தைகள் முதலில் எண்ணிக்கையையும், வண்ணத்தையும் அறிகின்றன என்பதும் நுட்பமான செய்தி.

நூலில் வாசிப்பதை மிக நேர்த்தியாக முன்னகர்த்திச் செல்ல உதவுகின்றன வண்ணப்படங்கள். வர்க்க எண்களை அறிய உதவும் கட்டம் மிகுந்த சிறப்பு. இரட்டை எண், ஒற்றை எண் போன்றவற்றை அவர் விளக்கக் கொடுத்துள்ள படங்கள் சின்னஞ்சிறு பிள்ளைகளுக்கும் வாசிப்பை சுலபமாக்கும். அவர் நமக்குத் தெரியாத பல தமிழ் கணிதச் சொற்களை அறிமுகப்படுத்தி, இதனை அருஞ்சொற்பொருட் களஞ்சியமாகவும் ஆக்கியிருக்கிறார். இது தமிழ் ஆட்சி மொழிப் பயன்பாட்டிற்கும் உதவும்.

'பூஜ்ஜியத்தை எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுத்தாலும் பூஜ்ஜியமே கிடைக்கும் என்பதையும், ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணை பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் விடை ஏதும் கிடையாது' என்பதையும் அட்டவணை மூலம் தெளிவுபடுத்துகிறார். கணிதத்தை எளிமையாக்க அவர் பயன்படுத்தியிருக்கும் உத்திகள் பயனுள்ளவை. அது போலவே கூட்டலின் பரிமாற்று விதியும் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

வடிவியல், எண்ணியல் என்ற இரண்டு கணித உட்பிரிவுகள் உருவாக இருந்த அடிப்படைக் காரணம் அழகாக விளக்கப்பட்டுள்ளது. அவை வாழ்க்கையோடு எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதையும் அவர் தெளிவுபடுத்தியுள்ளார்.

'வாழ்வோடு தொடர்பில்லாத எந்த அறிவும் பயனற்றது' என்றே கருதவேண்டும். ஒருவர் கணித வடிவியல் மூலம் தன் நிலத்தை உழுவதற்கு எந்த வடிவத்தில் தன் பயிர்களை அமைத்தால் அதிக பரப்பு கிடைக்கும் என்பதையறிந்தால், அதிக லாபம் ஈட்ட முடியும் என்று அவர் உதாரணம் தருகிறார்.

பைதாகோரஸ் வெறும் கணிதமேதை மட்டுமல்ல. அவர் தத்துவவாதியாகவும் இருந்தார். Mathema என்ற சொல்லிற்கு 'பொதுவாகப் படித்து அறிதல்' என்ற பொருளும் இருந்தது. அந்த வகையில் "Mathematics' என்பது கணிதம் தாண்டிய அறிவை, கணிதம் மூலம் கட்டமைக்கப்பட்டு அறிவின் உச்சத்தை தொடுகின்ற அனைத்தையும் உணர்த்தக் கூடிய ஞானப்பாய்ச்சலை நாம் கூட்டிக் கழித்துக் குறுக்கிக் கொண்டோம் என்கிற நூலாசிரியரின் வேதனையை உணர முடிகிறது. 'பைதாகோரஸ் - பெண்டகிலை - கணிதம், இயற்கை ஆகியவற்றில் முழுமை பெற்ற சின்னமாகக் கருதினார்.

'தங்கவிகிதாச்சாரம்' பற்றியும் ஆசிரியர் தொட்டுக்காட்டுகிறார். நம் உடலிலேயே 'தங்கவிகிதம்' இருப்பதால் ஒவ்வொரு மேனியுமே பொன்மேனியே. தங்கவிகிதத்தை டாவின்சி தன்னுடைய முக்கியமான ஒவியங்களில் எப்படி பயன்படுத்தியுள்ளார் என்பதையும் படம் மூலம் தெளிவுபடுத்துகிறார். இசைக்கும், கணிதத்திற்கும் இடையே உள்ள இயைபுத் தன்மையும் எடுத்தியம்பப்பட்டிருக்கிறது. வாழ்வை ரசிப்பதன் மூலமும், உலகத்தை முழுவதுமாக தரிசிப்பதன் மூலமுமே கணிதம் எளிதில் கைகூடும் என்பதை அவர் சூசகமாக சொல்கிறார். நட்பிணக்க எண்கள் மாணவர்களுக்குப் பயனாக இருக்கும்.

முழுநிறைவு வகுப்பான் எண்கள், தமக்குத் தாமே நண்பர்களாகும் தன்மை வாய்ந்தவை என்பதும் தத்துவப் பார்வை.

வடிவெண்கள் சுவையான பகுதி. நான்கு, சதுர எண் என்பது தெரிந்திருந்தாலும், அவர் படங்களின் மூலம் உணர்த்தும் செய்திகள் நம் சுண்டுவிரலை பிடித்து அழைத்துச் செல்லும் சுட்டுவிரல்களாக இருக்கின்றன. 'எல்லா முழுநிறைவு வகுப்பான் எண்களும் அறுகோண எண்களாகவும், முக்கோண எண்களாகவும்' இருக்கும் வியப்பான செய்தியும் அவரால் விளக்கப்பட்டிருக்கிறது.

ஃபெர்மா, கவுஸ் போன்ற கணித மேதைகளின் பங்களிப்பு பற்றியும் விவரமாக நமக்கு ஆசிரியர் குறிப்புகளை வழங்குகிறார். பழங்களை அடுக்கும் முறையை வடிவெண்களுடன் தொடர்பு படுத்தியிருப்பது மிகச் சரியான எடுத்துக்காட்டு.

'அதிக சராசரி அடர்த்தி கிடைத்தால் நிறைய பழங்களை, இருக்கும் இடத்தில் அடுக்கலாம். இதனால் நிறைய பழங்களை விற்பனை செய்து அதிக இலாபம் ஈட்டலாம்' இதுவே கணிதம் மூலம் கிடைக்கும் கைமேல் பலன்.

'பகா எண்கள்' பற்றி விரிவாகவும், எளிமையாகவும் நூலாசிரியர் விளக்கியிருக்கிறார். 2,3,5,7,11 ஆகிய எண்களின் வடிவங்களை உற்று நோக்கினால், அவ்வெண்களுக்கு இரண்டு வரிசைகள் மட்டுமே இருப்பதால் அவை பகா எண்கள் என்று கூறுகிறார். அருமை! எல்லா பகா எண்களையும் கொடுக்கவல்ல ஒரு சூத்திரம் இதுவரை கண்டறியப்படவில்லை என்கிறார்.

லியோநார்ட் ஆய்லர் கணிதத்தில் அதிக படைப்புகள் வழங்கியவர் என்பதையும், அவர் பகா எண்களையறியத் தந்துதவிய சூத்திரம் பற்றியும் நூல் பேசுகிறது.

'கணிதம் அறிவாக இல்லாமல் அனுபவமாக மாறவேண்டும்' என்பதே ஆசிரியரின் அவா. அவற்றை Proofs without Words எனப் பட்டியலிடுகிறார்.

ஆசிரியரின் இந்நூலை மாணவர்கள் அனைவரும் படிப்பதோடு, அவரை தங்கள் கல்வி நிறுவனத்திற்கு அழைத்து ஒரு மணிநேரம் Power Point Presentation மூலம் விளக்கவும் வைத்துத் தெளிவு பெறுவதால், அவர்களிடம் இருக்கும் அறிவியலறிவு இன்னும் ஆழமாகத் துலங்கும். சிவராமன் பாராட்டுதல்களுக்கும், போற்றுதல்களுக்குமுரியவர்.

'பை கணித மன்றம்' என்ற அமைப்பின் பணிகள் பாராட்டுக்குரியவை. இது போன்ற நூல்கள் வெளிவரும் பொழுது தமிழ்நாட்டில் கணிதமேதைகள் உருவாவதற்கு வாய்ப்புகள் அதிகம். குறைந்த விலையில் நிறைந்த தகவல்களை, 'மலர்களிலிருந்து மகரந்தம் சேகரிக்கும் தேனீக்கள்' போல பை கணித மன்றத்தார் செயல்படுகிறார்கள்.

முனைவர் வெ.இறையண்பு IAS.

செயலாளர்

பணியாளர் மற்றும் நிர்வாக சீர்திருத்தத்துறை

தலைமைச் செயலகம்,

சென்னை-9

பை கணித மன்றத்தைப் பற்றி…

'பை கணித மன்றம்`, கணித அச்சத்தை முடிந்தவரையில் நீக்குவதற்காகவும், மாணவர்கள் கணித பாடத்தை விரும்பி, அனுபவித்து பயில்வதற்காகவும், கணிதம் நம் அன்றாட வாழ்வில் எவ்வளவு பின்னி பிணைந்திருக்கிறது என்று தெளிவுப்படுத்த ஏற்படுத்திய மன்றமாகும். இம்மன்றம் பதிவு செய்யப்பட்ட அறக்கட்டளையாக, 18 ஜூன் 2007 அன்று துவங்கப்பட்டது.

மன்றத்தின் முக்கிய குறிக்கோள்கள் :

கணிதத்தால் ஏற்படும் அச்சம் மற்றும் வெறுப்பை நீக்குதல்.

மாணவர்கள் மற்றும் கணித பயிற்சியாளர்களுக்கு கணித பாடத்தை