効用最大化問題: 実用性の芸術をマスターし、経済的な選択を可能にする

By Fouad Sabry

効用最大化問題とは

功利主義哲学者のジェレミー・ベンサムとジョン・スチュアート・ミルは、最初に効用最大化の概念を考案しました。 効用最大化問題は、ミクロ経済学の分野で消費者が遭遇する課題です。 この問題は、「自分の効用を最大化するには、お金をどのように使えばよいでしょうか?」という質問に関係しています。 これは最適選択問題の範疇にあります。 これは、全体的な支出 (収入) の制限、商品のコスト、個人の好みを考慮して、利用可能な各商品やサービスをどれだけ消費するかを決定するプロセスです。

どのようなメリットがあるか

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: ユーティリティ最大化の問題

第 2: ユーティリティ

第 3 章: 無差別曲線

第 4 章: 消費者の選択

第 5 章: 予算の制約

第 6 章: 収入 ?消費曲線

第 7 章: マーシャル需要関数

第 8 章: Arrow?Debreu モデル

第 9 章: 厚生経済学の基本定理

第 10 章: 明らかな選好

第 11 章: 間接効用関数

第 12 章: ヒックス需要関数

第 13 章: コーナー解

第 14 章: 局所的不飽和

第 15 章: ゾンネンシャイン?マンテル?デブルーの定理

第 16 章: 競争均衡

第 17 章: 準線形効用

第 18 章: 選好 (経済学)

第 19 章: 公平なアイテムの割り当て

第 20 章: Dixit?Stiglitz モデル

第 21 章: 抽象的な経済

(II) 効用最大化問題に関する一般のよくある質問に答える。

(III) 多くの分野での効用最大化問題の使用例の実例。

この本の対象者

専門家、学部生および大学院生、愛好家、趣味人、およびあらゆる種類の効用最大化問題についての基本的な知識や情報を超えたいと考えている人。

 

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Feb 6, 2024

Book preview

第1章 効用最大化問題

効用最大化は、功利主義哲学者のジェレミー・ベンサムとジョン・スチュアート・ミルによって最初に提唱されました。ミクロ経済学では、効用最大化のジレンマとは、消費者が直面する問題である「効用を最大化するために、どのようにお金を使うべきか」という問題です。最適選択問題の一形態です。それは、全体的な支出(収入)の制約、商品の価格設定、およびそれらの好みを考慮して、アクセス可能な各商品またはサービスをどれだけ消費するかを決定することで構成されます。

効用最大化は、顧客が収入をどのように配分するかを示すため、消費者理論において不可欠な考え方です。消費者は賢明なので、自分の利益を最大化したいと考えています。それにもかかわらず、限られた推論やその他のバイアスのために、顧客は必ずしもその有用性を最大化するとは限らないバンドルを選択することがあります。また、消費者の効用最大化バンドルは固定されておらず、商品に対する特定の好み、価格の変化、収入の増減に基づいて、時間の経過とともに変化する可能性があります。

効用最大化には、消費者の需要を抽出し、消費者の価格、収入、嗜好を考慮して消費者の価値を最大化するバンドルを決定するための4つの基本的なフェーズがあります。

1)ワルラスの法則が満たされているかどうかを判断します。2)費用対効果;3)予算の制限 4)ネガティブな側面を探す

消費者の嗜好が完全で、単調で、推移的である場合、ワルラスの法則によれば、最適な需要は予算ライン上にあります。

効用表現が存在するためには、消費者の選好が網羅的かつ推移的(必要条件)でなければなりません。

基本設定の完全性は、コンシューマーが消費セット内のすべてのバンドルを比較できることを示唆しています。たとえば、顧客が A、B、C の 3 つのパッケージを持っている場合、ある \succcurlyeq

B、A \succcurlyeq

C、B \succcurlyeq

A、B \succcurlyeq

C、C \succcurlyeq

B、C \succcurlyeq

A、A \succcurlyeq

A、B \succcurlyeq

B、C \succcurlyeq

C.

したがって、消費者は各パッケージを比較できるため、完全な選択肢があります。

個人の好みは、バンドル間で一貫している場合、推移的です。

したがって、消費者がBよりもAを弱く選好する場合(A \succcurlyeq

B) と B \succcurlyeq

C これは、A \succcurlyeq

C(AはCよりも弱好ましい)

選好関係が単調であるためには、両方の品目の数量を増やすことで消費者の生活が厳密に良くなる(効用が上がる)必要があり、一方の商品の数量を増やして他方の商品の数量を一定にしても、顧客の生活を悪化させない(同じ効用)必要があります。

プリファレンス \succcurlyeq

モノトーンであるのは、次の場合のみです。1) {\displaystyle (x+\epsilon ,y)\succcurlyeq (x,y)}

2) {\displaystyle (x,y+\epsilon )\succcurlyeq (x,y)}

3) {\displaystyle (x+\epsilon ,y+\epsilon )\succ (x,y)}

どこ \epsilon

> 0

Bang for the buck は、効用最大化の中心的な概念であり、お金に見合った最大の価値を得たいという消費者の願望を指します。ワルラスの法則が満たされる場合、最適な消費者ソリューションは、予算線と最適な無関心曲線の交点にあります。これは正接条件と呼ばれます。この点を特定するには、x と y に関して効用関数を微分して限界効用を求め、次に製品の価格で除算します。

{\displaystyle MU_{x}/p_{x}=MU_{y}/p_{y}}

これを解くことで、製品xまたは製品yの最適量を決定できます。

消費者の予算制約の基本設定は、以下のとおりです。 {\displaystyle p_{x}x+p_{y}y\leq I}

ワルラスの法則が満たされているため、次のようになります。 {\displaystyle p_{x}x+p_{y}y=I}

次に、接線基準を代入して、他の財の最適量を見つけます。

効用最大化の問題は、財の最適需要が負である解決策を生み出す可能性があるため、否定性を除外する必要がありますが、これは領域外であるため、実際には達成できません。1つの財の需要がマイナスの場合、最適な消費バンドルは、その財を何も消費せず、すべての収入を他の財に費やすことで構成されます(コーナーソリューション)。製品 x のマイナス需要の図については、図 1 を参照してください。

コンシューマの消費セット、または予算の制約がある場合に選択できる考えられるすべての消費バンドルのリストを検討してください。

消費セット = {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}\ .}

(正の実数のセット、消費者は負の量の商品を好むことはできません)。

{\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\ .}

さらに、n個の商品の価格ベクトル(p)が正であると仮定すると、 {\displaystyle p\in \mathbb {R} _{+}^{n}\ ,}

そして、消費者の収入が w

;次に、すべての安価なパッケージのコレクション、設定された予算は、

{\displaystyle B(p,I)=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}|\mathbb {\Sigma } _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq I\}\ ,}

消費者は、最も費用対効果の高い商品の組み合わせを購入したいと考えています。

コンシューマは、u で表される順序効用関数を持つと見なされます。これは、すべての商品バンドルの集合をそのドメインとする実数値関数です。

{\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}\ .}

そして、消費者の最適な選択 {\displaystyle x(p,w)}

は、予算セット内のすべてのバンドルのユーティリティ最大化バンドルです。 {\displaystyle x\in B(p,w)}

この場合、消費者の最適需要関数は次のようになります。

{\displaystyle x(p,I)=\{x\in B(p,I)|U(x)\geq U(y)\forall y\in B(p,I)\}}

発見 {\displaystyle x(p,I)}

は効用最大化問題です。

連続していて、無料のアイテムがない場合は、 {\displaystyle x(p,I)}

存在しますが、必ずしもオリジナルであるとは限りません。

消費者の嗜好が完全である場合、需要関数が推移的で厳密に凸である場合、価格と富のパラメータのすべての値に対して一意のマキシマイザーが含まれます。

これが満たされた場合、 {\displaystyle x(p,I)}

はマーシャル需要関数と呼ばれます。

然も無くば {\displaystyle x(p,I)}

が設定値化され、マーシャル需要対応と呼ばれます。

U = 最小 x, y

微分不可能な関数として、同じ手法を使用して、完全補数である財の最小関数の効用最大化バンドルを取得することはできません。したがって、直感を働かせる必要があります。消費者の効用は、最大の無関心曲線が予算線と交差し、x = yと交差する点で最大化されます。これは直感です。消費者は理性的であるため、効用は2つのうちの小さい方によって決定されるため、一方の財を多く食べ、他方の財を少なく食べることには意味がありません(これでは効用が得られず、収入を無駄にすることになります)。画像3を参照してください。

U = x + y

完全な代替物を持つ効用関数の場合、効用を最大化するバンドルは、微分または検査を使用して特定できます。例えば、オーストラリアのロックバンド、AC/DCとTame Impalaが適切な選択肢であると判断したとします。これは、AC/DCかテーム・インパラ、またはAC/DCの4分の3とテーム・インパラの4分の1、あるいは2つのバンドのミックスを聴いて午後いっぱいを過ごすことに満足していることを示しています。したがって、消費者にとって理想的な決定は、2人のパフォーマーを聴くそれぞれの価格によってのみ支配されます。テーム・インパラのコンサートがAC/DCのコンサートよりも安い場合、消費者はテーム・インパラのショーを選び、その逆もまた然りです。2つのコンサートの価格が同じ場合、消費者は無関心で、コインを投げて選ぶかもしれません。これが完璧な代替品の技術的な定義です。これを定量的に実証するには、効用関数を微分して、MRS が一定であるかどうかを判断します。その結果、消費者の制約付き最大化問題の解は、(一般的に)内部解にはなりません。したがって、境界ケース(良Xに全予算を費やし、良Yに全予算を費やす)の効用レベルを調べて、どのオプションが最適かを判断する必要があります。例外的な状況は、(定数)MRSが価格比に等しい場合に存在します(たとえば、両方の商品の価格が同じで、効用関数の係数が同じ場合)。この 2 つの製品を任意に組み合わせることで、消費者の問題に対する解決策が提供されます。

実際の資産が一定額ある場合、顧客は絶対的な価格ではなく、相対的な価格を第一に考えます。貨幣幻想は、相対価格と実質富が変わらないときでさえ、消費者が名目価格と名目富の変化に反応するならば存在するだろう。消費者問題の最大値に対する数学的一次条件は、各商品の需要が名目価格と名目富がゼロの程度まで均質であることを保証し、したがって貨幣の錯覚は存在しない。

製品の価格が変動する場合、これらの商品の最適な消費は、収入と代替効果に依存します。両方の商品の需要が同じ場合、代替効果は、一方の商品の価格が下がると(他方の商品の価格が一定に保たれる)、消費者は安価な商品をより多く消費し、より高価な商品をより少なく消費することを示しています。同様に、ある商品の価格が上昇すると、人々はその商品をより少なくし、別の商品をより多く購入します。

消費者の収入が増加すると、予算ラインは右にシフトし、各商品の好みに基づいて、良いx、良いy、またはその両方に費やすお金が増えます。x と y の両方が通常の商品である場合、両方の製品の消費量が増加するにつれて、最適なバンドルは A から C にシフトします (図 5 を参照)。xまたはyが劣ったアイテムである場合、収入が増加するにつれてそれらの需要は減少します(最適なバンドルはポイントBまたはCになります)。

詳細については、Bounded rationality を参照してください。

消費者は、実際に最適なパッケージを常に選択するとは限りません。たとえば、時間や思考が多すぎる場合があります。有界合理性の理論は、この振る舞いを説明しています。合理性が限られているため、効用最大化の代替案には、充足、側面による消去、およびメンタルアカウンティングヒューリスティックが含まれます。

充足ヒューリスティックに従って、顧客が願望レベルを指定し、それを満たすオプションを検索すると、ユーザーはこのオプションが適切であると見なし、検索を終了します。

アスペクトによる排除とは、希望する製品の各側面にレベルを指定し、100ドル未満の価格、色など、この基準を満たさない他のすべての可能性を排除して、購入者が選択する製品であるはずの製品を1つだけ残すことです。

この方法では、個人がさまざまなアイテムの好みに基づいて、主観的な価値をお金に帰することがよくあります。人は、さまざまな支出に対してメンタルアカウントを作成し、その中で予算を割り当て、各アカウント内でその効用を最大化しようとします。

効用最大化問題では、効用関数とマーシャル需要の関係は、支出最小化問題における支出関数とヒックス需要の関係と一致します。支出の最小化では、品目の効用レベルと価格が提供されます。消費者の仕事は、このユーティリティレベルを達成するために必要な支出の最小レベルを決定することです。

功利主義的社会的選択ルールは、社会は総効用を最大化する選択肢を選択すべきであると述べている。個人は自分の効用を最大化するが、社会はすべての構成員の効用を最大化する。

{チャプター1終了}

第 2 章: ユーティリティ

効用理論は、価値をシミュレートするために使用される経済学の一分野です。その現在のアプリケーションは、時間の経過とともに大きく発展しました。もともと、ジェレミー・ベンサムやジョン・スチュアート・ミルなどの道徳哲学者は、人生の幸福や満足度を定量化するためにこのフレーズを使用しました。現代経済理論の支配的な学派である新古典派経済学は、この用語を採用して、選択セットに対する消費者の順序選好を表す効用関数を指すために、それらの選好に関する普遍的な合意を必要とせず、基本的な解釈を必要としません。この効用の概念は個人的であり、楽しみではなく好みに基づいており、従来の概念よりも行動の仮定が少なくて済みます。

人が好みの順にランク付けしたいくつかのオプションを考えてみてください。個人が選択肢 b よりも選択肢 an を好む場合にのみ、選択肢 an に大きな値が割り当てられるように、各選択肢に実数を割り当てることができる場合、その順序付けは効用関数で表すことができます。最も一般的なオプションを選択する場合は、対応する効用関数を最大化するオプションも選択する必要があります。

ジェームズが効用関数を持つとします {\displaystyle U={\sqrt {xy}}}

x はリンゴの数、y はチョコレートの数です。

代替案Aは、 {\displaystyle x=9}

りんごと {\displaystyle y=16}

チョコレート;代替案 B には {\displaystyle x=13}

りんごと {\displaystyle y=13}

チョコレート。

x, y をユーティリティ関数に差し込むと、次のようになります。 {\displaystyle {\sqrt {9\times 16}}=12}

代替案 A と {\displaystyle {\sqrt {13\times 13}}=13}

したがって、Bの場合、JamesはオプションBを優先します。

経済、一般的に、製品またはサービスのグループに対する個人の好みは、効用関数を使用してランク付けできます。

Gérard Debreuは、優先順位が効用関数で表現可能になるために必要な条件を導き出しました。

少数の実行可能な選択肢を仮定すると、これらは単に選好の順序が確定されることを必要とするだけであり(したがって、個人は、任意の2つの選択肢のどちらが好ましいか、またはそれらが無関心であるかを決定することができる)、さらに、選好順序は再帰的である。

商品の数が有限であるが、選択肢の数が有限でない場合、消費者の選好は、消費者の選好が完全で推移的で連続的である場合にのみ、連続効用関数で表すことができます。

効用関数自体のレベル曲線である一連の無関心曲線は、個人が一定の幸福度を維持するために許容する財の組み合わせを説明するために使用できます。個々の需要曲線は、無関心曲線とコスト制限を組み合わせることによって計算できます。

以下は、標準的な無関心曲線の図です(図1)。商品 Y の消費量は縦軸に沿って示され、商品 X の消費量は横軸に沿って表示されます。X と Y の間の無差別曲線上の点は、その対象にとって等しく望ましいものであり、その曲線に沿った X と Y のすべての組み合わせは同じ効用を持つことを意味します。

効用関数の価値は個人の効用と考えることができ、社会福祉関数の価値は社会の効用と考えることができます。契約曲線のエッジワースボックスは、これらの関数を使用して、生産または商品の制限と組み合わせた場合のパレート効率を調べる方法の一例です。このような有効性は、厚生経済学の研究の中心である。

ミクロ経済学における選択理論は、典型的には選好に基づいており、効用関数は選好を表すための有用なツールである。

この場合、Xは消費者の母集団、つまり購入者が一緒に購入できないすべての可能なショッピングカートのコレクションを表します。

コンシューマの 効用関数 u\colon X\to \R

消費セットで考えられる各結果をランク付けします。

買い手がyよりもxをしっかりと選好している場合、または2つの間で不可知論者である場合、 u(x)\geq u(y)

.

典型的な効用関数は、u(nothing) = 0, u(1 リンゴ) = 1, u(1 オレンジ) = 2, u(1 リンゴと 1 オレンジ) = 5, u(2 リンゴ) = 2, u(2 オレンジ) = 4 のようになります。これは、消費セット X = [nothing, 1 リンゴ, 1 オレンジ, 1 リンゴと 1 オレンジ, 2 リンゴ, 2 オレンジ] に相当します。この買い物客は、リンゴよりもオレンジが欲しいのですが、どちらかを選ばざるを得ない場合はどちらかを選びます。

小規模な経済モデルでは、通常、利用可能な商品の数はLに制限されており、特定の商品の個人の消費は完全に彼ら次第です。

これにより、消費セットは \mathbb{R} _{+}^{L}

、および各パッケージ