ユーティリティ: 選択を極める、実用性の科学

By Fouad Sabry

ユーティリティとは

経済学では、効用とは、特定の人が世界の特定の状態から得る満足度の尺度です。 時間が経つにつれて、この用語は 2 つの異なる意味で使用されるようになりました。この用語は当初、功利主義理論の一部として、ジェレミー ベンサムやジョン スチュアート ミルなどの道徳哲学者によって、喜びまたは幸福の尺度として導入されました。 この文脈では、同じ州内のさまざまな人々の効用は同等です。 特に、各州のすべての人々の効用の合計を計算し、その合計が最大になる州を選択できます。 この用語は、現代の経済理論を支配する新古典派経済学の中で、選択セットに対する消費者の序列的な好みを表すものとして適応され、再適用されてきました。 この文脈では、効用は異なる消費者間で比較したり、基本的な解釈を持ったりすることはできません。 実際、効用関数のすべての単調変換は、代替案に対する同じ順序順位を表すため、新古典派経済学の観点からは同等です。 ゲーム理論でも効用は同じ意味で使われます。 この有用性の概念は個人的なものであり、受け取る喜びではなく選択に基づいているため、元の概念よりも必要な行動の仮定が少なくなります。

どのようなメリットがあるのか

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: ユーティリティ

第 2 章: 無差別曲線

第 3 章: アローの不可能性定理

第 4 章: 社会福祉機能

第 5 章: 消費者の選択

第 6 章: 厚生経済学

第 7 章: 期待効用仮説

第 8 章: 効用最大化問題

第 9 章: マーシャルの需要関数

第 10 章: 序数効用

第 11 章: 基本的な効用

第 12 章: 明らかな好み

第 13 章: 置換の一定弾性

第 14 章: 準線形効用

第 15 章: フォン・ノイマン?モルゲンシュテルンの効用定理

第 16 章: 選好 (経済)

第 17 章: 好み

第 18 章: ドゥブルーの表現定理

第 19 章: 複数属性ユーティリティ

第 20 章: 二項対立的な好み

第 21 章: レスポンシブ セット拡張

(II) 実用性に関する一般のトップの質問に答える。

(III) 多くの分野でのユーティリティの使用に関する実際の例。

この本は誰に向けたものなのか

専門家、大学生、大学院生、愛好家、趣味人、あらゆる種類のユーティリティに関する基本的な知識や情報を超えたい人。

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Feb 5, 2024

Book preview

第1章:ユーティリティ

効用理論は、価値をシミュレートするために使用される経済学の一分野です。その現在のアプリケーションは、時間の経過とともに大きく発展しました。もともと、ジェレミー・ベンサムやジョン・スチュアート・ミルなどの道徳哲学者は、人生の幸福や満足度を定量化するためにこのフレーズを使用しました。現代経済理論の支配的な学派である新古典派経済学は、この用語を採用して、選択セットに対する消費者の順序選好を表す効用関数を指すために、それらの選好に関する普遍的な合意を必要とせず、基本的な解釈を必要としません。この効用の概念は個人的であり、楽しみではなく好みに基づいており、従来の概念よりも行動の仮定が少なくて済みます。

人が好みの順にランク付けしたいくつかのオプションを考えてみてください。個人が選択肢 b よりも選択肢 an を好む場合にのみ、選択肢 an に大きな値が割り当てられるように、各選択肢に実数を割り当てることができる場合、その順序付けは効用関数で表すことができます。最も一般的なオプションを選択する場合は、対応する効用関数を最大化するオプションも選択する必要があります。

ジェームズが効用関数を持つとします {\displaystyle U={\sqrt {xy}}}

x はリンゴの数、y はチョコレートの数です。

代替案Aは、 {\displaystyle x=9}

りんごと {\displaystyle y=16}

チョコレート;代替案 B には {\displaystyle x=13}

りんごと {\displaystyle y=13}

チョコレート。

x, y をユーティリティ関数に差し込むと、次のようになります。 {\displaystyle {\sqrt {9\times 16}}=12}

代替案 A と {\displaystyle {\sqrt {13\times 13}}=13}

したがって、Bの場合、JamesはオプションBを優先します。

経済、一般的に、製品またはサービスのグループに対する個人の好みは、効用関数を使用してランク付けできます。

Gérard Debreuは、優先順位が効用関数で表現可能になるために必要な条件を導き出しました。

少数の実行可能な選択肢を仮定すると、これらは単に選好の順序が確定されることを必要とするだけであり(したがって、個人は、任意の2つの選択肢のどちらが好ましいか、またはそれらが無関心であるかを決定することができる)、さらに、選好順序は再帰的である。

商品の数が有限であるが、選択肢の数が有限でない場合、消費者の選好は、消費者の選好が完全で推移的で連続的である場合にのみ、連続効用関数で表すことができます。

効用関数自体のレベル曲線である一連の無関心曲線は、個人が一定の幸福度を維持するために許容する財の組み合わせを説明するために使用できます。個々の需要曲線は、無関心曲線とコスト制限を組み合わせることによって計算できます。

以下は、標準的な無関心曲線の図です(図1)。商品 Y の消費量は縦軸に沿って示され、商品 X の消費量は横軸に沿って表示されます。X と Y の間の無差別曲線上の点は、その対象にとって等しく望ましいものであり、その曲線に沿った X と Y のすべての組み合わせは同じ効用を持つことを意味します。

効用関数の価値は個人の効用と考えることができ、社会福祉関数の価値は社会の効用と考えることができます。契約曲線のエッジワースボックスは、これらの関数を使用して、生産または商品の制限と組み合わせた場合のパレート効率を調べる方法の一例です。このような有効性は、厚生経済学の研究の中心である。

ミクロ経済学における選択理論は、典型的には選好に基づいており、効用関数は選好を表すための有用なツールである。

この場合、Xは消費者の母集団、つまり購入者が一緒に購入できないすべての可能なショッピングカートのコレクションを表します。

コンシューマの 効用関数 u\colon X\to \R

消費セットで考えられる各結果をランク付けします。

買い手がyよりもxをしっかりと選好している場合、または2つの間で不可知論者である場合、 u(x)\geq u(y)

.

典型的な効用関数は、u(nothing) = 0, u(1 リンゴ) = 1, u(1 オレンジ) = 2, u(1 リンゴと 1 オレンジ) = 5, u(2 リンゴ) = 2, u(2 オレンジ) = 4 のようになります。これは、消費セット X = [nothing, 1 リンゴ, 1 オレンジ, 1 リンゴと 1 オレンジ, 2 リンゴ, 2 オレンジ] に相当します。この買い物客は、リンゴよりもオレンジが欲しいのですが、どちらかを選ばざるを得ない場合はどちらかを選びます。

小規模な経済モデルでは、通常、利用可能な商品の数はLに制限されており、特定の商品の個人の消費は完全に彼ら次第です。

これにより、消費セットは \mathbb{R} _{+}^{L}

、および各パッケージ x\in \mathbb{R} _{+}^{L}

は、各商品の金額を含むベクトルです。

例として、リンゴとオレンジは利用可能な2つの製品です。

リンゴが最初の商品であり、2番目がオレンジである場合、消費セットは次のようになります。 X=\mathbb{R} _{+}^{2}

そして、U(0、0)= 0、U(1、0)= 1、U(0、1)= 2、U(1、1)= 5、U(2、0)= 2、U( 0、2)= 4。

ただし、u を X  上のユーティリティ関数にするには、パッケージ固有の定義が X required.in であるため、関数は apple 分数とオレンジ分数の両方に対して定義されなければなりません。

これらの数値に当てはまる関数の 1 つは、

{\displaystyle u(x_{apples},x_{oranges})=x_{apples}+2x_{oranges}+2x_{apples}x_{oranges}.}

プリファレンスの 3 つの主な特徴は次のとおりです。

完全

ある人にAとBの2つの選択肢があるとしましょう。

この 2 つの選択肢に優先順位を付けると、次の関係のペアのうち 1 つだけが成り立ちます。BよりもAを強く支持する人。明らかに、この人はAではなくBに傾いています。人はAかBか(A=B)を気にしません。

a ≥ b または b ≥ a (または両方) (すべて (a,b) )

推移性

個人の好みはバンドルよりも一貫しています。

バンドルBよりもバンドルAを選んだ場合、私はCよりもバンドルBを選んだ方がよいので、Aさんは選択肢Cよりも選択肢Bを好むと結論付けることができます。

(a ≥ b と b が c ≥ c の場合、a ≥ c はすべて (a,b,c)) を表します)。

飽食しない

経済学者は、効用を直接測定したり目撃したりできないことに気づいたため、実際の消費者行動に基づいて相対的な価値を推測する方法を思いつきました。ポール・サミュエルソンが言うところの「明らかにされた選好」は、例えば、消費者が支払う準備ができている価格に表れている。

欲望と欲求は効用に直接関係していると考えられています。

欲求は、それが引き起こす外面的な現象によって、回りくどい方法でのみ、単純な量的測定には従順ではなく、経済学が主として関係するそれらの場合、尺度は、人が自分の欲望の充足または満足のために喜んで支払う価格によって見出される、と主張されてきました。:78

基数効用関数は、財の束間の選好の順位順序のみを提供すると解釈される関数であり、順序効用関数は、選好の強さに関する情報など、選好の順位順序だけでなく、追加情報を提供すると解釈される関数です。

消費の「基本効用」は、その便益を客観的に定量化し、評価できることを意味します。

基本効用を仮定すると、効用ギャップの大きさは道徳的または実際的に関連性があると考えられる。オレンジジュース1杯で120 utils、お茶1杯で80 utils、1杯の水で40 utilsという仮定の値を考えてみましょう。枢機卿の効用は、お茶が水よりも優れているのと同じマージンで、一杯のオレンジジュースが一杯のお茶よりも優れていることを示唆しています。数学的には、お茶を飲んだ後、ジュースを受け取る確率が.5以上のギャンブルを受け入れ、その代償として.5に等しい潜在的な損失を被ることを意味します。しかし、お茶がジュースの「3分の2」しか優れていないと言うには、2つの飲料の効用の違いの大きさと「ゼロ」の両方の知識が必要です。効用が 0 が -40 の場合、オレンジ ジュース 1 カップは 0 より 160 utils 上になり、お茶 1 杯は 0 より 120 utils 上になります。サイズや温度などの具体的なパラメータに対して利益を比較検討できると仮定することは、「基本効用」について話すときの意味です。

新古典派経済学では、経済行動の基盤としての基数効用関数の使用は、ほとんど放棄されてきた。危険な状況での選択の分析は、このルールから大きく逸脱しています(下記参照)。

枢機卿の効用は、多くの異なる人々の効用を足し合わせることによって、社会福祉機能を生み出すために利用することができる。

序数効用は、実際の数値を提供するのではなく、さまざまな商品またはサービスのバンドルから得られる効用を単にランク付けします。例えば、順序効用は、1つよりも2つのアイスクリームが人にとって有益であることを知ることができますが、どれだけの量で特定することはできません。「通常の効用」の概念によれば、消費者は、自分の好みの商品またはサービスのバンドルが、他のバンドルと比較してどの程度の効用の増加を表すかを定義する必要はありません。彼らは、彼らが最も魅力的だと思うパッケージを示すだけで済みます。

効用インデックスは、選択肢セットのメンバー間の包括的な動作順序付けをエンコードしますが、順序効用が利用された場合の関連する選好の強さについては何も伝えず、効用(効用関数によって想定される値)の変動は倫理的または行動的に無関係であることを意味します。上記を考えると、導き出せる唯一の結論は、お茶や水よりもジュースが好まれるということです。したがって、序数的有用性は、「優先」、「それ以上」、「より小さい」などの最上級と比較を利用します。

関数 u(x)

が順序数の場合、関数 {\displaystyle u(x)^{2}}

、単調な上昇変換であるため、平方根。

言い換えれば、これらの関数はすべて同じ順序の優先順位になります (ただし、2 つの異なる関数です)。

対照的に、 u(x)

は基数であり、以下と同等ではありません。 {\displaystyle u(x)^{2}}

.

人間の嗜好の詳細について、計算を単純化するためにさまざまな仮定がなされてきました。これらは、次のようなさまざまな効用関数を意味します。

CES(置換の一定の弾力性)。

等弾性ユーティリティ

指数関数的効用

準線形効用

ホモセティック・プリファレンス

Stone-Gearyユーティリティの計算

Gormanの極の形態

グリーンウッド、ハーコウィッツ、ハフマンの好み

王、プロスター、反乱軍の好み

チャンスを逃すのは絶対に嫌だ

モデリングと理論的な作業では、通常、適切に動作するユーティリティ関数を使用します。それらは通常、単調で準凹面の形状をしています。一方、合理的な選択は、必ずしも効用関数によって捕捉されるとは限りません。連続効用関数では表現できない離散的な選好の良い例は、辞書式選好です。

総効用は、経済学の観点からは限界効用とは異なります。

選択の価値は、その総効用、製品全体、またはライフスタイルパッケージによって測定されます。

限界効用は、単一の財の消費量の変化によって引き起こされる効用の変化率です。

したがって、限界効用は、単一の財の変化に対する効用関数の傾きです。

典型的には、財が多く使用されるほど、その限界効用は低下し、概念としての限界効用は低下する。

微積分学の表記法では、良いXの限界効用は {\displaystyle MU_{x}={\frac {\partial U}{\partial X}}}

.

財の限界効用がゼロより大きい場合、その有用性は、より多くの財が消費されるにつれて上昇します。ゼロの場合、購入者は満足しており、これ以上購入することに興味がありません。マイナスの場合、顧客の消費を減らすためにお金がかかります。

合理的な消費者による商品やサービスの追加消費は、そうすることで限界価値が上昇する場合にのみ発生します。しかし、限界効用逓減の法則によれば、ある消費単位の価値は、その消費単位が多く消費されるにつれて減少します。喉が渇いたら、ペットボトル1本の水を飲むだけで満足できますが、さらに水を飲み続けると気分が悪くなり、限界効用がゼロになったり、マイナスになったりします。さらに、これは、増税が効用の低下につながる可能性があるため、累進課税の評価に利用されます。

無関心曲線の傾きは、限界代替率に対応し、消費者がある商品を別の商品と交換する意思がある程度を定量化します。

数式によって、 {\displaystyle MRS=-\operatorname {d} \!x_{2}/\operatorname {d} \!x_{1}}

U (x1,x2) を一定に保ちます。

したがって、1倍の消費量の増加に対する限界支払い意欲(MRS)。

MRSと限界効用の関係

限界効用とMRSの関係は次のとおりです。 {\displaystyle MRS={\frac {MU_{1}}{MU_{2}}}}

期待効用理論は、さまざまな(潜在的に多次元的な)結果を伴う潜在的に危険な試みの代替案の評価に関係しています。

ニコラス・ベルヌーイは1713年にサンクトペテルブルクのパラドックスを最初に提案し、息子のダニエル・ベルヌーイは1738年にそれに答えました。D. Bernoulliは、意思決定者のリスク回避を考慮し、問題を解決するための対数基数効用関数を提案しました。(効用が幸福を示す限り、功利主義は、21世紀の国際調査データの分析によって証明されているように、実際には所得の対数に比例する。

期待効用最大化の前提は、もともとジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンがゲーム理論の定式化に重要な方法で採用したものである。

考えられるすべての結果からの平均効用は、それらの確率を重み付けすることによって計算されます。

EU=[Pr(z)×u(value(z))]+[Pr(y)×u(value(y))]

決定の結果が不確かであるが、それに蓋然性が付随している場合、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンはこの問題に取り組みました。

以下は宝くじの表記法です。 これを、宝くじでそれぞれpと1pである場合にのみ、AとBの確率の線形結合として表現します。

L=pA+(1-p)B

広い意味では、多くの結果を伴う宝くじの場合、

L=\sum _{i}p_{i}A_{i},

どこ \sum_i p_i =1

.

これらの仮定に基づいて、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、エージェントが宝くじを自由に選択できる場合、エージェントは、特定の宝くじの望ましさを、その部分の効用の線形結合として計算できるような効用関数を持ち、重みはそれらの発生確率であることを証明しました。

期待効用定理は、この現象を記述します。

「単純宝くじ」の場合、エージェントの選好関係の特徴に関する4つの公理が必要であり、それらは2択の宝くじです。

ライティング B\preceq A

「AはBよりも弱く好まれる」(「Aは少なくともBと同じくらい好まれる」)という意味で、仮定は次のとおりです。

完全性:任意の2つの単純な宝くじの場合 L

そして M

いずれも L\preceq M

又は M\preceq L

(または両方であるため、どちらも等しく望ましいです)。

推移性:任意の3つの宝くじの場合 L,M,N

もし L\preceq M

そして M\preceq N

そうしたら L\preceq N

.

convexity/continuity (アルキメデスの性質): L \preceq M\preceq N

の場合、 p

0 と 1 の間で、宝くじ pL+(1-p)N

も同様に望ましいです。 M

.