라돈 변환: 시각적 데이터에 숨겨진 패턴 밝히기

By Fouad Sabry

라돈 변환이란 무엇입니까

수학에서 라돈 변환은 평면에 정의된 함수 f를 (2- 평면에 정의된 함수 Rf로 취하는 적분 변환입니다. 차원) 평면의 선 공간. 특정 선에서의 값은 해당 선에 대한 함수의 선 적분과 같습니다. 이 변환은 1917년 요한 라돈(Johann Radon)에 의해 도입되었으며, 그는 역변환에 대한 공식도 제공했습니다. 라돈은 3차원 변환을 위한 공식을 추가로 포함했는데, 여기서 적분은 평면에 적용됩니다. 이것은 나중에 더 높은 차원의 유클리드 공간으로 일반화되었고, 적분 기하학의 맥락에서 더 광범위하게 일반화되었습니다. 라돈 변환의 복잡한 아날로그는 펜로즈 변환으로 알려져 있습니다. 라돈 변환은 물체의 단면 스캔과 관련된 투영 데이터로부터 이미지를 생성하는 단층촬영에 널리 적용할 수 있습니다.

혜택을 받는 방법

(I) 다음 주제에 대한 통찰 및 검증:

1장: 라돈 변환

2장: 푸리에 변환

3장: 베셀 함수

4장: 컨볼루션 정리

5장: 이산 푸리에 변환

6장: 푸리에 급수

7장: 적분 부분

8장: 분수 푸리에 변환

9장: 멜린 변환

10장: 포아송 커널

(II) 라돈 변환에 관한 대중의 주요 질문입니다.

(III) 다양한 분야에서 라돈 변환을 사용하는 실제 사례입니다.

이 책의 대상

전문가, 학부 및 대학원생, 열성팬, 취미생활자 및 모든 종류의 라돈 변환에 대한 기본 지식이나 정보를 넘어서고 싶은 사람들.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: Apr 28, 2024

Book preview

챕터 1: 라돈 변환

평면에 정의된 모든 함수 f에 대해 라돈 변환은 평면에 있는 선의 (2차원) 공간에 정의된 함수 Rf에 매핑하며, 여기서 주어진 선의 Rf 값은 해당 선 아래의 f의 선 적분입니다. 요한 라돈 (Johann Radon)은 1917 년에 처음으로 변환을 설명했으며 그 역에 대한 공식도 제시했습니다. 적분은 Radon의 3차원 변환 공식에서 볼 수 있듯이 평면에 대해 평가됩니다(선을 통한 적분은 X선 변환으로 알려져 있음). 그것은 결국 적분 기하학의 영역을 벗어나 더 높은 차원의 유클리드 공간으로 확장되었습니다. 펜로즈 변환은 라돈 변환의 정교한 버전입니다. 물체의 단면 스캔과 관련된 투영 데이터에서 이미지를 재구성하는 단층 촬영에서는 라돈 변환이 일반적으로 사용됩니다.

함수가 f 알 수 없는 밀도를 나타내는 경우 단층 촬영 스캔이 완료되면 투영 데이터는 라돈 변환으로 표시됩니다.

라돈 변환이 반전될 수 있기 때문에, 원래의 밀도는 투영 데이터로부터 재구성될 수 있으며, 따라서 반복적인 재구성 기법과 유사하게 단층 촬영 재구성을 위한 수학적 기초를 제공한다.

중심이 아닌 점 소스의 라돈 변환은 정현파이기 때문에 결과 데이터를 종종 시노그램이라고 합니다. 결과적으로, 작은 물체 모음의 라돈 변환은 다이어그램에서 다양한 진폭과 위상의 번진 사인파처럼 보입니다.

라돈 변환은 반사 지진학, 컴퓨터 축 단층 촬영(CAT), 바이러스 및 단백질 복합체를 포함한 고분자 어셈블리의 전자 현미경 검사, 쌍곡선 편미분 방정식의 해에 응용됩니다.

세 가지 규칙성 조건을 만족하는 함수라고 {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)} 합시다.

{\displaystyle f({\textbf {x}})} 는 연속적이다; 이중 적분 {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} , 전체 지면을 덮고, 수렴한다; (x,y) 평면의 임의의 점에 대해

{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}

라돈 행렬로 변경 Rf 하면 다음과 같은 각 선을 따라 선 적분에 의해 {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} 직선 공간에 정의되는 함수입니다.

{\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}

구체적으로, 호 길이에 대한 L 직선의 매개 변수화 z 는 항상 작성 될 수 있습니다.

{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}

여기서 s 는 L 원점으로부터의 거리이고 \alpha 는 법선 벡터가 L -축 X 과 이루는 각도입니다.

수량은 {\displaystyle (\alpha ,s)} 에 있는 모든 선의 공간에 대한 좌표로 간주될 수 \mathbb {R} ^{2} 있습니다. 이 축에서 라돈 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}

보다 일반적으로, n -차원 유클리드 공간 \mathbb {R} ^{n} 에서, 규칙성 조건을 만족 f 하는 함수의 라돈 변환 은 Rf 의 모든 초평면의 \Sigma _{n} 공간에 대한 함수이다 \mathbb {R} ^{n} .

간단히 말해서 :

{\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}

적분이 자연 초표면의 측정 측면에서 수행될 때( d\sigma -차원의 경우에서 {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } 용어를 2 일반화).

의 모든 요소가 \Sigma _{n} 방정식의 해 궤적으로 특성 화되어 있음을 관찰하고 \mathbf {x} \cdot \alpha =s , 여기서 {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} 는 단위 벡터이고 {\displaystyle s\in \mathbb {R} } .

따라서 n -차원 라돈 변환은 다음을 통해 함수로 다시 작성될 수 있습니다. {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }

{\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}

라돈 변환을 의 차원 아핀 부분공간을 적분하여 더욱 일반화하는 것도 가능합니다 k \mathbb {R} ^{n} .

이 프레임워크의 일반적인 응용 프로그램 중 하나는 X선 변환이며 곡선을 따라 통합하는 것입니다.

라돈 변환과 푸리에 변환 사이에는 밀접한 관계가 있습니다. 단일 변수의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}

-벡터 2 의 함수에 대해 \mathbf {x} =(x,y) , 1차원의 푸리에 변환:

{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}

편의상 {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} .

결과적으로, 푸리에 슬라이스 정리는 다음과 같습니다.

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}

어디 \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).

따라서 경사각에서 선을 따라 초기 함수의 2차원 푸리에 변환 은 \alpha 해당 함수의 \alpha 라돈 변환(각도에서 획득)의 변수 푸리에 변환입니다.

라돈 변환과 그 역은 이 정보를 사용하여 계산할 수 있습니다.

이 결과는 n차원으로 일반화할 수 있습니다.

{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}

라돈 변환에 인접한 것은 이중 라돈 변환입니다.

공간의 함수 g \Sigma _{n} 로 시작하여 이중 라돈 변환은 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} 다음과 같이 정의되는 Rn의 함수입니다.

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}

여기서 적분은 점과 함께 입사하는 모든 초평면의 집합을 인수 {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} 하며, 측정값 d\mu 은 점에 대한 회전 하에서 설정된 불변 {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} 량에 대한 고유한 확률 측정값입니다 \mathbf {x} .

특히, 차원 2에서 라돈 변환의 이중 변환은 다음과 같이 주어집니다.

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}

이중 변환은 평면의 각 라인에 지정된 기능을 라인 위로 다시 번짐하거나 투사하여 이미지를 생성하기 때문에 이미지 처리 분야에서 종종 백 프로젝션이라고합니다.

다음에 의해 정의된 \Delta 라플라시안을 표시 \mathbb {R} ^{n} 하자  :

{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}

이것은 정의에 따라 회전 불변인 2차 미분 연산자입니다.

에서 \Sigma _{n} 방사형 2계 도함수 Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s) 도 회전 불변입니다.

이 두 차동 연산자의 경우 라돈 변환과 쌍대는 다음과 같은 의미에서 결합 연산자입니다.

{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}

Lax와 Philips의 평행 이동 표현은 3차원보다 높은 공간에서 파동 방정식에 대한 해를 분석하는 데 유용한 interweaving 속성을 기반으로 합니다. 이것은 다차원 문제를 1차원 문제로 단순화하기 위한 차원 분할 기술로 사용됩니다.

재구성 프로세스는 투영 데이터에서 이미지(또는 f 이전 섹션의 함수)를 생성합니다.

재건과 같은 반대 문제.

2차원의 간단한 상황에서 라돈 변환에서 f 복구하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 분석 공식 은 필터링된 역투영 공식 또는 라돈 반전 공식입니다.

{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }

그런 곳은 어디 h 입니까 {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} ?

컨볼루션 커널 h 은 일부 문헌에서 램프 필터라고 합니다.

직관적으로, 필터링된 역투영의 공식은 미분이 작동하는 방식과 유사하며, 이에 대해 {\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)} 필터는 도함수와 유사한 기능을 수행하는 것으로 보입니다.

대략적으로 말하자면, 필터는 모든 것에 더 뚜렷한 정체성을 부여합니다.

라돈 반전은 정량적으로 다음과 같이 잘못된 것으로 명시되어 있습니다.

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}

여기서 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}} 는 이전에 정의된 라돈 변환에 대한 인접물입니다.

따라서 , {\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} 우리는 다음을 가지고 있습니다 :

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}

따라서 복소수 지수는 {\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} 고유값 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}} 의 {\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}} 고유함수입니다.

따라서 의 특이값은 {\mathcal {R}} {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}} 입니다.

이러한 특이 값은 경향이 있기 때문에 {\displaystyle 0} 는 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} 무제한입니다.

반복 재구성은 필터링된 역프로젝션 접근 방식보다 계산 집약적이므로 사용이 제한됩니다. 그러나 불연속성 또는 노이즈가 있는 경우 라돈 반전의 잘못된 자세로 인해 필터링된 역투영 접근 방식이 불가능할 수 있습니다. 많은 연구자들이 반복 재구성 방법(예: 반복 희소 점근 최소 분산)에 관심을 갖는 이유는 이 방법이 재구성된 출력에서 금속 아티팩트, 노이즈 및 투여량을 줄일 수 있기 때문입니다.

라돈 변환 및 이에 대응하는 반전 공식을 사용할 수 있으며 명시적이고 계산적으로 효율적입니다.

차원의 라돈 변환 n 은 다음 공식으로 반전될 수 있습니다.

{\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}

여기서 {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} , 라플라시안의 거듭제곱은 {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} 푸리에 변환에 의해 필요한 경우 의사 미분 연산자로 정의됩니다.

{\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}

논리 기반 계산, 라플라시안의 거듭제곱은 이중 변환으로 통근 R^{*} 되어 다음을 제공합니다.

{\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}

여기서 는 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}} s 변수에 대한 힐베르트 변환입니다.

두 개의 축만 사용하여 연산자는 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}} 이미지 처리에서 램프 필터로 나타납니다.

누구든개는 통합을 위한 변수의 푸리에 조각 정리 그리고 변화에서 2개의 변수의 조밀하게 지원한 지속적인 기능을 위해 직접 증명할 수 {\displaystyle f} 있다:

{\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}H_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}

따라서 이미지 처리 컨텍스트에서 {\displaystyle f} 램프 필터(변수에서)를 적용 {\displaystyle Rf} 한 다음 역투영하여 s '시노그램' 데이터에서 원본 이미지를 복구할 수 있습니다.

필터링과 백 프로젝션 프로세스는 모두 계산적으로 간단합니다. 전자는 픽셀 값을 합산하는 것 이상을 포함하지