핀홀 카메라 모델: 전산 광학을 통한 관점 이해

By Fouad Sabry

핀홀 카메라 모델이란 무엇인가요?

핀홀 카메라 모델은 3차원 공간에 있는 점의 좌표와 사진에 대한 투영 간의 관계를 수학적으로 표현한 것입니다. 이상적인 핀홀 카메라의 평면. 이 모델에서는 카메라 조리개가 포인트로 표현되었으며 빛을 집중시키는 렌즈가 사용되지 않았습니다. 예를 들어, 모델은 유한한 크기의 렌즈와 조리개로 인해 발생할 수 있는 기하학적 왜곡이나 초점이 맞지 않는 물체의 흐릿함을 고려하지 않습니다. 대부분의 실제 카메라가 개별적인 사진 좌표만 가지고 있다는 사실도 고려되지 않은 또 다른 사항입니다. 이 때문에 핀홀 카메라 모델은 3차원 장면을 2차원 그래픽 표현으로 매핑하는 1차 근사치로만 활용될 수 있습니다. 유효성은 카메라 품질에 따라 달라지며 일반적으로 렌즈 왜곡 효과가 증가함에 따라 이미지 중앙에서 가장자리로 갈수록 유효성이 감소합니다.

혜택을 받는 방법

(I) 다음 주제에 대한 통찰력 및 검증:

1장: 핀홀 카메라 모델

2장: 직교 좌표계

3장: 구면 좌표계

4장: 등각 투영

5장: 원뿔 단면의 행렬 표현

6장: 푸리에 광학

7장: 3D 투영

8장: 변환 행렬

9장: 그래픽 파이프라인

10장: 3차원 공간

(II) 핀홀 카메라 모델에 관한 대중의 주요 질문에 답합니다.

(III) 다양한 분야에서 핀홀 카메라 모델을 사용하는 실제 사례.

이 책은 누구를 위한 책인가요?

전문가, 학부 및 대학원생, 매니아, 취미생활자, 그리고 모든 종류의 핀홀 카메라 모델에 대한 기본 지식이나 정보를 넘어서고 싶은 사람들을 위한 책입니다.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: Apr 30, 2024

Book preview

1장: 핀홀 카메라 모델

빛의 초점을 맞추는 데 렌즈가 없는 경우 핀홀 카메라 모델은 3차원 공간에서 점의 위치와 이미지 평면에 투영되는 수학적 관계를 설명합니다. 렌즈와 고정 조리개 크기로 인한 기하학적 왜곡 및 초점 흐림은 모델에서 고려되지 않습니다. 또한 대부분의 실제 카메라가 개별 사진 좌표만 사용한다는 사실을 무시합니다. 즉, 3D 장면에서 핀홀 카메라 모델로 생성된 2D 이미지로의 매핑은 기껏해야 추정치에 불과합니다. 렌즈 왜곡 효과로 인해 이미지의 중심에서 가장자리로 갈수록 신뢰성이 떨어지며 카메라 품질에 따라 달라집니다.

고품질 카메라를 사용하는 경우 이미지 좌표에 적절한 좌표 변환을 실행하는 등 핀홀 카메라 모델이 무시하는 영향 중 일부를 설명할 수 있습니다. 따라서 카메라가 3D 장면을 표현하는 방법에 대한 정확한 설명이 필요한 컴퓨터 비전 및 컴퓨터 그래픽과 같은 분야에서는 핀홀 카메라 모델로 충분한 경우가 많습니다.

이 그림은 핀홀 카메라의 매핑 지오메트리가 작동하는 방식을 보여줍니다. 다음은 그림의 구성 요소입니다.

O 중심, 3차원, 직교 좌표계입니다. 카메라의 조리개도 여기에서 찾을 수 있습니다. X1, X2 및 X3은 세 좌표 축에 지정된 이름입니다. 광축, 주축 또는 주 광선은 카메라의 시야 방향을 가리킵니다. 기본 평면 또는 카메라의 전면은 축 X1 및 X2로 정의된 공간입니다.

3차원의 세계가 카메라 렌즈를 통해 투사되는 그림 평면.

이미지 평면은 축 X1 및 X2와 평행하며 f X3  축의 음의 방향으로 원점 O 에서 거리에 위치하며, 여기서 f는 핀홀 카메라의 초점 거리입니다.

핀홀 카메라가 실제로 작동하려면 그림 평면이 -f에서 X3 축을 교차하도록 배치해야 하며, 여기서 f는 0보다 큽니다.

그림 평면과 광축은 R로 표시된 위치에서 만납니다. 이것이 초점, 즉 그림의 핵심입니다.

좌표축 X1, X2, X3을 기준으로 좌표를 이루는 전 세계 어딘가에 있는 점 (x_1, x_2, x_3) P  입니다.

점 P가 필름 평면에 자신을 투영하는 데 사용하는 선입니다. 점 P와 O를 연결하는 이 녹색 선은 이 연결을 나타냅니다.

이것은 점 P가 투영되는 이미지 평면으로, Q로 표시됩니다.

이미지 평면과 초록색 투영선이 이 위치에서 교차합니다.

모든 실제 상황에서 우리는 x_{3} 교차점이 잘 정의되어 있음을 의미하는 > 0이라고 가정 할 수 있습니다.

3D 세계 외에도 이미지 평면에는 중심이 R에 있고 축이 서로 수직(X1 및 X2)인 자체 좌표 집합이 있습니다.

이 좌표계를 기준으로 한 점 Q의 좌표 는 (y_1, y_2) 입니다.

모든 프로젝션 라인은 카메라의 핀홀 조리개에서 극히 작은 지점을 통과해야 합니다. 광학 중심이라는 용어는 이 위치를 3차원으로 설명하는 데 사용됩니다.

다음으로 점 (y_1, y_2) Q  의 좌표가 점 P의 (x_1, x_2, x_3) 좌표에 어떻게 의존 하는지 이해하려고 합니다.

다음 그림은 이전 그림과 동일한 장면을 표시하여 이 과정을 돕는데, 이번에는 위에서 볼 때 눈이 X축 음의 방향을 따라 아래를 향하도록 합니다.

이 그림은 한 쌍의 합동 삼각형을 묘사하며, 둘 다 빗변이 녹색 투영선의 세그먼트입니다.

왼쪽 삼각형의 카테티는 와 -y_1 f 이고 오른쪽 삼각형의 카테티 는 x_{1} 와 x_3 입니다.

두 삼각형의 유사성은 다음을 시사합니다.

\frac{-y_1}{f} = \frac{x_1}{x_3} 또는 y_1 = -\frac{f \, x_1}{x_3}

X1 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 볼 때 유사한 조회의 결과는 다음과 같습니다.

\frac{-y_2}{f} = \frac{x_2}{x_3} 또는 y_2 = -\frac{f \, x_2}{x_3}

간단히 말해서 이것은 다음을 의미합니다.

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = -\frac{f}{x_3} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

점 (x_1,x_2,x_3) P 의 3D 좌표와 이미지 평면에서 점 Q (y_1,y_2) 로 지정된 이미지 좌표 간의 관계를 설명하는 표현식 입니다.

핀홀 카메라로 설명되는 3D에서 2D 좌표로의 매핑은 원근 투영 후 이미지 평면에서 180° 회전하는 것입니다.

이것은 종래의 핀홀 카메라의 작동과 일치한다; 결과 이미지는 180° 회전되고, 투사된 물체의 상대적 크기는 초점까지의 거리에 따라 달라지고, 이미지의 전체 크기는 이미지 평면과 초점 사이의 거리 f  에 따라 달라진다.

사진 장치에서 예상되는 회전되지 않은 사진을 얻으려면 다음 중 하나를 사용할 수 있습니다.

이미지 평면의 좌표계를 180°(어느 방향으로든) 회전합니다.

이것은 모든 기능성 핀홀 카메라가 사용할 수 있는 솔루션입니다. 카메라를 사용하여 촬영한 사진을 볼 때는 보기 전에 이미지가 회전하고, 디지털 카메라의 경우 픽셀을 읽어내는 순서에 따라 이미지가 회전됩니다.

이미지 평면은 -f가 아닌 f에서 X3 축과 만나도록 이동해야 하며 이전의 모든 계산을 다시 실행해야 합니다. 실제로 이 작업을 수행할 수 없기 때문에 실제 카메라보다 분석하기 쉬울 수 있는 이론적인 카메라가 만들어집니다.

부정이 없으면 이전 식은 두 상황 모두에서 3D에서 2D 그림 좌표로의 매핑을 제공합니다.

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \frac{f}{x_3} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

동종 좌표는 공간의 3D 점 위치에서 2D 그림 위치로의 매핑을 설명하는 또 다른 방법입니다.

\mathbf {x} 동종 좌표(4차원 벡터)에서 3D 점을 표현하고 \mathbf{y} 핀홀 카메라(3차원 벡터)에서 이 점의 이미지를 표현한다고 합시다.

그러면 후속 관계가 true입니다.

\mathbf{y} \sim \mathbf{C} \, \mathbf{x}

여기서 \mathbf{C} 는 3\times 4 카메라 행렬이고 는 \, \sim 투영 공간의 요소 간의 평균 동등성입니다.

즉, 왼쪽과 오른쪽 사이의 0이 아닌 스칼라 곱셈도 동일합니다.

이 관계의 결과는 \mathbf{C} 투영 공간의 요소로도 볼 수 있다는 것입니다. 두 카메라 행렬의 스칼라 곱셈이 동일한 결과를 산출하는 경우 두 행렬을 비교할 수 있습니다.

여기에 설명된 핀홀 카메라 매핑 \mathbf{C} 은 두 선형 표현식의 일부가 아닌 선형 변환으로 더 적은 계산 단계로 3D와 2D 좌표 간의 여러 관계를 도출할 수 있습니다.

{챕터 1 종료}

2장: 데카르트 좌표계

기하학에서 평면의 데카르트 좌표계(UK: /kɑːˈtiːzjən/, US: /kɑːrˈtiʒən/)는 좌표라고 하는 한 쌍의 실수 쌍으로 각 점을 고유하게 지정하는 좌표계로, 두 개의 수직선이 고정된 점에서 만나는 곳, 그 사이의 부호 있는 거리는 얼마입니까?, 좌표선, 줄여서 시스템의 좌표 축 또는 축(축의 복수형).

원점이라고도 하는 교차점은 좌표로 0, 0) 으로 표시됩니다.

데카르트 좌표는 점에서 세 개의 수직 평면까지의 부호 있는 거리로, 3차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 데 사용할 수 있습니다. 일반적으로 모든 차원 n에 대해 n차원 유클리드 공간의 점은 n 데카르트 좌표를 사용하여 설명할 수 있습니다. 이는 n개의 고정된 수직 초평면에 대한 부호 있는 거리로 표현되는 점의 좌표입니다.

데카르트 좌표는 르네 데카르트 (René Descartes)의 이름을 따서 명명되었으며, 17 세기에 기하학과 대수학 사이의 최초의 체계적인 연결을 확립하여 수학 혁명을 일으킨 수학자입니다.

데카르트 좌표계를 적용하면 기하학적 모양(예: 곡선)의 점 좌표를 포함하는 방정식을 사용하여 모양을 자세히 설명할 수 있습니다.

예를 들어, 평면의 원점에 초점을 맞춘 반지름 2 원은 좌표 x와 y  가 방정식 x2 + y2 = 4를 만족하는 모든 점의 집합으로 설명될 수 있습니다.

데카르트 좌표는 해석 기하학에서 중심적인 역할을 하기 때문에 선형 대수학, 복소 해석, 미분 기하학, 다변량 미적분학, 그룹 이론 등을 포함한 수학의 다른 연구 영역에도 빛을 제공합니다. 함수 그래프는 이러한 개념의 잘 알려진 예입니다. 기하학을 다루는 대부분의 실용적인 분야는 천문학, 물리학, 공학 등을 포함한 데카르트 좌표에 크게 의존합니다. 컴퓨터 그래픽, CAD 및 기타 형태의 기하학적 모델링과 같은 분야의 데이터 처리를 위한 사실상의 표준입니다.

데카르트는 프랑스의 수학자이자 철학자인 르네 데카르트(René Descartes)를 가리키는데, 그는 네덜란드에 살면서 1637년에 이 이론을 발표했다.

피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat)는 페르마 (Fermat)가 자신의 발견을 공유하지 않았다는 사실에도 불구하고 다차원 작업에 참여한 스스로 그것을 발견했습니다.

평면의 극좌표와 3차원 공간의 구형 및 원통형 좌표는 데카르트 이후 확립된 많은 좌표 중 일부에 불과합니다.

선의 점 O(원점), 길이 단위 및 선의 방향을 선택하는 것은 2차원 공간에서 직선에 대한 데카르트 좌표계의 세 가지 구성 요소입니다. 선이 음의 반쪽에서 양의 반쪽으로 방향(또는 점)될 때, 이는 방향이 O가 제공한 선의 두 반쪽 중 어느 것을 양수로 간주해야 하는지 선택했음을 의미합니다. 그런 다음 O에서 선의 주어진 점 P까지의 거리는 P가 포함된 하프라인에 따라 더하기(+) 또는 빼기(-) 기호를 사용하여 나타낼 수 있습니다.

숫자 선은 특정 데카르트 좌표계를 사용하는 선입니다. 모든 실수에 대해 라인에 특정 위치가 있습니다. 반면에 선의 각 점은 실수와 같은 연속 숫자 시스템의 개별 요소로 생각할 수 있습니다.

정렬된 수직선(축) 쌍, 두 축의 공통 길이 단위 및 각 축의 방향은 2차원의 데카르트 좌표계(직사각형 좌표계 또는 직교 좌표계라고도 함)를 만듭니다. 각 축은 교차점이 시작점으로 사용될 때 숫자 선이 됩니다. 각 축에 수직인 점 P를 통과하는 선이 해당 축과 만나는 위치에 숫자가 할당됩니다. P의 데카르트 좌표는