곡선적 관점: 컴퓨터 비전의 깊이 인식 탐구

By Fouad Sabry

곡선 원근법이란 무엇입니까

5점 원근법이기도 한 곡선 원근법은 2D 표면에 3D 객체를 그리는 데 사용되는 그래픽 투영법입니다. 이는 1968년 예술가이자 미술사학자인 Andr?에 의해 공식적으로 성문화되었습니다. Barre와 Albert Flocon은 La Perspective curviigne이라는 책에서 이 책을 썼습니다. 이 책은 1987년에 Curvilinear Perspective: From the Visual Space to the Constructed Image로 영어로 번역되어 University of California Press에서 출판되었습니다.

어떻게 하면 도움이 될 것입니다

(I) 다음 주제에 대한 통찰력 및 검증:

1장: 곡선 관점

2장: 구면 좌표계

3장: 정사면체

4장: N구

5장: 입체 투영

6장: 타원체

7장: 등각 기하학

8장: 3D 투영

9장: 표면 적분

10장: 체적 요소

(II) 곡선 관점에 대한 대중의 주요 질문에 답합니다.

(III) 다양한 분야에서 곡선 관점을 사용하는 실제 사례.

이 책의 저자

전문가, 학부 및 대학원생, 열정가, 취미생활자, 모든 종류의 곡선적 관점에 대한 기본 지식이나 정보를 넘어서고 싶은 사람들을 위한 것입니다.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: May 5, 2024

Book preview

챕터 1: 곡선 원근법

곡선 원근법, 마찬가지로 5 점 관점은 2 차원 표면에 3 차원 사물을 묘사하는 데 사용되는 그래픽 투영입니다.

그것은 1968 년 예술가이자 미술 사학자 인 André Barre와 Albert Flocon에 의해 La Perspective curviligne라는 책에서 공식적으로 성문화되었으며, 어안 렌즈와 유추하여 곡선 원근법은 비공식적으로 어안 관점이라고합니다. 컴퓨터 애니메이션과 모션 그래픽에서는 미니어처 행성이라고도 합니다.

플랑드르 원시인 얀 반 에이크 (Jan van Eyck)의 아르놀피니 초상화 (Arnolfini Portrait, 1434)에는 대략 5 점 곡선 원근법의 초기 예가 포함되어 있습니다. 매너리즘 화가 파르미지아니노의 '볼록 거울 속의 자화상'(1524년경)과 네덜란드 황금기 화가 카렐 파브리티우스의 '델프트 전경'(1652)이 그 후의 예다.

1959 년 Flocon은 M. C. Escher의 Grafiek en tekeningen 사본을 입수했는데, 곡선 및 곡선 원근법을 사용하여 Flocon과 Barre가 만든 이론에 큰 영감을 주었습니다. 그들은 광범위한 관계를 맺기 시작했고, Escher는 Flocon을 동족 정신이라고 불렀습니다.

이 접근 방식은 곡선 원근법과 직선 수렴 원근법의 배열을 결합하여 직선만 사용하지만 가장자리에서 극도로 왜곡된 고전적인 선형 원근법보다 그 자체가 구형인 눈 망막의 이미지를 더 적절하게 모방합니다.

4개, 5개 또는 그 이상의 소실점이 사용됩니다.

5점(어안) 투시에서는 원의 둘레에 4개의 소실점이 설정되고 북쪽, 서쪽, 남쪽 및 동쪽으로 표시됩니다.

4 또는 무한 포인트 원근법은 (틀림없이) 인간 눈의 원근법과 가장 유사하면서도 불가능한 공간을 묘사하는 데 효과적인 원근법입니다. 5 점 투시가 1 점 투시와 곡선으로 동일 한 것처럼 4 점 투시도 2 점 투시와 동일합니다.

2점 투시와 마찬가지로 이 접근 방식은 수직선을 수평선으로 사용하여 웜의 눈과 조감도를 동시에 제공할 수 있습니다. 수평선을 따라 4개 이상의 동일한 간격의 점을 사용하고, 모든 수직선은 수평선에 수직으로 구성되며, 직교는 90도 각도로 4개의 소실점 각각을 통과하는 선에 설정된 나침반을 사용하여 생성됩니다.

관찰자와 벽 사이의 거리 a와 c는 b보다 크므로 관찰자와의 거리가 멀어질수록 물체가 줄어들고 벽이 줄어들고 경계에서 뒤틀린 것처럼 보인다는 원리를 적용합니다.

점에 3차원(x,y,z)의 데카르트 좌표가 있는 경우:

{\displaystyle P_{\mathrm {3D} }=(x,y,z)}

점에서 원점까지의 거리를 d = √x2

+ y2 + z2

로 나타내고, 결과적으로, 반지름이 R인 곡선 기준 시스템으로의 점의 천이는 다음과 같습니다.

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)}

(d = 0이고 점이 원점에 있으면 투영이 정의되지 않음)

이것은 먼저 원점을 중심으로 하는 반지름이 R인 구에 3D 점을 투영하여 좌표가 있는 점의 이미지를 얻음으로써 얻습니다.

{\displaystyle P_{\mathrm {sphere} }=(x,y,z)*\left({\frac {R}{d}}\right)}

그런 다음 z축에 평행한 평행 투영을 사용하여 구의 점을 z = R의 종이에 투영하여 결과를 얻습니다.

{\displaystyle P_{\mathrm {image} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}},R\right)}

종이가 z = R 평면에 놓여 있는 것은 관련이 없기 때문에 그림 점의 z 좌표를 무시하고

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)=R*\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

변경 R 은 스케일링에 불과하기 때문에 일반적으로 단일성으로 특징지어지며 공식을 다음과 같이 더욱 단순화합니다.

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {x}{d}},{\frac {y}{d}}\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

원점을 통과하지 않는 선은 구에 큰 원으로 투영된 다음 평면에 타원으로 투영됩니다. 긴 축이 경계 원의 지름이라는 것은 타원의 속성입니다.

생 드니 대성당에 찰스 4 세 황제의 도착, Jean Fouquet

파르미지아니노, 볼록한 거울에 비친 자신의 초상

얀 반 에이크(Jan van Eyck)의 아르놀피니 초상화(Arnolfini Portrait)에 있는 볼록한 거울의 14세기 디테일.

{챕터 1 종료}

2장: 구면 좌표계

구형 좌표계를 사용하여 3차원 공간에서 점의 위치를 지정하려면 원점으로부터의 반지름 거리, 천정에서 측정한 극각도, 원점을 통과하고 천정에 직교하는 평면의 직교 투영의 방위각의 세 가지 숫자가 사용됩니다. 극좌표계와 비슷하지만 3차원입니다.

방사형 거리라는 용어는 원의 방사형 축을 따른 거리를 나타냅니다. 공위도, 천정각, 법선각 및 경사각은 모두 극각의 이름입니다.

반지름이 일정하게 유지되면 두 각도 좌표가 구형 좌표계를 형성합니다.

다른 리소스와 필드는 다른 기호를 사용하고 다른 순서로 좌표를 정렬할 수 있습니다.

이 기사에서는 물리학에서 자주 접하는 ISO 규칙을 사용합니다: (r,\theta ,\varphi ) 반경 거리, 극각도 및 나침반의 방위각을 제공합니다.

대조적으로, 여러 수학 텍스트, {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} 또는 (r,\theta ,\varphi ) 반경 방향 거리, 방위각, 극 각도를 제공하여 θ와 φ의 의미를 전환합니다.

예를 들어 r이 z축에서 멀어지는 것과 같이 더 많은 관용구가 사용되므로 기호의 해석을 다시 확인하는 것이 중요합니다.

위치는 지리적 좌표계의 언어를 사용하여 표현되며, 위도는 물체, 경도, 키(고도)를 찾는 데 사용되는 메트릭입니다.

다양한 천체 좌표계가 존재하며, 각 좌표계에는 다양한 각도 및 선형 측정에 대한 고유한 기본 평면과 항 집합이 있습니다.

수학에 사용되는 구형 좌표계는 일반적으로 각도가 아닌 라디안을 사용하며 수평 좌표계와 같이 북쪽(0°)에서 동쪽(+90°)으로 시계 방향이 아닌 x축에서 y축까지 시계 반대 방향으로 방위각을 측정합니다.

극각을 사용하는 대신 수평면에서 양의 Z축까지의 각도인 수평선 위 0도의 고도인 고도 각도를 사용할 수 있습니다. 음의 올림각을 내림각이라고 합니다.

구형 좌표계는 3차원에서 사용하기 위한 극좌표계를 보다 일반화한 것입니다. 더 높은 차원으로 일반화할 수 있으며, 이 시점에서 초구면 좌표계로 알려져 있습니다.

구형 좌표계는 원점과 서로 수직인 두 개의 참조 방향(천정 및 방위각)을 선택하여 정의됩니다. 원점과 천정에 수직인 참조 평면은 이러한 선택에 의해 설정됩니다. 그런 다음 점 P의 구형 좌표를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

종종 반지름으로 알려진 반경 거리는 두 점(예: O와 P) 사이의 유클리드 거리입니다.

참조 평면을 참조하면, 방위각(또는 방위각)은 선분(OP)의 직교 투영에 의해 형성된 부호 있는 각도이다.

극각 또는 기울기는 천정 방향과 OP 선 사이에 형성된 각도입니다.

방위각의 방향은 천정을 기준으로 양의 방향으로 회전하는 방향을 선택하여 설정됩니다. 좌표계의 정의에는 겉보기에 임의적인 결정이 포함됩니다.

표고각을 계산하려면 OP 선분과 기준면 사이에 형성된 각도를 2로 나누고, 천정이 양의 축에 있을 때입니다.

마찬가지로 90도(π/

2

라디안)에서 경사각을 뺀 값입니다.

기울기가 0도 또는 180도(π 라디안)인 경우 방위각을 마음대로 선택할 수 있습니다.

반지름이 0이라고 가정하면 방위각과 기울기를 마음대로 선택할 수 있습니다.

주어진 점 P의 위치 벡터는 원점 O에서 P까지의 벡터입니다.

세 좌표를 표현할 수 있는 다양한 방법과 좌표를 구성하는 적절한 순서가 있습니다.

(r,\theta ,\varphi ) 방사형 거리, 기울기(또는 고도) 및 방위각을 나타내기 위해 물리학이 일상적으로 사용하는 방법은 ISO 80000-2:2019가 이를 관리하는 표준인 ISO 31-11 또는 이전(1992)입니다.

전술한 내용을 감안할 때 이 기사는 ISO 표준을 준수하고 {\displaystyle (r,\theta ,\varphi ),} 반경 방향 거리, 극좌표 각도 및 나침반의 방위각을 제공합니다.

그러나 일부 저자 (수학자 포함) 는 방사형 거리, φ 기울기 (또는 고도) 및 θ 를 방위각에 사용하여 거리 r이 z 축에서 떨어져 극좌표에 대한 기존 표기법에서 자연스러운 진행을 제공한다고 지적합니다.

방위각은 일부 작업(또는 고도)에서 경사 앞에 올 수 있습니다.

왼손 좌표계는 이러한 옵션의 하위 집합의 결과입니다.

표준 규칙은 (r,\theta ,\varphi ) 2차원 극좌표 및 3차원 원통형 좌표에 대한 일반적인 표기법과 충돌하며, 여기서 θ 는 방위각에 자주 사용됩니다.

각도는 일반적으로 도(°) 또는 라디안(rad)으로 측정되며, 여기서 360° = 2π rad입니다.

지리학, 천문학 및 공학 학위가 가장 빈번하지만 수학 및 이론 물리학에서는 라디안이 표준 단위입니다.

일반적으로 응용 프로그램은 방사형 거리 단위를 지정합니다.

평면의 천정면에서 볼 때 참조 평면의 기준 방향에서 시계 반대 방향으로 계산된 방위각은 일반적으로 시스템이 물리적 3공간에 사용될 때 양수 부호가 부여됩니다. 이것은 북쪽이