아핀 변환: 시각적 관점 잠금 해제: 컴퓨터 비전의 아핀 변환 탐색

By Fouad Sabry

아핀 변환이란 무엇입니까

유클리드 기하학에서 아핀 변환 또는 친화력은 선과 평행성을 유지하지만 반드시 유클리드 거리와 각도는 유지하지 않는 기하학적 변환입니다.

당신이 얻을 수 있는 혜택

(I) 다음 주제에 대한 통찰력 및 검증:

1장: 아핀 변환

2장: 선형 지도

3장: 평행 이동(기하학)

4장: 아핀 그룹

5장: 아핀 공간

6장: 변환 행렬

7장: 무게중심 좌표계

8장: 실제 좌표 공간

9장: 고유값 및 고유벡터

10장: 행렬의 고유분해

(II) 아핀 변환에 관한 대중의 주요 질문에 답합니다.

(III) 아핀 변환 사용에 대한 실제 사례 다양한 분야에서.

이 책은 누구를 위한 책인가요?

전문가, 학부생 및 대학원생, 열성팬, 취미생활자, 기본 지식 이상의 것을 원하는 사람들 또는 모든 종류의 Affine 변환에 대한 정보.

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: Apr 28, 2024

Book preview

1장: 아핀 변환

아핀 변환 (라틴어 affinis, 연결됨에서 유래)은 직선과 평행도를 유지하지만 관련된 각도와 거리의 길이와 방향을 변경하는 유클리드 기하학의 기하학적 변환입니다.

아핀 변환에 대한보다 일반적인 정의는 아핀 공간 (유클리드 공간은 아핀 공간의 특별한 경우), 즉 평행선 세그먼트의 길이 비율을 유지하면서 아핀 공간을 자체에 매핑하는 함수입니다. 따라서 아핀 변환 후 병렬 아핀 부분공간 집합은 병렬 처리를 유지합니다. 선 사이의 거리와 각도가 항상 아핀 변환에 의해 유지되는 것은 아니지만 직선을 따른 거리 비율은 유지됩니다.

X가 일부 아핀 공간의 점 집합이라고 가정하면 X의 모든 아핀 변환을 X의 선형 변환과 X의 변환의 조합으로 작성할 수 있습니다. 아핀 공간의 시작점은 선형 변환과 달리 아핀 변환 중에 동일하게 유지될 필요가 없습니다. 따라서 모든 아핀 변환은 선형이지만 모든 선형 변환이 선형인 것은 아닙니다.

아핀 변환에는 변환, 확대, 축소, 상동성, 유사성, 반사, 회전, 전단 매핑 및 이들의 조합 또는 시퀀스가 포함됩니다.

아핀 변환은 무한대에서 초평면의 불변성을 보존하는 투영 공간의 투영 변환으로, 아핀 공간을 무한대에서 초평면의 보완으로 정의합니다.

아핀 맵은 아핀 변환의 보다 일반적인 형태입니다.

필드 k와 아핀 공간 X를 상상하고, V가 속한 벡터 공간을 나타낸다고 합시다.

X에서 그 자체에 대한 이항 f를 아핀 변환이라고 합니다. 이것은 V에서 V까지의 선형 맵 g 가 평소와 같이 방정식에 의해 잘 정의됨 {\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);} 을 의미합니다. 점 2에서 점 1까지의 자유 벡터는 이 두 점의 차이로 표시되며, 잘 정의된은 {\displaystyle y-x=y'-x'} 다음을 의미합니다.

{\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}

X가 적어도 두 개의 차원을 갖는 경우, X에서 f로 표시되는 이분법이 존재하며, 다음과 같이 f로 표시됩니다.

S가 차원 d에서 X의 아핀 부분공간인 경우 f(S)는 차원 d에서 X의 아핀 부분공간이기도 합니다.

따라서 f(S)와 f(T)는 S와 T가 X의 평행 아핀 부분공간인 경우에만 평행합니다.

아핀 변환은 이 두 가지 조건을 충족하며, 이는 f는 병렬 처리를 유지합니다라는 구가 의미하는 바를 정확하게 표현합니다.

두 번째 조건은 첫 번째 조건과 논리적으로 따름이므로 별개로 간주할 수 없습니다.

정의에 따라 아핀 공간 V  는 X에 작용 하므로 X× V의 두 (x, v)  집합마다 X에 점 y가 연결됩니다.

이 동작을 v→(x) = y로 나타낼 수 있습니다.

여기서 우리는 v→ = v  가 V의 요소에 대한 두 개의 상호 교환 가능한 표기법이라는 규칙을 사용합니다.

X에서 점 c를 고정하면 mc(x) = cx→로 함수 mc : X → V를 정의할 수 있습니다.

c를 가정하면, 이 함수와의 일대일 매핑이므로 역함수 mc−¹ : V → X 가 mc−1(v) = v→(c)로 주어집니다.

이러한 연산을 정의함으로써 X를 벡터 공간(c에 대해)으로 변환할 수 있습니다.

{\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}

그리고

{\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}

원점이 c인 이 벡터 공간은 아핀 공간 X와 공식적으로 구별되어야 한다는 사실에도 불구하고 실제로는 일반적으로 동일한 기호로 표시되며 원점이 지정된 후에만 벡터 공간이라고 언급됩니다. 이 인식을 통해 벡터에서 점 표현으로 그리고 다시 벡터로 변환할 수 있습니다.

V의 선형 변환 λ에 대해 L(c)는 정의할 수 있는 함수이며, λ) : X → X

{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}

그렇다면, L(c), λ) 는 점 c를 고정된 상태로 두는 X의 아핀 변환입니다.

X에서 다른 변수로의 선형 맵으로, c를 중심으로 하는 벡터 공간으로 표현됩니다.

X의 아핀 변환σ 보겠습니다 .

X에서 점 c를 선택하고 Tw로 표시된 벡터 에 의한 {\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}} X의 평행 이동을 고려합니다.

아핀 변환에는 변환이 포함되고 아핀 변환에는 해당 구성이 포함됩니다.

이 특정 c에 비추어 볼 때, 다음과 같은 V의 고유한 선형 변환 λ 가 존재합니다.

{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}

즉, X를 벡터 공간으로 간주하면 X의 임의의 아핀 변환은 X의 선형 변환과 X의 변환의 구성으로 작성될 수 있습니다.

아핀 변환은 일반적으로 이 표현의 관점에서 정의됩니다(원점 선택은 암시적임).

전술한 내용을 감안할 때, 아핀 맵은 평행 이동 기능과 선형 맵을 결합하여 구성됩니다.

행렬의 곱셈은 표준 벡터 대수학에서 선형 맵을 나타내고 벡터 덧셈을 통해 변환을 나타내는 데 사용됩니다.

형식적으로, 유한 차원의 한계에서 선형 맵이 반전 가능한 행렬에 의한 곱셈으로 표현 A 되고 변환이 벡터의 덧셈으로 표현되는 경우 \mathbf {b} 벡터에 작용하는 f 아핀 맵 은 \mathbf {x} 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

향상된 행렬과 향상된 벡터의 도움으로 다중 행렬 곱셈은 변환 및 선형 맵을 나타내는 데 필요하지 않습니다.

이 방법을 사용하려면 모든 벡터에 마지막 1을 추가하고 모든 행렬의 맨 아래 행을 0으로 채우고 맨 오른쪽 열(변환 벡터)을 추가하고 오른쪽 아래 모서리에 단일 숫자를 추가해야 합니다.

가 행렬인 A 경우,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

와 같은 것을 의미합니다.

{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

아핀 변환 행렬은 위에 표시된 증대 행렬의 또 다른 이름입니다.

대부분의 경우, 마지막 행 벡터가 로 제한되지 않은 경우 {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]} 행렬은 투영 변환의 행렬로 변환됩니다(투영 변환을 수행하는 데에도 사용할 수 있음).

이 표현은 모든 반전 가능한 아핀 변환의 집합을 및 의 반직접 곱으로 나타냅니다 K^{n} {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)} .

함수 구성의 법칙은 아핀 그룹이라고 하는 이 그룹을 정의합니다.

행렬과 벡터를 곱할 때 원점은 항상 원점으로 전송되므로 시작점을 다른 위치로 이동해야 하는 변환을 대신하지 않습니다.

각 벡터의 끝에 여분의 숫자 1을 더하면, 이 추가 차원은 매핑되는 공간의 하위 집합으로 생각할 수 있습니다.

이 시점에서 추가 좌표가 1이면 원래 공간이 더 작은 영역에 포함됩니다.

따라서 원래 공간의 원점은 에서 찾을 수 있습니다 {\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)} .

고차원 공간에 선형 변환을 적용하면 원래 공간 내에서 평행 이동을 수행할 수 있습니다(보다 정확하게는 전단 변형).

예를 들어, 동종 좌표에는 고차원 공간을 설명하는 데 사용되는 좌표가 포함됩니다.

유클리드 시작점을 가정하면 진정한 투영 공간은 더 높은 차원에 존재합니다.

해당 행렬을 곱하면 동종 좌표로 작업할 때 원하는 수의 아핀 변환을 하나의 변환으로 결합할 수 있습니다. 로봇 공학, 컴퓨터 비전 및 컴퓨터 그래픽의 수많은 응용 프로그램이 이 속성에 의존합니다.

벡터가 {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n+1}} 도메인의 투영 벡터 공간의 기저 {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dotsc ,\mathbf {y} _{n+1}} 이고 동일 영역 벡터 공간의 대응하는 벡터 인 경우 M 이 아핀 변환을 달성하는 증대 행렬

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

다음과 같음

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}

domain, codomain, image 벡터 공간의 차원 수가 모두 동일한지 여부와 관계없이 이 공식은 여전히 적용됩니다.

예를 들어, 벡터 평면의 아핀 변환은 {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}} 삼각형이 codomain에서 퇴화되지 않는지 여부와 codomain의 차원 수에 관계없이 {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}} 퇴화되지 않은 삼각형의 세 꼭짓점()이 ()에 매핑되는 위치에 대한 지식에서 고유하게 결정됩니다.

다음 기간 동안 아핀 구조를 보존합니다.

세 개 이상의 점이 같은 선을 따라 놓여 있으면 동일 선상에 있다고 하며 이 속성은 변환에서 살아남습니다.

두 개 이상의 선이 변환될 때 해당 평행선은 유지됩니다.

변형 전에 볼록한 집합은 변형 후에도 볼록한 상태로 유지됩니다. 또한 변형된 세트의 극점은 원래 세트의 극점에 해당합니다.

평행선 세그먼트 길이의 비율: 점과 , 및 로 정의되는 뚜렷한 평행 선분의 경우 p_{1} p_{2} p_{3} p_4 , {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}} 와 의 {\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}} 비율은 와 {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}} 의 비율과 같습니다 {\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}} .

가중치가 다른 점의 집합에 대한 barycenters.

아핀 변환이 반전될 수 있다는 점을 고려하면 행렬 표현에 나타나는 정사각 행렬 A 은 반전 가능합니다.

따라서 역변환의 행렬 표현은 다음과 같습니다.

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}

아핀 그룹은 반전 가능한 아핀 변환의 집합(한 아핀 공간에서 다른 아핀 공간으로)으로, 차수의 일반 선형 그룹을 n 하위 그룹으로 가지며 그 자체는 차수의 일반 선형 그룹의 하위 그룹입니다 n+1 .

유사성 변환은 부분군을 형성하며, 여기서 A 는 스칼라 곱하기 직교 행렬입니다.

예를 들어, 아핀 변환이 평면에 작용하고 의 행렬식 A 이 1 또는 −1이면 변환은 등가방향 매핑입니다.

이러한 변환에 의해 형성된 그룹을 등가군이라고 합니다.

유클리드 거리의 관점에서 평면의 아이소메트리는 등가성과 유사성을 모두 갖는 변환입니다.

이러한 각 그룹에는 방향 보존 또는 양의 아핀 변환의 하위 그룹(의 행렬식이 A 양수인 하위 그룹)이 있습니다.

마지막으로, 이것은 3차원의 강체 변환(적절한 회전 및 순수 변환)의 클래스입니다.

고정점이 있으면 아핀 변환이 선형 변환으로 단순화됩니다. 이렇게 하면 변경 사항을 분류하고 이해하는 능력이 향상될 수 있습니다. 예를 들어, 변환과 회전의 조합이 아니라 특정 축에 대한 특정 각도의 회전으로 설명되는 경우 변환의 전체 동작을 시각화하는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 그러나 이는 상황 및 상황에 따라 다릅니다.

두 아핀 공간 사이의 아핀 맵 {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 은 벡터(즉, 공간의 연결 벡터)에서 선형으로 작용하는 점에 대한 맵입니다.

기호에서 f 모든 점 쌍에 대해 \varphi 다음과 같은 P,Q\in {\mathcal {A}} 선형 변환을 결정합니다.

{\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})

또는

f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)

.

이 정의를 보는 몇 가지 다른 방법은 다음과 같습니다.

원점이 O\in {\mathcal {A}} 선택되고 B 해당 이미지를 나타내는 f(O)\in {\mathcal {B}} 경우 이는 모든 벡터에 대해 다음을 의미합니다 {\vec {x}} .

{\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}}))} .

원점 O'\in {\mathcal {B}} 도 선택하면, 이것은 를 보내는 아핀 변환으로 분해될