이방성 확산: 이방성 확산을 통한 이미지 분석 향상

By Fouad Sabry

이방성 확산이란 무엇입니까

이미지 처리 및 컴퓨터 비전에서 Perona?Malik 확산이라고도 하는 이방성 확산은 중요한 부분을 제거하지 않고 이미지 노이즈를 줄이는 것을 목표로 하는 기술입니다. 이미지 내용, 일반적으로 이미지 해석에 중요한 가장자리, 선 또는 기타 세부 사항. 이방성 확산은 이미지가 확산 프로세스를 기반으로 점점 더 흐려진 이미지의 매개변수화된 계열을 생성하는 스케일 공간을 생성하는 프로세스와 유사합니다. 이 계열의 각 결과 이미지는 이미지와 2D 등방성 가우스 필터 사이의 컨볼루션으로 제공됩니다. 여기서 필터 너비는 매개변수에 따라 증가합니다. 이 확산 프로세스는 원본 이미지의 선형 및 공간 불변 변환입니다. 이방성 확산은 이러한 확산 프로세스를 일반화한 것입니다. 이는 매개변수화된 이미지 계열을 생성하지만 결과로 생성되는 각 이미지는 원본 이미지와 원본 이미지의 로컬 콘텐츠에 따라 달라지는 필터 간의 조합입니다. 결과적으로 이방성 확산은 원본 이미지의 비선형 및 공간 변형 변환입니다.

혜택

(I) 통찰력 , 그리고 다음 주제에 대한 검증:

1장: 이방성 확산

2장: Fick의 확산 법칙

3장: 확산 방정식

4장: 열 방정식

5장: 나비에-스토크스 방정식

6장: 전체 변동

7장: 발산

8장: 라플라스 연산자

9장: Curl(수학)

10장: 발산 정리

(II) 이방성에 관한 대중의 주요 질문에 답하기 확산.

(III) 다양한 분야에서 이방성 확산을 사용하는 실제 사례.

이 책의 대상 독자

전문가, 학부 및 대학원생, 매니아, 취미생활자 및 모든 종류의 이방성 확산에 대한 기본 지식이나 정보를 넘어서고 싶은 사람들.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: Apr 28, 2024

Book preview

챕터 1: 비등방성 확산

Perona-Malik 확산이라고도 하는 비등방성 확산은 이미지 처리 및 컴퓨터 비전에서 가장자리, 선 및 기타 미세한 디테일과 같은 해석 가능한 이미지 기능을 희생하지 않고 사진의 노이즈를 줄이는 데 사용되는 방법입니다. 이방성 확산에서 이미지는 확산 과정을 통해 점점 더 흐릿해지는 이미지의 매개변수화된 계열을 개발하며, 이는 스케일 공간을 구축하는 과정과 유사합니다. 이 패밀리의 각 출력 영상은 파라미터가 증가함에 따라 너비가 조정되는 등방성 2차원 가우스 필터를 사용한 원본의 컨벌루션으로 표현됩니다. 이미지는 확산 과정에 의해 선형 및 공간 불변 방식으로 변환됩니다. 이방성 확산에서는 원본 이미지가 원본 이미지의 로컬 콘텐츠에 종속된 필터와 결합되어 파라미터화된 이미지 패밀리를 얻습니다. 따라서 이방성 확산은 비선형 및 공간 변형인 원본 이미지의 변화입니다.

Perona와 Malik의 1987년 프레젠테이션으로 시작된 이래로 생성된 이미지는 선형 구조를 유지하면서도 동일한 패턴을 따라 매끄럽게 할 수 있었습니다. 이 두 시나리오 모두에서 확산 계수는 그림의 공간 위치의 함수이므로 상수 스칼라로 유지되지 않고 행렬(또는 텐서) 값을 취합니다(구조 텐서 참조).

국소적으로 적응된 필터와 그림과의 조합은 원본 영상과 공간 변형 필터의 조합으로 개념화할 수 있지만, 결과 영상군에는 필요하지 않습니다. 패밀리의 각 새 이미지는 이 방정식을 이전 이미지에 적용하여 계산되며, 일반화된 확산 방정식의 근사를 사용하여 이방성 확산을 가능하게 합니다. 원하는 수준의 평활화를 얻기 위해 이방성 확산은 매우 간단한 계산 세트를 사용하여 패밀리의 각 연속 이미지를 계산하는 반복 프로세스입니다.

공식적으로, 평면 \Omega \subset {\mathbb {R}}^{2} 의 하위 집합을 나타내고 I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow {\mathbb {R}} 회색조 이미지 집합이 되도록하십시오.

{\displaystyle I(\cdot ,0)} 는 입력 이미지입니다.

그런 다음 이방성 확산을 다음과 같이 특성화할 수 있습니다.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}

여기서 \Delta 는 라플라시안을 나타내고, \nabla 는 기울기를 나타내고, {\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )} 는 발산 연산자이고, c(x,y,t) 는 확산 계수입니다.

의 경우 {\displaystyle t>0} 출력 이미지는 로 사용할 수 {\displaystyle I(\cdot ,t)} 있으며 클수록 t 흐릿한 이미지가 생성됩니다.

c(x,y,t) 확산 속도를 제어하며 일반적으로 이미지의 가장자리를 유지하기 위해 이미지 그라데이션의 함수로 선택됩니다.

이방성 확산은 1990년 피에트로 페로나(Pietro Perona)와 지텐드라 말리크(Jitendra Malik)에 의해 처음 제안되었으며, 이들은 확산 계수에 대한 두 가지 기능도 제안했습니다.

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}

그리고

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

상수 K는 시스템이 가장자리에 얼마나 민감한지를 결정합니다. 일반적으로 경험적으로 또는 이미지 노이즈 수준에 따라 선택됩니다.

M 매끄러운 이미지의 다양체를 나타낸다면, 위에 제시된 확산 방정식은 다음에 의해 정의된 에너지 함수의 최소화를 위한 경사하강 방정식으로 해석될 수 E:M\rightarrow {\mathbb {R}} 있습니다.

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{{\Omega }}g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

여기서 g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}} 는 확산 계수와 밀접한 관련이 있는 실수 값 함수입니다.

그런 다음 컴팩트하게 지원되는 무한 미분 가능한 테스트 기능에 대해 h

{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}

여기서 마지막 줄은 여러 부분으로 구성된 다차원 통합의 결과입니다.

I에서 평가된 내적 \nabla E_{I} 에 대한 E의 기울기를 나타내 L^{2}(\Omega ,{\mathbb {R}}) 면 다음과 같습니다.

{\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

이것은 함수 E의 경사하강법에 대해 다음과 같은 방정식으로 이어집니다.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

따라서 이방성 확산 방정식을 얻 c=g' 게함으로써 얻을 수 있습니다.

c(x,y,t) Perona와 Malik이 제안한 확산 계수는 다음과 같은 경우 불안정을 초래할 수 있습니다 {\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}} .

이 조건은 물리적 확산 계수(Perona 및 Malik에 의해 정의된 수학적 확산 계수와 구별됨)에 대한 음수 값과 동일한 것으로 나타나며, 따라서 이미지 강도의 대비를 매끄럽게 하기보다는 강조하는 역방향 확산을 초래합니다.

이 문제를 피하면서 사람들은 공간 정규화가 수렴되고 일정한 정상 상태 솔루션으로 이어지므로 정규화가 필요하다는 것을 증명했습니다.

PM방정식의 정규화(설명될 예정)에는 또 다른 이름이 있습니다.

이 방법을 사용하여 수정된 Perona-Malik 방정식을 얻기 위해 미지수는 비선형성 내부의 가우스와 컨볼루션됩니다.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}

여기서

{\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}

.

이 정규화를 통해 수식을 잘 배치할 수 있지만 일반적으로 정규화와 관련된 흐림 효과도 발생합니다. 정규화 파라미터를 미리 선택해야 하기 때문에 노이즈 레벨을 미리 아는 것이 중요합니다.

디지털 사진의 노이즈는 이미지 가장자리의 선명도에 영향을 주지 않고 이방성 확산을 사용하여 매끄럽게 제거할 수 있습니다. 이방성 확산 방정식은 확산 계수가 일정하게 유지될 때 가우스 블러링과 동일한 열 방정식으로 단순화할 수 있습니다. 이것은 배경 소음을 억제하는 데 훌륭하게 작동하지만 차별 없이 가장자리를 부드럽게 합니다. Perona-Malik 방법에서와 같이 확산 계수가 날카로운 모서리를 방지하기 위한 함수로 사용되는 경우, 결과 방정식은 이미지의 덜 강한 부분에서는 확산을 촉진하고 결과적으로 매끄러워지는 동시에 날카로운 모서리에서는 확산을 억제합니다. 결과적으로 노이즈가 줄어드는 동안 이미지의 경계가 보호됩니다.

노이즈 캔슬링과 유사한 방식으로, 에지 검출 알고리즘은 이방성 확산을 적용함으로써 이점을 얻을 수 있습니다. 가장자리 탐색 확산 계수를 사용하여 특정 횟수의 확산을 반복한 후 이미지는 조각별 상수가 되도록 진화하고 가장자리는 상수 구성 요소 사이의 경계를 나타냅니다.

{챕터 1 종료}

챕터 2: 픽의 확산 법칙

아돌프 픽 (Adolf Fick)은 1855 년에 확산 법칙을 처음 제안하여 대부분 실험적 증거를 기반으로 확산을 설명했습니다. D. Fick의 첫 번째 법칙은 확산 방정식과 동일한 두 번째 법칙을 얻는 데 사용할 수 있으며 둘 다 확산 계수를 푸는 데 사용할 수 있습니다.

정상 또는 Fickian 확산은 Fick의 법칙을 따르는 확산 과정을 나타냅니다. 변칙적 또는 비피키안 확산은 이러한 규칙에서 벗어나는 과정을 말합니다.

현재 유명한 질량 확산 규칙은 1855년 과학자 아돌프 픽(Adolf Fick)에 의해 처음 설명되었습니다. 픽의 연구에 영감을 준 것은 토마스 그레이엄의 이전 연구였는데, 이 연구는 흥미로웠지만 픽이 유명해질 수 있는 필수적인 법칙을 제공하지는 않았다. 픽의 법칙은 Darcy의 법칙 (유압 흐름), 옴의 법칙 (전하 수송) 및 푸리에의 법칙 (주파수 분석) (열 수송)과 같은 다른 발광체가 동시에 발견 한 다른 법칙과 비교할 수 있습니다.

Graham의 연구를 바탕으로 Fick은 한 저수지에서 다른 저수지로 물 튜브를 통해 확산되는 소금의 농도와 플럭스를 측정하는 실험을 수행했습니다. 고체의 확산은 당시에는 일반적으로 생각할 수 없다고 생각했기 때문에 Fick의 연구는 유체의 확산에만 초점을 맞췄습니다. 비 Fickian은 그것을 설명하는 데 사용되는 용어입니다.

Fick의 첫 번째 법칙에 따르면 확산 플럭스는 농도 구배에 비례합니다. 가장 간단한 형태로, 용질은 농도 구배를 가로질러 고농도 영역에서 저농도 영역으로 이동하며, 플럭스의 양은 농도 구배(공간 미분)에 비례한다는 개념입니다. 법칙의 다양한 변형은 단일(공간적) 차원으로 표현될 수 있으며 어금니 기초가 가장 널리 퍼져 있습니다.

{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}

어디

J는 확산 플럭스이며, 그 중 치수는 단위 시간당 단위 면적당 물질의 양입니다. J는 단위 시간 간격 동안 단위 면적을 통해 흐를 물질의 양을 측정합니다.

D는 확산 계수 또는 확산도입니다. 치수는 단위 시간당 면적입니다.

φ (이상적인 혼합물의 경우)는 단위 부피당 질량으로 측정되는 농도입니다.

x 는 위치이고, 그 차원은 길이입니다.

D 는 스토크스-아인슈타인 관계, 유체의 점도 및 입자 크기에 따라 온도에 따라 달라지는 확산 입자의 제곱 속도에 비례합니다.

묽은 수용액에서 대부분의 이온의 확산 계수는 유사하며 실온에서 (0.6–2)×10−9m2/s 범위에 있는 값을 갖습니다.

생물학적 분자의 경우 확산 계수는 일반적으로 10−10에서 10−11m2/s입니다.

두 개 이상의 차원에서 ∇, 기울기 또는 del 연산자를 사용해야 하며, 1차 도함수를 전체적으로 포함하여

{\displaystyle \mathbf {J} =-D\nabla \varphi }

확산 플럭스 벡터는 문자 J로 표시됩니다.

1차원 확산의 원동력은 양 -∂φ/

∂x

이며, 이것은 균질 혼합물에 대한 농도 구배입니다.

첫 번째 법칙의 또 다른 형태는 1차 변수를 질량 분율로 작성하는 것입니다(yi, 설명을 위해 kg/kg 단위로 제시됨, 그 후 방정식은 다음과 같이 바뀝니다.

{\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}}

어디

i번째 종은 지수 i로 표시되고, Ji는 i번째 종의 확산 플럭스 벡터 (예: mol/m2-s)  이고, Mi  는 i번째 종의 몰 질량이고,

ρ 는 혼합물 밀도(예: kg/m3)입니다.

는 \rho 그라데이션 연산자 외부에 있습니다.

이러한 이유로:

{\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }}}

여기서 ρsi  는 i번째 종의 부분 밀도입니다.

또한, 종의 화학적 전위 구배는 완벽한 용액이나 혼합물이 아닌 화학 시스템에서 해당 종의 확산을 촉진하는 원동력입니다. 그러면 픽 이론의 제1법칙(1차원에서)을 공식화할 수 있다.

J_i = - \frac{D c_i}{RT} \frac{\partial \mu_i}{\partial x}

어디

i번째 종은 인덱스 i로 표시됩니다.

c 는 농도(mol/m3)입니다.

R 은 범용 기체 상수(J/K/mol)입니다.

T 는 절대 온도(K)입니다.

μ 는 화학적 전위(J/mol)입니다.

fugacity 미분은 Fick의 법칙의 원동력입니다.

{\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}}}

Fugacity f_{i} 에는 Pa 단위가 있습니다.

f_{i} 는 증기 또는 액체 {\displaystyle f_{i}^{G}} 상태에서 {\displaystyle f_{i}^{L}} 성분 I의 부분 압력입니다.

증기 액체 평형에서 증발 플럭스는 0입니다 {\displaystyle f_{i}^{G}=f_{i}^{L}} .

여기에서 이원 기체 혼합물에 대한 Fick의 법칙에 대한 네 가지 공식을 찾을 수 있습니다. 이는 일정한 압력 또는 두 종의 몰 질량이 동일하고, 열 확산이 최소화되고, 단위 질량당 본체 힘이 각각에 대해 동일하다는