직교 투영: 컴퓨터 비전의 직교 투영 탐색

By Fouad Sabry

직교 투영이란 무엇입니까

직교 투영은 3차원 객체를 2차원으로 표현하는 수단입니다. 직교 투영은 모든 투영 선이 투영 평면에 직교하여 장면의 모든 평면이 보기 표면에서 아핀 변환으로 나타나는 평행 투영의 한 형태입니다. 직교 투영의 앞면은 투영 선이 투영 평면과 직교하지 않는 평행 투영인 경사 투영입니다.

혜택을 받는 방법

(I) 다음 주제에 대한 통찰 및 검증:

1장: 직교 투영

2장: 직교 행렬

3장: 등각 투영

4장: 엔지니어링 도면

5장: 3D 투영

6장: 입체 투영

7장: 설명 기하학

8장: 경사 투영

9장: 평행 투영

10장: 축측법

(II) 공개 주요 질문에 답하기 정사영법에 대해 설명합니다.

(III) 다양한 분야에서 정사영법을 사용하는 실제 사례.

이 책은 누구를 위한 책인가요?

전문가, 학부 및 대학원생, 매니아, 취미생활자 및 모든 종류의 직교 투영에 대한 기본 지식이나 정보를 뛰어넘기를 원하는 사람들.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: May 4, 2024

Book preview

챕터 1: 직교 투영

직교 투영(직교 투영 및 아날레마)은 보기 표면에서 각 그림 평면의 아핀 변환을 초래합니다. 비스듬한 투영에서 투영선은 투영 평면과 직교하지 않습니다.

멀티뷰 투영에서 직교는 피사체의 주축 또는 평면이 투영 평면과 평행하여 기본 뷰를 생성하는 기술을 나타낼 수 있습니다. 직교 투영에서 물체의 주 평면 또는 축이 투영 평면과 평행하지 않은 경우 묘사는 축삭 또는 보조보기입니다. (Axonometric projection과 parallel projection은 동의어입니다.) 평면도, 입면도 및 단면도는 기본 뷰의 하위 유형입니다. 등각투영, 디메트릭 및 트라이메트릭 투영은 보조 뷰의 하위 유형입니다.

직교 투영을 제공하는 텔레센트릭 렌즈는 object-space lens입니다.

다음 행렬은 z = 0 평면에 대한 간단한 직교 투영을 정의합니다.

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

각 점 v = (vx, v, y, vz)에 대해 점으로 변환된 Pv는 다음과 같습니다.

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

동종 좌표를 사용하는 것이 더 유리한 경우가 많습니다. 동종 좌표의 경우 위의 변환은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

각 동종 벡터 v = (vx, v, y, v, z, 1)에 대해, 변환 후의 벡터 Pv는 다음과 같습니다.

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

컴퓨터 그래픽에서 직교 투영에 가장 자주 사용되는 행렬 중 하나는 클리핑 평면을 지정하는 6-튜플(왼쪽, 오른쪽, 아래쪽, 위쪽, 근거리, 원거리)로 지정됩니다. 이러한 평면은 가장 작은 모서리가 (왼쪽, 아래쪽, -near)에 있고 가장 큰 모서리가 (right, top, -far)(오른쪽, 위쪽, -far)에 있는 상자를 만듭니다.

그런 다음 상자는 단위 큐브로 크기가 조정되며, 단위 큐브는 최소 모서리가 (1,1,1)이고 가장 큰 모서리가 (1,1,1)입니다. (1,1,1).

다음 행렬은 직교 변환을 나타냅니다.

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

이것은 스케일링 S와 형식에 따른 변환 T로 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

투영 행렬 P−1의 반전, 그것은 비 투영 행렬로 사용될 수 있습니다 :

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

등각 투영, 이분법 투영 및 삼각 투영은 뷰가 직교에서 벗어나는 정확한 각도에 따라 직교 투영의 세 가지 하위 유형입니다. 축삭 측량 도면에서는 다른 형태의 다이어그램과 마찬가지로 공간의 한 축이 일반적으로 수직으로 표시됩니다.

등각 투영보기에서 엔지니어링 도면에 사용되는 가장 일반적인 유형의 축삭 투영법은 시야의 방향이 공간의 세 축이 모두 비례 적으로 압축 된 것처럼 보이고 그 사이에 120 °의 공통 각도가 있습니다.

단축법으로 인한 왜곡이 균일하기 때문에 길이 사이의 비율이 유지되고 축은 동일한 스케일을 갖습니다. 이렇게 하면 도면에서 직접 측정할 수 있습니다.

또 다른 장점은 나침반과 직선 모서리만 사용하여 120° 각도를 쉽게 구성할 수 있다는 것입니다.

다이메트릭 투영에서 보기 방향은 공간의 세 축 중 두 축이 동일하게 압축된 것처럼 보이며 수반되는 축척과 표시 각도는 시야각에 의해 설정됩니다. 세 번째 방향의 스케일은 개별적으로 결정됩니다. 다이메트릭 도면에는 일반적으로 치수의 근사치가 포함됩니다.

트라이메트릭 투영에서 보기 방향은 공간의 세 축이 불균등하게 압축된 것처럼 보이도록 합니다. 세 축 각각의 스케일과 그 사이의 각도는 시야각에 따라 독립적으로 결정됩니다. 트라이메트릭 도면에서는 치수 근사치가 일반적이지만 기술 도면에서는 트라이메트릭 원근법이 거의 사용되지 않습니다.

멀티뷰 프로젝션은 기본 뷰라고 하는 오브젝트의 이미지를 최대 6개까지 생성하며, 각 프로젝션 평면은 오브젝트의 좌표축 중 하나에 평행합니다. 뷰의 상대적 위치는 첫 번째 각도 또는 세 번째 각도 투영의 두 가지 체계 중 하나에 의해 결정됩니다. 뷰의 모양은 각 경우에 객체 주위에 6면 상자를 형성하는 평면에 투영됩니다. 6개의 다른 면을 그릴 수 있지만 드로잉의 3개 뷰는 3차원 개체를 만드는 데 충분한 정보를 제공합니다. 이러한 투시를 정면도, 평면도 및 끝 뷰라고 합니다. 이러한 관점을 평면, 입면 및 단면이라고도 합니다. 표시된 항목의 평면 또는 축이 투영 평면에 수직이 아니고 물체의 여러 면이 동일한 이미지에서 표시되는 경우 이를 보조 보기라고 합니다. 따라서 멀티뷰 프로젝션에서는 아이소메트릭 프로젝션, 다이메트릭 프로젝션 및 트라이메트릭 프로젝션을 보조 뷰라고 합니다. 공간의 한 축은 일반적으로 수직으로 표시되며, 이는 멀티뷰 프로젝션의 특징입니다.

직교 투영 지도는 지도 제작 지도 투영입니다. 입체 및 gnomonic 투영과 같은 직교 투영은 구가 접선 또는 시컨트 평면에 투영되는 원근 (또는 방위각) 투영입니다. 직교 투영의 원근점은 무한히 멀리 있습니다. 그것은 우주에서 본 지구의 반구를 묘사하며 수평선은 큰 원으로 표시됩니다. 특히 여백 근처에서는 모양과 영역이 뒤틀립니다.

{챕터 1 종료}

챕터 2: 직교 행렬

직교 행렬 또는 직교 행렬은 선형 대수학에서 열과 행이 정규 직교 벡터인 실수 정사각 행렬입니다.

한 가지 가능한 표현식은 다음과 같습니다.

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}

여기서 QT  는 Q 의 전치이고 I는 단위 행렬입니다.

이것은 동일한 정의를 낳습니다 : 행렬 Q는 전치가 역과 같으면 직교합니다.

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},}

여기서 Q−1은 Q의 역입니다.

직교 행렬 Q 는 반드시 가역 가능(역 Q−1 = QT), 유니터리(Q−1 = Q∗), 여기서 Q∗  는 Q의 에르미트 인접(켤레 전치) 이므로 실수에 대한 정규(Q∗Q = QQ∗)입니다.

+1 또는 -1은 직교 행렬의 행렬식입니다.

선형 변환의 결과로,