삼중초점 텐서: 컴퓨터 비전의 깊이, 동작 및 구조 탐색

By Fouad Sabry

삼중초점 텐서란 무엇입니까

컴퓨터 비전 영역 내에서 삼중초점 텐서는 3×3×3 크기를 자랑하고 모든 기하학적 관계를 포함하는 수치 배열입니다. 세 가지 관점 중 투사적입니다. 세 가지 서로 다른 뷰에서 일치하는 점 또는 선의 좌표는 이 방법으로 서로 관련됩니다. 이 방법은 장면의 구조와 무관하며 세 뷰 간의 상대적인 움직임과 각 뷰의 고유 교정 매개변수에만 의존합니다. . 결과적으로 삼중초점 텐서는 세 가지 다른 관점에서 기본 행렬을 일반화한 것으로 생각할 수 있습니다. 텐서가 27개의 요소로 구성되어 있음에도 불구하고 해당 요소 중 18개만이 실제로 독립적이라는 점을 강조하는 것이 중요합니다.

혜택을 받는 방법

(I) 다음 주제에 대한 통찰력 및 검증:

1장: 삼중초점_텐서

2장: 순위선형대수학

3장: 추적 선형 대수학

4장: 주요_성분_분석

5장: 평행 이동_(기하학)

6장: 크로네커 제품

7장: 고유값_및_고유벡터

8장: 3차원_공간

9장: 기본_행렬_(컴퓨터_비전)

10장: 코너_감지

(II) 삼중초점 텐서에 관한 대중의 주요 질문에 답합니다.

(III) 다양한 분야에서 삼중초점 텐서의 사용에 대한 실제 사례.

이 책의 대상자

전문가, 학부생 및 대학원생, 열성팬, 취미생활자 및 모든 종류의 삼중초점 텐서에 대한 기본 지식이나 정보를 넘어서고 싶은 사람들.

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: May 1, 2024

Book preview

1장: 삼초점 텐서

컴퓨터 비전과 관련하여 삼초점 텐서 ( tritensor라고도 함)는 투영 기하학에서 세 가지 관점 간의 전체 관계 집합을 나타내는 3×3×3 숫자 배열(즉, 텐서)입니다.

평행선과 점의 3차원 좌표는 서로 관련되어 있으며, 장면의 위상과는 아무 관련이 없으며 세 가지 관점과 타고난 보정 요소 사이의 상대적 이동성(즉, 자세)과 관련이 있습니다.

따라서 삼초점 텐서는 기본 행렬의 3차원 버전으로 생각할 수 있습니다.

텐서는 27 개의 요소로 구성되어 있지만 그 중 18 개만이 실제로 자급 자족 할 수 있다고 지적됩니다.

소위 보정된 삼초점 텐서에는 11개의 자유도 또는 독립적인 요소가 있으며, 이는 고유한 속성을 감안할 때 세 가지 보기에서 점과 선의 좌표를 연관시켜 카메라의 상대적 자세를 전역 규모까지 인코딩합니다. 자유도가 감소하기 때문에 모형에 맞춰야 하는 대응 횟수가 줄어들지만, 이로 인해 비선형성이 높아집니다.

텐서는 상관 슬라이스 {\mathbf T}_1, \; {\mathbf T}_2, \; {\mathbf T}_3 로 알려진 3개의 랭크 2 3 x 3 행렬의 모음으로도 볼 수 있습니다.

세 개의 뷰의 투영 행렬이 {\mathbf P}=[ {\mathbf I} \; | \; {\mathbf 0} ] , {\displaystyle {\mathbf {P} }'=[{\mathbf {A} }\;|\;{\mathbf {a} }_{4}]} 및 {\displaystyle {\mathbf {P} ''}=[{\mathbf {B} }\;|\;{\mathbf {b} }_{4}]} 라고 가정하면, 해당 텐서의 상관 슬라이스는 닫힌 형태로 표현될 수 있으며

{\mathbf T}_i={\mathbf a}_i {\mathbf b}_4^t - {\mathbf a}_4 {\mathbf b}_i^t, \; i=1 \ldots 3

, 여기서 {\mathbf a}_i, \; {\mathbf b}_i 는 각각 카메라 행렬의 i번째 열입니다.

그러나 실제로 텐서는 점과 선 일치를 위해 세 가지 관점을 각각 비교하여 계산됩니다.

세 개의 이미지에서 선과 점 사이의 선형 관계는 삼초점 텐서의 가장 유용한 결과 중 하나입니다.

보다 구체적으로, 대응하는 점들의 삼중항 과 그것들을 통과하는 {\displaystyle {\mathbf {x} }\;\leftrightarrow \;{\mathbf {x} }'\;\leftrightarrow \;{\mathbf {x} }''} 임의의 대응하는 선 {\displaystyle {\mathbf {l} }\;\leftrightarrow \;{\mathbf {l} }'\;\leftrightarrow \;{\mathbf {l} }''} 들에 대하여, 아래 나열된 3-선형 제한은 유효합니다.

{\displaystyle ({\mathbf {l} }^{\prime t}\left[{\mathbf {T} }_{1},\;{\mathbf {T} }_{2},\;{\mathbf {T} }_{3}\right]{\mathbf {l} }'')[{\mathbf {l} }]_{\times }={\mathbf {0} }^{t}}{\displaystyle {\mathbf {l} }^{\prime t}\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right){\mathbf {l} }''=0}{\displaystyle {\mathbf {l} }^{\prime t}\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right)[{\mathbf {x} }'']_{\times }={\mathbf {0} }^{t}}{\displaystyle [{\mathbf {x} }']_{\times }\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right){\mathbf {l} }''={\mathbf {0} }}{\displaystyle [{\mathbf {x} }']_{\times }\left(\sum _{i}x_{i}{\mathbf {T} }_{i}\right)[{\mathbf {x} }'']_{\times }={\mathbf {0} }_{3\times 3}}

여기서 [\cdot]_{\times} 는 기울이기 대칭 외적 행렬을 나타냅니다.

세 번째 보기에서 점의 위치는 해당 보기의 삼초점 텐서만 사용하여 두 보기에서 일치하는 한 쌍의 점에서 결정할 수 있습니다. 점 이동은 이 현상을 설명하며, 이는 선과 원뿔에도 적용됩니다. 일반 곡선을 원뿔로 전송하는 것은 먼저 로컬 미분 곡선에서 진동하는 원으로 모델링하여 가능합니다. 그러나 보정되지 않은 삼초점 텐서의 문제는 여전히 공중에 떠 있습니다.

표준 사례에는 세 가지 솔루션이 있는 6점 대응이 포함됩니다.

최근 몇 년 동안 단 9개의 라인 대응을 사용하여 삼초점 텐서를 계산하는 문제에 대한 해결책이 나타났습니다.

보정된 삼초점 텐서 추정은 매우 까다로우며 4점 대응이 필요하다고 합니다. 동일한 방법은 또한 3 점 대응과 1 선 대응의 결합 된 상황에 대해 216 차수로 최소한임이 입증되었습니다.

{챕터 1 종료}

챕터 2: 순위(선형 대수학)

행렬 A의 랭크는 선형 대수학에서 행렬의 열에 의해 형성된(또는 확장된) 벡터 공간의 차원 수입니다. 따라서 A에 의해 저장된 선형 방정식과 선형 변환의 비퇴화성은 순위의 관점에서 정량화할 수 있습니다. 순위는 다양한 방식으로 이해할 수 있습니다. 행렬의 순위는 매우 기본적인 속성입니다.

순위는 일반적으로 rank(A) 또는 rk(A) 기호로 표시됩니다. 행렬의 순위는 이 섹션에 정의되어 있습니다. 광범위한 잠재적 의미가 있으며 그 중 일부는 대체 의미에서 탐구됩니다.

A가 집합인 경우, 열 순위는 열 공간의 요소 수이고, 행 순위는 행 공간의 요소 수입니다.

선형 대수학에서 열의 순위는 항상 행의 순위와 같다는 것은 1차 결과입니다.

(이 결과에 대한 세 가지 증명은 아래의 § 열 순위 = 행 순위 증명에 나와 있습니다.) 이 합계를 고려하십시오 (즉, A의 고유 한 행과 열의 수를 계산하면 순위가 산출됩니다.

행렬에 해당 차원의 생각할 수 있는 가장 큰 행렬과 동일한 수의 행과 열이 있는 경우 전체 랭크를 갖는다고 합니다. 행렬에 전체 순위가 없으면 순위가 부족하다고 말합니다. 행렬의 행 수가 열보다 적으면 순위 부족이 있다고 합니다.

선형 맵 또는 연산자의 순위 \Phi 는 이미지의 차원으로 정의됩니다.

{\displaystyle \operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))}

여기서 {\displaystyle \dim } 는 벡터 공간의 차원이고, {\displaystyle \operatorname {img} } 는 맵의 이미지입니다.

행렬

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}}}

랭크 2가 있습니다. 두 개 이상의 선형 독립 열(첫 번째 및 두 번째)이 있으므로 순위는 2 이상이지만 세 번째 열은 처음 두 열(첫 번째 열에서 두 번째 빼기)의 선형 조합이므로 순위는 3보다 크지 않습니다.

행렬

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}

랭크 1을 가지고 있습니다. 일부 열이 있으므로 순위는 0이 아닙니다. 그러나 두 열은 서로 선형적으로 종속됩니다. 비슷한 맥락에서 반전

{\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}

첫 번째 지점인 A.

실제로, A의 전위가 A의 행 벡터와 동일한 열 벡터를 갖는다고 가정할 때, 행렬의 전위와 순위가 같다고 말하는 것은 열 순위가 행 순위와 같다고 말하는 것과 비슷합니다(예: rank(A) = rank(AT)).

행렬의 순위를 구하는 것은 일반적으로 간단한 행 연산만 사용하여 행 계급 형식이라고 하는 더 간단한 형식으로 변환하는 것을 포함합니다. 가역성으로 인해 행 연산은 행 공간(및 행 순위)을 변경하지 않고 대신 열 공간을 동형 공간으로 변환합니다(따라서 열 순위를 변경하지 않음). 행 계층 형식은 피벗(또는 기본 열) 수에 0이 아닌 행 수를 더한 값과 같게 순위를 만듭니다.

다음과 같이 쓸 수 있는 행렬 A를 고려하십시오.

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}

후속 기본 행 작업을 사용하여 컴팩트 한 행 제대 형식으로 기록 할 수 있습니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}

결과적으로, 행렬 A의 랭크는 2이며, 마지막 행렬(행 사다리꼴)에는 0이 아닌 두 개의 행이 있습니다.

기본 가우스 소거(LU 분해)는 컴퓨터의 부동 소수점 계산에 사용될 때 불안정할 수 있습니다. 대신 순위를 드러내는 분해를 사용하는 것이 좋습니다. 특이값 분해(SVD)는 강력한 대안이지만, 피벗을 사용한 QR 분해(소위 순위 공개 QR 분해)와 같이 가우스 소거보다 수치적으로 훨씬 더 강력한 저렴한 대안이 있습니다. SVD의 특이값과 같은 값을 0으로 간주해야 하는 경우를 선택하기 위한 기준과 같이 순위의 수치 결정을 위해 행렬과 응용 프로그램 모두에 따라 달라지는 실용적인 선택이 필요합니다.

선형 대수학에서 행렬의 열 순위와 행 순위의 같음은 기본 속성입니다.

수많은 예가 제공되었습니다.

가장 기본적인 것 중 하나는 § 행 제대 양식에서 순위로 스케치되었습니다.

대안적인 증거가 여기에 제시되어 있습니다.

기본 행 연산이 행 순위 또는 열 순위에 영향을 주지 않는다는 것을 쉽게 보여 줄 수 있습니다. 간단한 행 연산만 포함하는 가우스 소거법의 특성으로 인해 행렬의 행 순위와 열 순위는 모두 축소된 행 사다리꼴 버전에서 유지됩니다. 행렬은 각 면에 0 행을 추가하는 것과 같은 몇 가지 기본 열 연산을 더 수행하여 단위 행렬로 변환할 수 있습니다. 다시 한 번 말하지만, 이것은 행이나 열의 순서에 영향을 주지 않습니다. 요소가 0이 아닌 행렬의 개수는 각 행과 열의 순위에 정비례합니다.

이 결과에 대한 두 가지 증명이 더 제공됩니다. 첫 번째는 필드 독립적이며 벡터의 선형 조합의 기본 기능만 사용합니다. Wardlaw는 증명의 기초입니다 (2005).

A를 m 행렬 × n 행렬이라고 합니다.

r을 A의 열 순위로 취하고 c1, .., cr  을 A의 열 공간에 대한 기초로 설정합니다.

이를 m 행렬 × r 행렬 C의 열로 배치 합니다.

A의 모든 열은 C의 r 열의 선형 조합으로 작성할 수 있습니다.

즉 ,  A = CR이 되는 r × n 행렬 R  이 있습니다.

R  은 i번째 열이 계수로 형성된 행렬로, A 의 i번째 열을 C의 r개 열의 선형 결합으로 제공합니다.

다시 말하면 R 은 문자 A를 완성하기 위해 A(C)의 열 공간 밑수에 대한 배수를 포함하는 행렬입니다.

이제 R의 r개 행을 선형으로 결합하면 A의 각 행이 생성됩니다.

따라서 R의 행은 행 공간 A와 B에 모두 걸쳐 있으며, 슈타이니츠 교환 정리에 따르면 r은 A가 가질 수 있는 최대 행 순위입니다.

이는 A가 열 순위보다 행 순위가 낮다는 증거입니다.

모든 행렬은 이 결론으로부터 이점을 얻을 수 있으며, A의 전치에 대한 해를 사용합니다.

A가 전치되면 행 순위가 열 순위가되고 열 순위가 행 순위가됩니다. 이것은 역 부등식을 증명하고 A의 행 순위와 열 순위가 같음을 제공합니다.

(관련 개념은 Rank factorization 항목을 참조하십시오.)

A를 행 랭크가 r인 실수에 요소를 포함하는 m × n  행렬이라고 하겠습니다.

따라서 A는 r개의 행을 가지므로 r은 행 공간의 차원입니다.

x1, x2, ..., xr  을 A의 행 공간의 기저라고 합니다.

우리는 벡터 Ax1, Ax2, ..., Axr 이 선형적으로 독립적이라고 주장합니다.

이해하려면 스칼라 계수 c1, c2, ..., cr을 갖는 이러한 벡터를 포함하는 선형 동차 관계를 고려하십시오.

{\displaystyle 0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,}

여기서 V = C1x1 + C2x2 + ⋯ + CRXR입니다.

A의 행 공간에 있는 벡터의 선형 조합은 v로 표시되므로 v는 A 행에 존재해야 하며, 또한 (b)는 Av = 0이기 때문에 A의 각 행 벡터와 벡터 v는 서로 직교하므로 A의 행 공간에 있는 모든 벡터에 수직입니다.

v가 (a)와 (b)에서 자신과 직교한다는 것을 추론하면, v = 0 또는 사전에 따르면 v,

{\displaystyle c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.}

그러나 xi는 A의 행 공간의 기저로 선택되었 으므로 선형적으로 독립적이라는 점을 기억하십시오.

이것은 c1 = c2 = ⋯ = cr = 0임을 의미합니다.

따라서 Ax1, Ax2, ..., Axr 은 선형적으로