2차원 기하학적 모델: 컴퓨터 비전의 이해와 응용

By Fouad Sabry

2차원 기하학적 모델이란 무엇입니까

2D 기하학적 모델은 일반적으로 유클리드 또는 데카르트 평면에 있는 2차원 도형인 객체의 기하학적 모델입니다.

혜택

(I) 다음 주제에 대한 통찰력 및 검증:

1장: 2D 기하학적 모델

2장: 차원

3장: 유클리드 기하학

4장: 토폴로지

5장: 벡터 그래픽

6장: 2D 컴퓨터 그래픽

7장: 기본 기하학적

8장: 이산 기하학

9장: 입체 기하학

10장: 기하학적 모델링

(II) 2차원 기하학적 모델에 관한 대중의 주요 질문에 답합니다.

(III) 2차원 기하학적 모델 사용에 대한 실제 사례 다양한 분야를 다루고 있습니다.

이 책은 누구를 위한 책인가요?

전문가, 학부생 및 대학원생, 열성팬, 취미생활자, 기본 지식을 뛰어넘고자 하는 사람, 또는 모든 종류의 2차원 기하학적 모델에 대한 정보.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: May 5, 2024

Book preview

1 장 : 2D 기하학적 모델

2D 기하학적 모델은 일반적으로 유클리드 또는 데카르트 평면에서 물체를 2차원으로 표현한 것입니다.

모든 재료 항목이 3차원이지만 일반적으로 종이 컷아웃 및 판금 기계 부품과 같은 평평한 객체에는 2D 형상 모형으로 충분합니다. 다른 예로는 뇌우를 나타내는 원이 있는데, 위에서 볼 때 평평하게 보입니다.

단순한 기하학적 모양

경계 표현

다각형에 적용되는 부울 연산

{챕터 1 종료}

제 2 장: 차원

수학적 공간(또는 물체)의 차원은 물리학과 수학에서 비공식적으로 그 안의 모든 점을 지정하는 데 필요한 최소 좌표 수로 정의됩니다. 결과적으로, 숫자 선의 5에 있는 점과 같이 선의 점을 식별하는 데 하나의 좌표만 필요하기 때문에 선은 하나의 차원(1D)을 갖습니다. 원통 또는 구의 경계와 같은 표면은 점을 지정하는 데 두 개의 좌표가 필요하기 때문에 차원이 2(2D)입니다(예: 구의 표면에서 점을 찾으려면 위도와 경도가 필요함). 2차원 유클리드 공간은 평면 기반의 2차원 공간입니다. 정육면체, 원통 또는 구의 내부는 3차원(3D)인데, 이러한 영역 내에서 점을 찾으려면 세 개의 좌표가 필요하기 때문입니다.

공간과 시간은 고전 물리학에서 별개의 실체이며 절대 공간과 시간을 나타냅니다. 이 세계의 그림은 4차원 공간이지만 전자기학을 설명하는 데 필요한 것은 아닙니다. 시공간의 4차원(4차원)은 지리적으로나 시간적으로 절대적인 것이 아니라 관찰자의 움직임과 관련하여 알려진 사건으로 구성됩니다. 일반 상대성 이론의 유사 리만 다양체는 물질과 중력으로 시공간을 설명합니다. 민코프스키 공간은 먼저 중력이 없는 우주에 근접합니다. 초끈 이론은 10차원(6차원 초공간 + 4차원), 초중력과 M-이론은 11차원(7차원 초공간 + 4차원)을 가지며, 양자역학의 상태공간은 무한 차원 함수 공간이다.

치수 아이디어는 물리적 항목에만 국한되지 않습니다. 수학과 과학에서 고차원 공간이 자주 발생합니다. 그것들은 유클리드 공간 또는 라그랑주 또는 해밀턴 역학에서와 같이보다 일반적인 매개 변수 공간 또는 구성 공간 일 수 있습니다. 이것은 우리가 거주하는 물리적 공간과는 구별되는 추상적인 공간입니다.

수학에서 물체의 치수는 대략적으로 물체에서 움직이는 점의 자유도 수입니다. 즉, 치수는 물체에서 제한된 점의 위치를 정의하는 데 필요한 독립 매개변수 또는 좌표의 수입니다. 예를 들어, 점의 차원은 0입니다. 선의 치수는 점이 선을 따라 한 방향(또는 그 반대)으로만 이동할 수 있기 때문에 1입니다. 평면의 치수는 2 등입니다.

물체의 차원은 사물이 있거나 포함될 수 있는 공간의 차원과 무관하다는 의미에서 본질적인 속성입니다. 원과 같은 곡선은 곡선의 고정된 점에서 곡선을 따라 부호 있는 거리에 의해 결정되기 때문에 1차원을 갖습니다. 이것은 선이 아닌 한 곡선이 2 미만의 유클리드 공간에 포함될 수 없다는 사실과 무관합니다.

유클리드 n-공간 En 의 차원은 n입니다.

다양한 종류의 공간으로 일반화하려고 할 때 무엇이 En n차원을 만드는가?라는 질문에 직면하게 됩니다. 한 가지 대답은 반 경 ε의 작은 공으로 En의 고정 공을 덮으려면 ε 개의 작은 공이 필요하다는 것입니다.

이 통찰력은 Minkowski 차원의 정의와 더 복잡한 변형인 Hausdorff 거리로 이어지지만 이 질문에 대한 추가 응답이 있습니다.

예를 들어, En에 있는 공의 경계는 국소적으로 En-1 과 비슷하게 보이며 이는 귀납적 차원의 개념으로 이어집니다.

이러한 개념은 En에 동의하지만 더 넓은 공간을 살펴보면 다른 것으로 판명됩니다.

tesseract는 4차원을 가진 객체의 예입니다. 수학자들은 일반적으로 이것을 테서랙트에는 차원이 4입니다 또는 테서랙트의 차원은 4입니다 또는 4D로 표현하지만 수학 외부에서는 차원이라는 용어가 일반적으로 테서랙트에는 4차원이 있습니다.로 사용됩니다.

고차원의 개념은 르네 데카르트(René Descartes)로 거슬러 올라가지만, 고차원 기하학의 중요한 발전은 Arthur Cayley, Henry Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli 및 Bernhard Riemann의 노력에 의해 19세기까지 시작되지 않았습니다.

1854년 리만(Riemann)의 Habilitationsschrift, 슐레플리(Schläfli)의 1852년 콘티누이테트 이론(Theorie der vielfachen Kontinuität), 존 T. 해밀턴(John T. Hamilton)의 쿼터니언 발견.

그레이브스가 1843년에 발견한 옥토니언은 고차원 기하학의 시작을 알리는 신호탄이었다.

이 부분은 차원의 가장 중요한 수학적 정의에 대한 논의로 계속됩니다.

벡터 공간의 차원은 공간에 대한 모든 기준의 벡터 수 또는 벡터를 표현하는 데 필요한 좌표 수입니다. 이 차원 개념 (기저의 카디널리티)은 다른 차원 개념과 구별하기 위해 하멜 차원 또는 대수 차원이라고합니다.

자유롭지 않은 상황에서, 이것은 모듈의 길이 개념으로 일반화됩니다.

연결된 모든 토폴로지 매니폴드의 고유하게 지정된 차원을 계산할 수 있습니다. 국소적으로, 연결된 위상 다양체는 유클리드 n-공간에 대한 동종성이며, 여기서 n은 다양체의 차원입니다.

어느 점에서든, 연결된 미분 가능한 다양체의 차원은 탄젠트 벡터 공간의 차원이기도 합니다.

기하학적 위상 분야에서 다양체 이론은 차원 1과 2의 상대적 단순성에 의해 정의되며, n > 4를 갖는 고차원 예는 추가 작업 공간을 제공하여 단순화됩니다. 더욱이, 인스턴스 n = 3과 4는 어떤 면에서 가장 어렵습니다.

이러한 상황은 푸앵카레 추측의 다양한 사례에서 두드러지게 나타났는데, 여기서 네 가지 뚜렷한 증명 접근법이 활용되었다.

다양체의 차원은 유클리드 공간이 정의되는 기본 필드에 따라 달라집니다. 복소 다양체와 대수 다양성에 대한 연구에서는 분석에서 일반적으로 다양체가 실수보다 많다고 가정한다는 사실에도 불구하고 실수보다는 복소수에 대해 작업하는 것이 때때로 유리합니다. 복소수(x + iy)는 실수 성분 x와 허수 성분 y를 가지며 둘 다 실수입니다. 따라서 복소수 차원은 실제 차원의 절반입니다.

대조적으로, 단일 복소 좌표계는 대수적으로 제한되지 않은 설정에서 두 개의 실수 치수를 가진 객체에 사용될 수