투영 기하학: 컴퓨터 비전의 투영 기하학 탐구

By Fouad Sabry

투영 기하학이란 무엇입니까?

투영기하학은 적용되는 변환에 관계없이 변하지 않는 기하학적 특성을 연구하는 데 초점을 맞춘 수학의 한 분야입니다. 이는 단순한 유클리드 기하학과 달리 사영기하학이 뚜렷한 환경, 프로젝트의 주제가 되는 공간, 제한된 기본 기하학 개념의 집합을 특징으로 함을 나타냅니다. 주어진 차원에 대해 기본적인 직관은 투영 공간이 유클리드 공간보다 더 많은 수의 점을 갖고 있으며 추가 점을 유클리드 점으로 변경하거나 그 반대로 변경하는 기하학적 변환이 허용된다는 것입니다.

당신이 얻을 수 있는 혜택

(I) 다음 주제에 대한 통찰력 및 검증:

1장: 투영 기하학

2장: 투영면

3장: 투영 공간

4장: 아핀 기하학

5장 데자르그의 정리

6장: 이중성(사영 기하학)

7장: 완전한 사각형

8장: 호모그래피

9장: 데자르그 구성

10장: 원추 단면

(II) 투영 기하학에 관한 대중의 주요 질문에 답합니다.

(III) 다양한 분야에서 투영 기하학을 사용하는 실제 사례.

이 책은 누구를 위한 책인가

전문가, 학부 및 대학원생, 매니아, 취미생활자 및 모든 종류의 투영 기하학에 대한 기본 지식이나 정보를 뛰어넘기를 원하는 사람들.

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: May 1, 2024

Book preview

제 1 장: 투영 기하학

투영 기하학은 투영 변환에서 불변하는 기하학적 특성의 연구와 관련된 수학의 한 분야입니다. 투영 기하학은 전통적인 유클리드 기하학과 다른 환경을 사용하며 기하학의 기본 개념의 더 작은 하위 집합을 사용합니다. 같은 차원의 유클리드 공간보다 투영 공간에 더 많은 점이 있으며, 추가 점(무한대의 점이라고 함)을 유클리드 점으로 또는 그 반대로 변환하는 기하학적 변환이 허용됩니다.

이 새로운 변환 개념은 변환 행렬 및 변환으로 설명할 수 있는 것보다 결과가 더 급진적이지만 투영 기하학(아핀 변환)에 의미 있는 속성을 유지합니다. 미지의 영역에서 수학자들이 직면한 첫 번째 문제는 어떤 종류의 기하학이 적절한지 결정하는 것입니다. 투시도에서 볼 수 있듯이 각도는 투영 변환과 관련하여 불변하지 않으므로 투영 기하학에서 유클리드 기하학에서와 같은 방식으로 참조할 수 없습니다. 원근법의 개념은 투영 기하학에 영감을 주었습니다. 투영 기하학의 언어로 번역하면 두 개의 평행선이 무한대에서 만난다는 아이디어가 새로운 의미를 갖습니다. 다시 말하지만, 이 아이디어는 상식에 근거합니다. 예를 들어, 투시도에서 기차 선은 수평선을 향해 수렴합니다. 2차원의 투영 기하학에 대한 입문서는 투영 평면을 확인하십시오.

이 개념은 더 일찍 사용할 수 있었지만 투영 기하학은 19 세기까지 실제로 시작되지 않았습니다. 이러한 영역 중에는 복소수를 좌표(동종 좌표)로 활용하는 복소 투영 공간 이론이 있습니다. 투영 기하학은 불변 이론, 이탈리아 대수 기하학 학교, 펠릭스 클라인 (Felix Klein)의 에를랑겐 (Erlangen) 프로그램과 같은보다 추상적 인 수학의 몇 가지 중요한 분야의 발전을위한 원동력이었으며, 이는 고전 그룹의 연구로 이어졌습니다. 합성 기하학으로서 이 분야는 그 자체로 수많은 전문가를 끌어들였습니다. 유한 기하학은 투영 기하학에 대한 공리적 연구에서 생겨난 또 다른 영역입니다.

많은 하위 연구 분야가 투영 기하학의 원래 분야에서 발전했습니다. 예를 들어, 투영 대수 기하학 (투영 변형에 대한 연구)과 투영 미분 기하학 (투영 변환의 미분 불변량에 대한 연구)이 있습니다.

기본적인 비미터법 기하학, 투영 기하학은 거리 측정에 의존하지 않습니다. 2차원의 점과 선 배열로 시작합니다. 원근법 예술의 기초를 조사한 Desargues와 다른 사람들은 실제로 이 불모의 맥락에서 기하학적 매력이 있다는 것을 처음으로 발견했습니다. 투영 기하학에 적용할 수 있는 정리는 더 짧고 더 간단한 것으로 밝혀졌습니다. 원에 관한 일부 정리는 이러한 일반 정리의 특정 예로 볼 수 있으며 (복잡한) 투영 기하학에서는 다양한 원뿔 섹션이 서로 동일합니다.

투영 기하학은 19세기 초 Jean-Victor Poncelet과 Lazare Carnot과 같은 수학자들의 노력 덕분에 수학의 독자적인 분야로 등장했습니다. 아핀 및 유클리드 기하학과 마찬가지로 투영 기하학은 Felix Klein의 Erlangen 프로그램에서 파생 될 수 있습니다. 투영 기하학은 투영 그룹의 변환에서 불변으로 구별됩니다.

이 분야의 방대한 정리에 대한 집중적인 연구의 결과로 투영 기하학의 기초가 확립되었습니다. 투영 변환에는 입사 구조와 교차 비율이라는 두 가지 기본 불변량이 있습니다. 아핀 평면(또는 아핀 공간)에 무한대의 선(초평면)을 추가한 다음 일반인 것처럼 처리하면 투영 기하학에 대한 모델이 생깁니다. 반면에 공리학 연구는 입사의 공리가 균질 좌표계를 통해 추론할 수 없는 구조에 의해 (단 2차원으로) 모델링될 수 있다는 증거로 비-데사르게스 평면을 발견했습니다.

투영 기하학과 순서 기하학은 모두 아핀 기하학과 유클리드 기하학의 기초가 될 수 있으므로 근본적으로 단순합니다. 따라서 형상을 구축할 수 있는 고유한 전제를 제공합니다.

3세기에 살았던 알렉산드리아의 파푸스는 최초의 투영 기하학적 특성을 발견한 것으로 알려져 있습니다. Desargues는 소실점이 무한대로 떨어져 있을 때의 상황을 설명하는 원근법을 그리는 새로운 방법을 만들었습니다. 그는 평행선이 실제로 평행한 유클리드 기하학의 일반적인 상황을 포함하도록 기하학의 범위를 확장했습니다. 블레즈 파스칼 (Blaise Pascal)은 16 세의 나이에 Desargues의 원뿔 단면에 대한 연구에서 파스칼의 정리를 개발하도록 영감을 받았습니다. 투영 기하학의 다음과 같은 성장은 19 세기 초에 Gaspard Monge의 공헌에 크게 빚지고 있습니다. Desargues의 작품은 Michel Chasles가 서랍에서 사본을 발견 한 1845 년까지 잊혀졌습니다. 한편, Jean-Victor Poncelet의 투영 기하학에 대한 획기적인 연구가 1822 년에 나타났습니다. Poncelet은 원에 대한 구체적인 극과 극 관계를 사용하여 중앙 투영 하에서 물체의 불변성을 조사하여 미터법과 투영 품질 사이의 연결을 확립했습니다. 쌍곡선 공간의 클라인 모델(Klein model)과 같은 모델은 결국 새로 발견된 비유클리드 기하학에 대해 존재한다는 것이 입증되었습니다.

1855 년.

F.

뫼비우스는 현재 뫼비우스 변환(Möbius transformations)이라고 불리는 복소 평면 일반화된 원의 순열에 관한 기사를 썼습니다.

복잡한 투영선의 투영은 여기에서 이러한 변환으로 표현됩니다.

줄리어스 플뤼커(Julius Plücker)는 공간 선에 대한 연구에서 동종 좌표를 설명에 사용했으며, 다음으로 우리는 투영 기술에서 영감을 받은 기하학의 한 분야인 대수 기하학(algebraic geometry)이라는 발전 분야에 대한 투영 기하학의 초기 공헌 중 하나인 클라인 사분면(Klein quadric)의 선 모음을 살펴보았습니다.

쌍곡선 기하학에 대한 Lobachevski와 Bolyai의 가설은 투영 기하학이 제공하는 쌍곡선 평면에 대한 모델로 인해 대부분 옳은 것으로 입증되었습니다. 예를 들어, 단위 원에 수직인 일반화된 원이 쌍곡선(측지선)에 해당하는 푸앵카레 원반 모델과 이 모델의 변환은 단위 원반을 자체에 매핑하는 뫼비우스 변환에 의해 설명됩니다.

Cayley-Klein 메트릭은 교차 비율을 기반으로 두 점 사이의 거리를 계산하는 데 사용되므로 투영의 중심 불변량인 변환 불변으로 알려져 있습니다.

메트릭 공간 이론에서 변환은 다양한 등가측정, 부분 선형 변환, 투영 선형 그룹 및 해당 그룹의 선형 변환으로 분류됩니다(예: SU(1), 1).

Poncelet, Jakob Steiner 및 다른 사람들은 그들의 작업을 통해 해석 기하학을 확장하기 시작하지 않았습니다. 합성 방법은 현재 우리가 알고 있는 투영 공간이 공리적으로 추가되어 구현되어야 했습니다. 따라서 투영 기하학의 초기 작업을 오늘날의 표준에 따라 엄격하게 재구성하는 것은 어려울 수 있습니다. 공리적 방법은 투영 평면의 단순한 인스턴스에서도 선형 대수학 설명을 무시하는 모델을 제공할 수 있습니다.

Clebsch, Riemann, Max Noether 및 다른 사람들은 보편적 대수 곡선을 연구하여 기하학에서 기존 방법의 한계를 뛰어 넘었습니다. 그 뒤를 이어 불변 이론이 발전했습니다. 이탈리아의 대수기하학 학파(Enriques, Segre, Severi)는 세기말에 전통적인 주제에서 벗어나 더 발전된 기술이 필요한 영역으로 확장되었습니다.

이 주제에 관한 많은 저술 자료가 있지만 투영 기하학은 19 세기 후반에 인기를 잃었습니다. 특히, 슈베르트는 현재 그라스만인의 대수적 위상수학을 설명하는 것으로 이해되는 Chern 클래스 이론의 전조로 여겨지는 열거 기하학에서 몇 가지 작업을 수행했습니다.

폴 디랙(Paul Dirac)의 양자역학 발전은 투영기하학에 크게 의존했다. 하이젠베르크는 양자 관측이 통근에 실패할 수 있다는 생각에 흔들리고 낙담한 반면, 이미 비교환 고리에 대한 투영 평면을 연구한 Dirac은 아마도 이 새로운 발전에 덜 영향을 받았을 것입니다. 그의 후기 연구에서 Dirac은 순수 대수적 접근 방식으로 자신의 발견을 종이에 커밋하기 전에 방정식의 직관적 인 의미를 파악하기 위해 투영 기하학 도면에 크게 의존했습니다.

유클리드 기하학 및 아핀 기하학과 비교할 때 투영 기하학은 더 유연합니다. 그것은 미터법 프레임워크 없이 사실이 스스로 서 있는 기하학입니다. 입사 구조와 투영 고조파 켤레의 관계는 투영 변환의 영향을 받지 않습니다. 기초는 1차원 투영 범위입니다. 원근법의 가장 근본적인 아이디어 중 하나는 무한대에서 평행선이 만나는 것이며 투영 기하학은 이 아이디어를 공식화합니다. 원칙적으로 투영 기하학은 각 선의 방향이 추가 점으로 선에 통합되고 동일 평면 선에 해당하는 방향의 수평선을 선으로 보는 유클리드 기하학의 확장으로 이해할 수 있습니다. 따라서 두 선이 같은 방향으로 이동하면 결국 수평선에서 교차합니다.

무한대의 점은 이상화된 방향을 나타내는 반면, 무한대의 선은 이상화된 지평선을 나타냅니다. 결과적으로 이러한 선은 평면에서 무한대로 평평합니다. 그러나 무한대는 미터법 용어이므로 엄격한 투영 기하학에서는 모든 점, 선 및 평면이 원점으로부터의 거리에 관계없이 동등하게 간주됩니다.

투영 기하학이 유클리드 기하학보다 더 간단한 기초를 가지고 있기 때문에 유클리드 기하학의 일반적인 결과는 유클리드 기하학의 별개이지만 유사한 정리를 집합적으로 다룰 수 있는 투영 기하학의 틀 내에서 보다 이해하기 쉬운 방식으로 도출될 수 있습니다. 예를 들어, 동종 좌표를 사용하여 임의의 투영 평면을 무한대에 배치할 수 있으므로 평행선과 비평행선을 구별할 필요가 없습니다.

Desargues의 정리와 Pappus의 정리는 중요한 관련성의 두 가지 추가 속성입니다. Desargues의 정리는 크기가 3 이상인 투영 공간에서 특정 구성을 사용하여 증명할 수 있습니다. 반대로, 차원 2에 대해서는 별도의 가정이 필요합니다.

Desargues의 정리는 다른 공리와 함께 사용할 때 활용되며, 산술의 기초 단계는 기하학적으로 정의 될 수 있습니다.

필드의 공리는 곱셈의 교환성이 Pappus의 육각형 정리를 필요로 한다는 점을 제외하고는 결과 연산에 의해 충족됩니다.

즉, 각 선의 노드∞  는 0 / 0, ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ / ∞, ∞ + ∞, ∞