이중선형 보간: 쌍선형 보간을 통해 이미지 해상도 및 선명도 향상

By Fouad Sabry

쌍선형 보간법이란

수학에서 쌍선형 보간법은 반복된 선형 보간법을 사용하여 두 변수의 함수를 보간하는 방법입니다. 이는 일반적으로 2D 직선 그리드에서 샘플링된 함수에 적용되지만 임의의 볼록 사변형의 정점에 정의된 함수로 일반화될 수 있습니다.

혜택을 받는 방법

(I) 다음 주제에 대한 통찰 및 검증:

1장: 쌍선형 보간

2장: 보간

3장: 선형 보간

4장: 다항식 보간

5장: 뉴턴 다항식

6장: 라그랑주 다항식

7장: 스플라인 보간

8장: 3차 에르미트 스플라인

9장: 삼선형 보간

10장: 쌍삼차 보간

(II) 공개 상단 응답 쌍선형 보간법에 관한 질문.

(III) 다양한 분야에서 쌍선형 보간법을 사용하는 실제 사례.

이 책의 대상 독자

전문가, 학부 및 대학원생, 매니아, 취미생활자, 모든 종류의 이중선형 보간법에 대한 기본 지식이나 정보를 넘어서고 싶은 사람들.

 

 

• Language: 한국어
• Publisher: 10 억 지식이 걸립니다 [Korean]
• Release date: May 4, 2024

Book preview

챕터 1: 쌍선형 보간

쌍선형 보간은 반복되는 선형 보간을 사용하여 변수가 두 개인 함수(예: x 및 y)를 보간하는 기술입니다. 2D 직선 그리드에서 샘플링된 함수에 적용되는 경우가 많지만 임의의 볼록 사변형의 꼭짓점에 지정된 함수로 확장할 수 있습니다.

쌍선형 보간은 한 방향으로 선형 보간을 사용한 다음 다른 방향으로 선형 보간을 사용하여 수행됩니다. 각 단계는 샘플링된 값과 위치 측면에서 선형이지만 전체적으로 보간은 샘플 위치 측면에서 2차입니다.

쌍선형 보간은 컴퓨터 비전 및 이미지 처리의 기본 리샘플링 방법 중 하나이며, 쌍선형 필터링 및 쌍선형 텍스처 매핑이라고도 합니다.

위치 (x, y), y)에서 알 수 없는 함수 f의 값을 결정하려고 한다고 가정합니다.

Q11 = (x1, y1), Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 및 Q22 = (x2, y2)의 네 점에서 f의 값을 알고 있다고 가정합니다.

먼저 x축을 따라 선형 보간을 수행합니다. 이것은 다음과 같이 이어집니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}}

그런 다음 y축을 따라 보간하여 적절한 추정치를 얻습니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}\left(f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

보간이 먼저 y 방향을 따라 수행된 다음 x 방향을 따라 수행되는 경우 결과는 동일합니다.

또는 보간 문제에 대한 해를 다선형 다항식으로 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}

여기서 계수는 선형 시스템 솔루션을 통해 결정됩니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}&x_{1}y_{1}\\1&x_{1}&y_{2}&x_{1}y_{2}\\1&x_{2}&y_{1}&x_{2}y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}},\end{aligned}}}

결과 산출

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-x_{2}y_{1}&-x_{1}y_{2}&x_{1}y_{1}\\-y_{2}&y_{1}&y_{2}&-y_{1}\\-x_{2}&x_{2}&x_{1}&-x_{1}\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

답은 f 값(Q)의 가중 평균으로도 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22}),}

가중치의 합이 1이고 전치된 선형 시스템이 충족되는 경우

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\x_{1}&x_{1}&x_{2}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}&y_{1}&y_{2}\\x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}&x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{12}\\w_{21}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},}

결과 산출

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{21}\\w_{12}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},\end{aligned}}}

이는 단순화합니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(x_{2}-x)(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{12}&=(x_{2}-x)(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{21}&=(x-x_{1})(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{22}&=(x-x_{1})(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\end{aligned}}}

연속적인 선형 보간의 결과와 일치합니다. 가중치 컬렉션은 일반화된 사각형에 대한 무게 중심 좌표 집합으로 해석될 수도 있습니다.

위의 사항을 고려하면

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)\approx {\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})&f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

f가 알려진 네 위치가 (0, 0), (1, 0), (0, 1) 및 (1, 1)인 경우 보간 공식은 다음과 같이 줄어듭니다.

{\displaystyle f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy,}

이에 따라 행렬 연산에서 :

{\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.}

또한 가중치를 인정합니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(1-x)(1-y),\\w_{12}&=(1-x)y,\\w_{21}&=x(1-y),\\w_{22}&=xy.\end{aligned}}}

또는 단위 제곱 보간은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}

어디

{\displaystyle {\begin{aligned}a_{00}&=f(0,0),\\a_{10}&=f(1,0)-f(0,0),\\a_{01}&=f(0,1)-f(0,0),\\a_{11}&=f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0).\end{aligned}}}

4개의 상수는 두 경우 모두에서 f가 주어지는 데이터 포인트의 수에 해당합니다.

이름에서 알 수 있듯이 쌍선형 보간은 선형이 아닙니다. 그럼에도 불구하고 x 또는 y가 일정하게 유지되는 경우 x 또는 y 축에 평행 한 선을 따라 선형입니다 (즉, affine). 다른 직선의 보간은 2차입니다. 보간이 위치(x 및 y)에서 선형이 아니더라도 보간 값은 앞의 (행렬) 계산에 표시된 것처럼 고정된 점에서 선형입니다.

쌍선형 보간은 어떤 축이 먼저 보간되고 어떤 축이 두 번째로 보간되는지에 관계없이 동일한 결과를 생성합니다. x 방향보다 y 방향으로 선형 보간을 수행했다면 결과 근사치는 동일했을 것입니다.

보간은 쌍선형 다항식을 사용하여 수행되며 고조파 함수에 대한 라플라스 방정식도 충족합니다.

그래프는 쌍선형 베지어 표면 패치입니다.

보간은 무한대의 점(쌍곡선 분기 생성)에서 모든 값(꼭짓점 값의 볼록 껍질 내)을 가정하기 때문에 반전할 수 없습니다.

벡터장을 보간할 때와 같이 두 함수에 쌍선형 보간을 동시에 사용하는 경우 보간은 반전 가능합니다(특정 조건에서). 특히, 이 역은 볼록 사각형 내에 위치한 점의 단위 제곱 좌표를 결정하는 데 사용할 수 있습니다(사각형의 좌표를 단위 제곱에서 이중으로 보간되는 벡터장으로 간주함으로써). 이 방법을 사용하면 모든 볼록 사변형에 쌍선형 보간을 적용할 수 있지만 사변형이 평행사변형이 아닌 경우 계산이 훨씬 더 어렵습니다. 쌍선형 변환, 쌍선형 뒤틀림 또는 쌍선형 왜곡은 사변형 사이의 결과 맵을 설명합니다.

또 다른 방법은 사변형과 단위 제곱 사이에 투영 매핑을 사용하는 것이지만, 결과로 생성되는