数理経済学: 数理経済学をマスターし、経済現象の複雑さを乗り越える

By Fouad Sabry

数理経済学とは

経済学の分野において、数理経済学とは、アイデアを表現したり状況を分析したりする目的で数学的手法を利用することを指します。 これらの応用手法が単純なジオメトリを超えることはよくあります。 これらのアプローチの例には、微分積分法、差分方程式、微分方程式、行列代数、数学的プログラミング、およびその他のコンピューター手法が含まれます。 この方法を支持する人々は、この方法により、厳密かつ一般的かつ簡単な方法で理論的なつながりを定式化できると主張しています。

どのようなメリットがあるか

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: 数理経済学

第 2 章: ナビエ・ストークス方程式

第 3: リーマン曲率テンソル

第 4 章: 分数微積分

第 5 章: ステップ応答

第 6 章: ドローダウン (経済学)

第 7 章: KMS 状態

第 8 章: ラムゼイ・キャス・クープマンス モデル

第 9 章: 格子ボルツマン法

第 10 章: グリーン関数 (多体) 理論)

第 11 章: 音響減衰に関するストークスの法則

第 12 章: ハッセ-ダベンポートの関係

第 13 章: 離散モールス理論

第 14 章: ゾーン球面関数

第 15 章: トレースの転流定理

第 16 章: 臨界テーパー

第 17 章: 移動荷重

第 18 章: M/D/1 キュー

第 19 章: Katugampola 分数演算子

第 20 章: 関数微分方程式

第 21 章: リチャージ オシレーター

(II) 数理経済学に関する一般のよくある質問に答える。

(III) 多くの分野での数理経済学の使用例の実例。

(IV) ) 数理経済学の包括的な理解を解くための 1,200 を超える用語を収録した豊富な用語集。 (電子書籍のみ)。

対象者

専門家、学部生および大学院生、愛好家、愛好家、および基本的な知識や知識を超えたいと考えている人 あらゆる種類の数理経済学の情報。

 

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Dec 18, 2023
• ISBN: 9791222081458

Book preview

第1章 数理経済学

数理経済学は、数学的手法を使用して経済理論を表現し、経済問題を分析することです。多くの場合、これらの方法は単純な幾何学を超えており、微分および積分計算、差分方程式および微分方程式、行列代数、数学的計画法、またはその他の計算方法が含まれる場合があります。

さまざまな用途があります。

家族、企業、政策立案者のいずれにとっても、目標の均衡に関する最適化の問題が生じる可能性があります。

経済単位(家計など)や経済システム(市場や経済など)が変化していないかのようにモデル化する静的(または均衡)分析。

1つ以上の要因の変化によって引き起こされるある平衡から別の平衡への遷移に関する比較静力学

経済成長など、時間の経過に伴う経済システムの変化を追跡することは、動的解析の一例です。

この経済学の急速な体系化は、この分野の批評家と著名な経済学者の両方を警戒させた。ジョン・メイナード・ケインズ、ロバート・ハイルブローナー、フリードリヒ・ハイエクなどは、人間の行動を説明するために数学的モデルが多用されていることを批判し、人間の決定を数学に還元することはできないと主張している。

社会経済分析への数学の応用は17世紀にさかのぼります。その後、主にドイツの大学では、行政に関連するデータの詳細な提示に焦点を当てた教育モードが登場しました。このようにして、ゴットフリート・アッヘンヴァルは講義を行い、統計学という用語を作り出しました。同時に、英語の教授の小グループが「政府に関する事柄について数字で推論する」方法を考案し、それを政治算術と名付けました。その中には、1862年に政治経済学における限界効用理論の使用を概説した「政治経済学の一般数学的理論」に関する論文を発表したW.S.ジェヴォンズもいました。また、彼の前後の経済問題の数学的表現を拡張した者もいた。

クルノー複占における2つの反応関数の解としての平衡量。

各反応関数は、要求量に比例する線形方程式で表されます。

オーギュスタン・クルノーとレオン・ワルラスは、効用を公理的に中心として規律のツールを構築し、個人は数学的に記述できる方法で選択全体で効用を最大化すると主張しました。

1838年、数学教授のクルノーは、複占(2人の売り手間の競争を特徴とする市場状況)の数学的治療法を開発しました。

クルノーが将来部分均衡と呼ばれるものに対する解決策を提供したのに対し、レオン・ワルラスは一般競争均衡の理論を通じて経済全体の議論を形式化しようとした。

すべての経済主体の行動は、生産と消費の両面から検討されるだろう。

Walrasは当初、4つの異なる交換モデルを提示し、それぞれが再帰的に次のモデルに含まれています。

一般均衡は、結果として得られる線形方程式系と非線形方程式の解です。

1881年に出版された『Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences』で、エッジワースは経済学に数学的要素を明示的に導入した。

2人の参加者がいる経済の契約曲線を表示するエッジワースボックス。

現代の用語で経済の「心臓部」として知られるこの2カ国経済には、曲線に沿って無数の解決策があります。

1930年代後半には、微分積分学や微分方程式、凸集合、グラフ理論など、さまざまな新しい数学的ツールが使用され、1900年代初頭の新しい数学的手法の物理学への適用に匹敵する方法で経済理論を進歩させました。

ヴィルフレド・パレートは、経済主体の意思決定を、与えられた財の配分をより望ましい配分に変えようとする試みとして捉えることによって、ミクロ経済学を分析した。次に、アクター間の交換が、他の個人を悪くすることなく、少なくとも1人の個人をより良いものにすることができない場合、割り当てのセットはパレート効率的(パレート最適は同等の用語です)と見なすことができます。これらのモデルは、その後の世代の経済学の数学的不等式を欠いていた。

ポール・サミュエルソンは、1947年に出版された『経済分析の基礎』の中で、アルフレッド・マーシャルの以前の研究に基づいて、この分野の複数の分野に共通する数学的構造とパラダイムを特定しました。

基礎は、物理学から経済問題までの数学的原理を応用しました。

この広い視野(例えば、ル・シャトリエの原理をトンヌマンになぞらえるなど)は、数理経済学の根本的な前提を駆動する:経済主体のシステムは、他のシステムと同じようにモデル化され、その振る舞いを記述することができる。

この拡張は、前世紀からのマージナリストの仕事を大幅に拡大しました。

サミュエルソンは、比較統計学を利用して、個々の効用最大化を集合体に適用するという問題に取り組み、変数の外生的変化に続く2つの異なる平衡状態を比較しました。

本書のこの手法は、20世紀の数理経済学の基礎を築いた。

1937年、ジョン・フォン・ノイマン(John von Neumann)によって一般均衡の限定モデルが定式化された。

以前の版とは異なり、フォン・ノイマンのモデルには不等式制約がありました。

フォン・ノイマンは、ブラウワーの不動点定理の一般化を用いて、経済拡大のモデルとして、均衡の存在と一意性を証明した。

フォン・ノイマンの経済拡大モデルは、非負の 行列AとBを持つ行列鉛筆A-λB を考慮しました。 フォン・ノイマンは、相補性方程式を解く確率ベクトル p と q と正の数 λ を探しました

pT (A − λ B) q = 0に加えて、経済的パフォーマンスを表す2つの不等式システム。

この計画では、(逆)確率ベクトルpは商品の価格を表し、確率ベクトルqは生産プロセスの「強度」を表します。

ユニークな解λは、金利に対応する経済の成長率を表します。

重要な成果には、プラスの成長率の存在を実証し、成長率が金利に等しいことを実証したことが含まれます。

1936年、ロシア生まれの経済学者ワシリー・レオンチェフは、ソビエトの経済学者が開発した「物質収支」表に基づいて産業連関分析のモデルを構築した。レオンチェフは、生産と需要プロセスのシステムを記述したモデルで、ある経済部門における需要の変化が別の経済部門の生産にどのように影響するかを概説しました。

(x, y)入力の放物面関数の最大値としてのz方向の赤い点

数学的最適化(または最適化または数学的計画法)とは、一連の選択肢から最適な要素を選択するプロセスを指します。カントロヴィッチとクープマンズは、ジョージ・B・ダンツィヒが線形計画法でノーベル賞の一部を授与されるに値することを認めた。Ragnar Frischは、Kantorovich、Hurwicz、Koopmans、Arrow、Samuelsonに加えて、非線形計画法の研究でノーベル賞を受賞した経済学者の一人です。

1930年代のロシアと1940年代の米国では、企業や産業における資源の配分を支援するために線形計画法が開発されました。ソビエトの封鎖後、ベルリンの飢餓を防ぐために、ベルリン空輸(1948年)中に物資の輸送を計画するために線形計画法が使用されました。

1951年、アルバート・W・タッカーとハロルド・クーンは、非線形最適化を不等式制約で拡張しました。彼らは非線形最適化問題を検討しました。

最小化する f(x)

対象 g_{i}(x)\leq 0

そして {\displaystyle h_{j}(x)=0}

どこ

f(\cdot )

最小化する関数

{\displaystyle g_{i}(\cdot )}

は、 m

ここで、不等式制約 {\displaystyle i=1,\dots ,m}

{\displaystyle h_{j}(\cdot )}

は、 l

等式制約 {\displaystyle j=1,\dots ,l}

.

クーン・タッカーのアプローチは、(それまで)等式制約しか許していなかった古典的なラグランジュ乗数の方法を、不等式制約を許容することで一般化したものである。

動的システムでは、経済ダイナミクスは時間の経過に伴う経済変数の変化を許容します。変分計算や最適制御理論では、このような変化に対して最適な関数を見つけるという問題が検討されます。フランク・ラムゼイとハロルド・ホテリングは、第二次世界大戦前にこの目的のために変動の微積分を使用した。

リチャード・ベルマンによる動的計画法の研究と、1962年のL. Pontryagin et alearlier 'の英訳に続いて。L. Pontryagin et alearlier .'ジョン・フォン・ノイマンは、1937年の経済成長モデルにおける最適均衡の存在を実証するために、ブラウワーの不動点定理を一般化することによって、経済理論、特に不動点理論にトポロジーを含める関数解析手法を導入しました。

ジョン・フォン・ノイマンの関数解析と位相幾何学への貢献は、数学と経済理論を発展させました。また、高度な数理経済学では、微分積分学の応用が少なくなりました。特に、一般均衡理論家は微分積分学よりも一般位相幾何学、凸幾何学、最適化理論に頼っていた。

しかし、微分積分学は大学院の教育や応用で常に利用されてきたため、微分積分の衰退を誇張する必要はありません。

さらに、微分積分学の数理経済学の最高レベルである一般均衡理論(GET)への回帰は、「GET-set」(Jacques H.に起因する冗談のあだ名)によって実践されています。

Drèze)。

しかし、1960年代から1970年代にかけて、ジェラール・ドブレウとスティーブン・スメイルは、数理経済学における微分積分学の使用の復活を主導した。

特に、これまでの著者が失敗していた一般均衡が存在することを実証することができ、一般トポロジーのベア圏と微分トポロジーのサードの補題は、革新的な数学で注目に値します。

エグバート・ディールカーは、差分分析の使用に関連する別の経済学者であり、建築家のアンドリュー・マス・コレル、イヴ・バラスコ、イヴ・バラスコです。

これらの発展は、微分積分の排除を喜んだフォン・ノイマンに続く数理経済学の歴史の標準的な説明を変えました。

ウィリアム・フォン・ノイマン、オスカー・モルゲンシュテルンとゲーム理論を共同開発、1944年:凸集合と位相的不動点理論に関連する関数解析法を経済分析に拡張し、数学の新境地を開拓しました。

したがって、彼らの仕事は、従来の微分計算、最大演算子が適用されない微分不可能な関数を回避しました。

フォン・ノイマンの協力ゲーム理論の続き、スポーツ理論家 ロイド・S.

シャプレー、マーティン・シュビック、エルヴェ・ムーラン、ニムロッド・メギド、ベツァレル・ペレグは、経済学と政治学における政治経済研究に影響を与えました。

例えば、協力ゲームにおける適正価格や投票ゲームの公正価値に関する研究は、立法府における投票や公共事業における原価計算に関する新しいルールをもたらした。

例えば、スウェーデン南部の配水システムは、米国の専用電話回線の料金と同様に、協力ゲーム理論を用いて設計されている。

初期の新古典派理論は、二国間独占やエッジワース・ボックスの契約曲線に沿った例外的な状況においてのみ、交渉結果の範囲を制限していた。

エージェントベース計算経済学(ACE)は比較的新しい分野であり、1990年代頃に発表された研究があります。経済全体を含む経済プロセスを、相互作用するエージェントの動的で時間的に変化するシステムとして調査します。したがって、それは複雑な適応システムのパラダイムに属します。

ボラティリティ・スマイルの表面は3次元曲面で、アンダーライアにあるすべてのオプションの現在の市場のインプライド・ボラティリティ(Z軸)が行使価格と満期までの時間(X軸とY軸)に対してプロットされています。

数学と統計学を使用して経済学を進歩させる学問分野は、数理統計学の進歩と数学的訓練を受けた経済学者の幹部の結果として、世界大戦の間に計量経済学と呼ばれるように提案されました。経済学では、「計量経済学」という用語は、通常、数理経済学ではなく統計的手法を指してきました。統計計量経済学では、線形回帰と時系列分析が経済データに適用されます。

ラグナル・フリッシュは「計量経済学」という用語を作り出し、1930年に計量経済学会、1933年に学術誌「計量経済学」の設立に貢献しました。

IS/LMモデルは、ケインズ主義のマクロ経済モデルで、「現実の」経済活動の交点について予測を行うように設計されています。

支出、収入、貯蓄率間の関係)および金融市場の決定(マネーサプライおよび流動性の好み)。

このモデルは、もはや大学院レベルでは一般的に教えられていませんが、学部生向けのマクロ経済学コースでは普及しています。

明確な仮定と反証可能な予測を持つ定型化されたモデルとしての経済問題の定式化が、この統合につながりました。このモデリングは、アダム・スミスの『国富論』のように非公式で実用的なものもあれば、形式的で厳密で数学的なものもあります。

形式経済モデルは、確率的、決定論的、離散的、または連続的と大別できます。実践的なレベルでは、定量的モデリングは経済学の多くの分野で利用されており、多くの方法論が多かれ少なかれ独立して開発されてきました。

確率的プロセスは、確率的モデルを定式化するために使用されます。これらは、時間の経過とともに観察可能な経済的価値をシミュレートします。計量経済学の大部分は、これらのプロセスに関する仮説を定式化およびテストしたり、それらのパラメータを推定したりするために統計に依存しています。ハーマンは、自己回帰モデルと2つの世界大戦の間の決定論的傾向に基づいて、定常確率過程の表現を作成しました。WillとJan Tinbergenは、時系列分析を用いて経済データを分析した。自己回帰移動平均モデルなどの定常過程の追加定式化は、時系列統計に関する現代の研究で考慮されています。自己回帰条件付き不均一性 (ARCH) モデルと一般化 ARCH (GARCH) モデルは、より一般的なモデルです。

非確率的数学モデルは、純粋に定性的または定量的である可能性があります(たとえば、双曲線座標および/または変数間の特定の形式の関数的関係による財務変数の合理化を含む)。場合によっては、モデルの経済予測は経済変数の移動方向を主張するだけであり、関数的関係は定性的にのみ使用されます。たとえば、アイテムの価格が上昇すると、その需要は減少します。経済学者は、関数の代わりに、そのようなモデルに2次元グラフを頻繁に使用します。

場合によっては、定性的モデルが採用されます。定性的なシナリオプランニングの一例は、将来起こりうる事象のシミュレーションです。2 番目の図は、非数値決定木分析です。多くの場合、定性的モデルは精度の欠如に悩まされます。

数理経済学の魅力は、特に政治的な問題の文脈において、経済思想にある程度の厳密さを与えることです。例えば、法人税減税が労働者の賃金を押し上げる効果を議論する中で、単純な数理モデルが当面の問題をより深く理解する上で有用であることが証明された。

ハーバード大学のグレッグ・マンキュー教授は、知的演習として、次のような問題を提起しました。

開放経済は生産機能を持つ {\textstyle y=f(k)}

どこ {\textstyle y}

はワーカーごとに出力され、 {\textstyle k}

は労働者一人当たりの資本です。

資本ストックは、資本の税引き後の限界生産物が外生的に与えられた世界利子率に等しくなるように調整される {\textstyle r}

...減税で賃金はいくら上がるのか?

フーバー研究所のジョン・H・コクランは、この疑問に対する答えを提供しています。生産関数を持つ架空の経済を考えてみましょう。

{\displaystyle Y=F(K,L)=f(k)L,\quad k=K/L}

この式の変数の位置は、次のとおりです。

{\textstyle Y}

は合計出力です。

{\textstyle F(K,L)}

は生産関数です。

{\textstyle K}

は総資本金です。

{\textstyle L}

は総労働ストックです。

Cobb-Douglas 生産関数は、生産関数の標準オプションです。

{\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }=Ak^{\alpha }L,\quad \alpha \in [0,1]}

どこ {\textstyle A}

は生産性の要因であり、定数であると仮定されます。

このモデルでは、法人税の減税は資本税に相当します。

税金で、企業は以下を最大化しようとしています。

{\displaystyle J=\max _{K,L}\;(1-\tau )\left[F(K,L)-wL\right]-rK\equiv \max _{K,L}\;(1-\tau )\left[f(k)-w\right]L-rK}

どこ {\textstyle \tau }

は資本税率、 {\textstyle w}

は労働者一人当たりの賃金、 {\textstyle r}

は外生的な金利です。

その場合、1階最適性の条件は次のようになります。

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial J}{\partial K}}&=(1-\tau )f'(k)-r\\{\frac {\partial J}{\partial L}}&=(1-\tau )\left[f(k)-f'(k)k-w\right]\end{aligned}}}

したがって、最適性条件は、次のことを意味します。

{\displaystyle r=(1-\tau )f'(k),\quad w=f(k)-f'(k)k}

合計税額の定義 {\textstyle X=\tau [F(K,L)-wL]}

.

これは、労働者一人当たりの税金が {\textstyle x}

アール：

{\displaystyle x=\tau [f(k)-w]=\tau f'(k)k}

税率を考えると、労働者一人当たりの納税額の変化は、次のようになります。

{\displaystyle {dx \over {d\tau }}=\underbrace {f'(k)k} _{\text{Static}}+\underbrace {\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}} _{\text{Dynamic}}}

賃金の変化を決定するために、労働者一人当たりの賃金の2番目の最適性条件を微分して、次のものを求めます。

{\displaystyle {\frac {dw}{d\tau }}=\left[f'(k)-f'(k)-f''(k)k\right]{\frac {dk}{d\tau }}=-f''(k)k{\frac {dk}{d\tau }}}

金利が {\textstyle r}

だから {\textstyle dr/d\tau =0}

では、利率の初期最適性条件を区別できます。

{\displaystyle {dk \over {d\tau }}={f'(k) \over {(1-\tau )f''(k)}}}

ここでは、資本税減税の静的な影響のみを考えてみましょう。 {\textstyle dx/d\tau =f'(k)k}

.

この式を税率に対する賃金変化の式に代入すると、次のことがわかります。

{\displaystyle {dw \over {d\tau }}=-{\frac {f'(k)k}{1-\tau }}=-{1 \over {1-\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}}

したがって、資本税減税が賃金に及ぼす静的な影響は、以下の通りである。

{\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1 \over {1-\tau }}}

このモデルに基づけば、減税額を上回る賃上げが実現する可能性は十分にあるとみられる。ただし、これは静的な効果のみを考慮しており、動的な効果も考慮する必要があることがわかっています。動的モデルでは、税率に関連する労働者一人当たりの税額の変化の式は、次のように書き直すことができます。

{\displaystyle {\begin{aligned}{dx \over {d\tau }}&=f'(k)k+\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}\\&=f'(k)k+{\tau \over {1-\tau }}{[f'(k)]^{2}+f'(k)f''(k)k \over {f''(k)}}\\&={\tau \over {1-\tau }}{f'(k)^{2} \over {f''(k)}}+{1 \over {1-\tau }}f'(k)k\\&={f'(k) \over {1-\tau }}\left[\tau {f'(k) \over {f''(k)}}+k\right]\end{aligned}}}

それを思い出して

{\textstyle dw/d\tau =-f'(k)k/(1-\tau )}

、私たちはそれを所有しています:

{\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{{\frac {f'(k)k}{1-\tau }} \over {{\frac {f'(k)}{1-\tau }}\left[\tau {\frac {f'(k)}{f''(k)}}+k\right]}}=-{\frac {1}{\tau {\frac {f'(k)}{kf''(k)}}+1}}}

Cobb-Douglas 生産関数を使用すると、次のようになります。

{\displaystyle {f'(k) \over {kf''(k)}}=-{1 \over {1-\alpha }}}

したがって、資本税減税が賃金に及ぼすダイナミックな影響は、以下の通りである。

{\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1-\alpha \over {1-\tau -\alpha }}}

取ると、 {\textstyle \alpha =\tau =1/3}

したがって、賃金に対する資本税の引き下げの動的効果は、静的な効果よりも大きくなる。

さらに、資本蓄積が正の外部性を持つとすれば、減税が賃金に及ぼす影響は、今開発したモデルで予測されたよりも大きくなる。

結果は次の組み合わせであることを認識することが重要です。

通常、小規模で開放的な経済では、労働者は少額資本所得税の100%を負担する。

プラスの税率から始まる一次載貨重量の減少により、増税の負担は歳入徴収を上回ります。

この結果は、一定の仮定の下では、法人税減税が労働者の賃金を収入の損失以上に上昇させる可能性があることを示しているが、その規模が正確であることを証明するものではない。むしろ、曖昧さに基づかない政策分析の基盤を提案している。仮定が妥当な場合、モデルは現実の許容可能な近似値です。それ以外の場合は、より正確なモデルを開発する必要があります。

ここで、Cobb-Douglas 生産関数の代わりに、より一般的な定数置換弾性 (CES) 生産関数があると仮定します。

{\displaystyle f(k)=A\left[\alpha k^{\rho }+(1-\alpha )\right]^{1/\rho }}

どこ {\textstyle \rho =1-\sigma ^{-1}}

; {\textstyle \sigma }

は、資本と労働の代替の弾力性である。

計算する関連数量は次のとおりです {\textstyle f'/kf''}

これは、 次のように表すことができます。

{\displaystyle {f' \over {kf''}}=-{1 \over {1-\rho -{\alpha (1-\rho ) \over {\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }}}}}}

したがって、これを使用して、次のことを判断できます。

{\displaystyle {\begin{aligned}1+\tau {f' \over {kf''}}&=1-{\tau [\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }] \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\\[6pt]&={(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\end{aligned}}}

したがって、標準的なCESモデルによれば、資本減税が賃金に及ぼす動的影響は、以下の通りである。

{\displaystyle {dw \over {dx}}=-{(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}}

Cobb-Douglas ソリューションは、次の場合に回復します。 {\textstyle \rho =0}

.

いつ {\textstyle \rho =1}

、完璧な代替品がある場合、私たちはそれを見つけます {\textstyle dw/dx=0}

- 資本税の変更による賃金への影響はありません。

そして、いつ {\textstyle \rho =-\infty }