Безмежна сила математики: Як завдяки матаналізу винайшли смартфони, телебачення і GPS

By Стівен Строґац

Матаналіз. Цим словом лякають першокурсників і, здається, його здатні осягнути тільки природжені технарі. Але Стівен Строґац ставить перед собою сміливу мету — донести прекрасні ідеї та історії матаналізу до всіх зацікавлених. Тож формули й рівняння він пояснює не через складні обчислення, а через метафори, анекдоти чи навіть «наркоманські доведення».

• Language: Українська мова
• Publisher: Nash Format
• Release date: Mar 31, 2023
• ISBN: 9786177866229

Book preview

Вступ

Без математичного аналізу в нас не було би мобільних телефонів, комп’ютерів і мікрохвильовок. Не було би радіо. І телебачення. Майбутні мами не змогли би скористатися УЗД, а заблукалі мандрівники — GPS. Ми не розібрали б на частинки атом, не розгадали би геном людини, не відправили би астронавтів на Місяць. Можливо, не було би навіть американської Декларації незалежності.

Те, що загадкова галузь математики назавжди змінила світ, — цікавий історичний момент. Як так могло статися, що теорія, яка від самого початку була про форми, — переформатувала саму цивілізацію?

Найкраще на це питання відповів фізик Річард Фейнман, коли обговорював з письменником Германом Воуком Мангеттенський проєкт. Воук хотів написати великий роман про Другу світову і вивчав цю тему, тож приїхав у Калтех поговорити з фізиками, які працювали над бомбою. Фейнман був одним із них. Після інтерв’ю, коли вони вже прощалися, Фейнман спитав Воука, чи розбирається той у матаналізі. Воук визнав: «Ні, зовсім не знаю». «Раджу вивчити, — сказав Фейнман. — Це Божа мова»¹.

Ніхто не розуміє чому, але Всесвіт — глибоко математична річ. Може, таким його задумав Бог. А можливо, Всесвіт, у якому ми живемо, може бути тільки таким, бо істот, які досить розумні, щоб ставити питання, нематематичний Всесвіт утримувати не здатен. У кожному разі, сам факт, що Всесвіт підвладний законам природи, які завжди можна виразити мовою матаналізу — з реченнями у вигляді диференціальних рівнянь, — загадковий і неймовірний. Такі рівняння описують різницю між тим, якою річ була просто зараз, і тим, якою стане в наступну мить; або між чимось, що розташоване просто тут, і чимось нескінченно близьким до нього. Дещо залежить від того, про яку саме частину природи йде мова, але структура законів завжди однакова. Інакше кажучи, схоже, що у Всесвіті існує щось типу коду, операційна система, яка лежить в основі всього — у кожній секунді, у кожному міліметрі. Матаналіз спирається на цей порядок і виражає його.

Першим цю таємницю Всесвіту помітив Ісаак Ньютон. Він звернув увагу, що орбіти планет, ритм хвиль і траєкторії польоту гарматних ядер можна описати, пояснити і спрогнозувати за допомогою маленького набору диференціальних рівнянь. Сьогодні ми називаємо їх просто «законами Ньютона». Відтоді ми вже розібралися, що ті самі правила спрацьовують завжди, коли ми відкриваємо нову частину Всесвіту. Колись це були просто земля, вода, вогонь і повітря, тепер це електрони, кварки, чорні діри й суперструни. Уся нежива природа підвладна диференціальним рівнянням. Б’юся об заклад, саме це Фейнман і мав на увазі, коли говорив, що матаналіз — Божа мова. Якщо й можна щось назвати таємницею Всесвіту — то це матаналіз.

Люди випадково відкрили цю дивну мову — спочатку як частинку геометрії, потім як частину коду Всесвіту. Згодом навчилися вільно нею говорити й розшифровувати її ідіоми й нюанси. І нарешті вони оволоділи її можливостями прогнозувати майбутнє та почали за її допомогою змінювати світ.

Це головна теза цієї книжки.

Якщо вона правильна, то відповідь на головне питання життя, Всесвіту й усього — не 42, і нехай мене вибачать фанати Дуґласа Адамса та «Автостопом по Галактиці»². Але Великий Мислитель думав у правильному напрямку: таємниця Всесвіту справді пов’язана з математикою.

Матаналіз для всіх

З афоризму Фейнмана про Божу мову виникає багато складних питань. Що таке математичний аналіз? Як люди зрозуміли, що ним говорить Бог (або, якщо вам так більше подобається, — що ця штука управляє Всесвітом?). Що таке диференціальні рівняння і яка їхня роль у світі — не тільки за часів Ньютона, а й тепер? І нарешті, як захопливо й доступно розповісти про ці історії та ідеї читачам на зразок Германа Воука, які добровільно взялися щось таке читати, — вдумливим, зацікавленим, освіченим, але які мало що знають про вищу математику?

На закінчення історії про свою зустріч із Фейнманом Воук написав, що він за чотирнадцять років навіть і не спробував вивчити матаналіз. Його великий роман виріс у два великих романи — «Вітри війни» (Winds of War) і «Війна і пам’ять» (War and Remembrance). Після них він спробував вивчити матаналіз сам, за книжками типу «Матаналіз — це просто», але не надто вдалося. Він покопирсався в кількох підручниках, сподівався, за його словами, «знайти той, що допоможе такому математичному невігласу, як я³, який в університеті був гуманітарієм — вивчав літературу і філософію, наприклад — із дорослим питанням про сенс буття. Я знав тільки, що матаналіз, який усі називали безглуздим занудством, — це Божа мова». Коли осилити підручники не вдалося, він знайшов собі єврейського репетитора з математики, щоб підтягнути заразом і матаналіз, і свій іврит. Але не склалося ні з тим ні з тим. Нарешті він у розпачі пішов на курс матаналізу у старшій школі, але клас його сильно випереджав — і він кинув навчання через кілька місяців. Коли він ішов, діти аплодували йому. За його словами, це було схоже на співчутливі оплески, коли в артиста не вдався номер.

Я написав «Математику Всесвіту», бо хочу, щоб прекрасні ідеї та історії матаналізу були доступні всім. Якщо людина хоче більше дізнатися про цю важливу частину людської історії, вона не повин­на долати такий шлях, як Герман Воук. Математичний аналіз — одне з тих досягнень людства, які надихають найбільше. Щоб оцінити матана­ліз, не обов’язково займатися ним, так само як не обов’язково навчитися ідеально готувати, щоб смачно поїсти. Я спробую все пояснити картинками, метафорами й анекдотами. Розповім також про найкращі рівняння й доведення — не можна ж сходити в музей і не подивитись шедеври, які в ньому є. Що стосується Германа Воука, то на момент, коли я пишу ці слова, йому 103 роки. Не знаю, чи вивчив він зрештою матаналіз. Але якщо ні, містере Воук, ця книжка для вас.

Світ з погляду матаналізу

Як ви вже мали зрозуміти, я говоритиму про історію і значення матаналізу з погляду математика-­­практика. Історик математики розповідав би про це інакше⁴. І математик-­­теоретик теж. Мене, як практика, зачаровує те, як взаємодіють між собою реальний навколишній світ та ідеальний світ у наших головах. Феномени із зовнішнього світу викликають у нас певні питання — і навпаки, інколи математичні обчислення прогнозують щось, що потім відбувається в реальності. Коли так трапляється — стає навіть страшно.

Бути математиком-­­практиком⁵ означає бути відкритим до незвичного і знати щось майже про все на світі. Для тих, хто працює в моїй галузі, математика — це не герметично запакований у первозданному вигляді світ теорем і доведень⁶, де всі повторюють одне одного. Наша робота зачіпає багато предметів: філософію, політологію, фізику, історію, медицину — геть усе. Якраз цю істо­рію я й хочу розповісти — який він, світ, з погляду матаналізу.

Це куди ширший погляд на матаналіз, аніж ми звикли його сприймати. Він охоплює не тільки сам матаналіз, а і його братів-­сестер і родичів-знайомих, як у математиці, так і в дотичних дисциплінах. Такий масштабний підхід є нестандартним, і я не хотів би, щоб це якось вас заплутало. Наприклад, коли я говорив, що без матаналізу в нас не було б комп’ютерів, мобільних телефонів і так далі, я зовсім не хотів сказати, що всі ці чудові речі з’явилися тільки завдяки матаналізу. Зовсім ні. Там велику роль відіграла фізика й технології — узагалі вони і є зірками в цьому шоу. Я просто хочу сказати, що математичний аналіз теж відіграв важливу роль, щоб ми побачили світ таким, яким він є сьогодні, — хоча він насправді в основному підтримував інші галузі.

Візьміть історію бездротового зв’язку. Усе почалося з того, що Майкл Фарадей і Андре-­­Марі Ампер відкрили закони електрики й магнетизму⁷. Якби вони кинули спостереження й не возилися з ними, життєво важливі факти про магніти, електричний струм та їхні невидимі силові поля так і лишилися б невідомими, і люди ніколи не змогли б спілкуватися без дротів. Тож очевидно, що тут ніяк не можна було обійтися без експериментальної фізики.

Але так само не можна було обійтися і без матаналізу. У 1860-х шотландський математик-­­фізик Джеймс Клерк Максвелл надав експериментальним законам електрики й магнетизму символьну форму — з’явилася можливість згодувати їх матаналізу. Він трішки це поварив і видав рівняння, яке не мало жодного сенсу. Вочевидь, чогось у фізиці не вистачало. Максвелл запідозрив, що тут винен закон Ампера. Він спробував це виправити й додав у рівняння новий член — гіпотетичний струм, з яким це протиріччя могло б вирішитися, — і знову кинув на поталу матаналізу. Цього разу він виплюнув зрозумілий результат — просте елегантне рівняння хвилі⁸, дуже схоже на те, яким описують круги на воді. Різниця була в тому, що рівняння Максвелла прогнозувало новий тип хвилі — електричні й магнітні поля в ній виписували елегантні балетні па в парах. Зміна електричного поля сприяла зміні магнітного, а вона, своєю чергою, ― зміні електричного і так далі. Одне поле тягнуло за собою інше. Разом вони перетворювалися на рухливу хвилю енергії. А коли Максвелл обчислив швидкість цієї хвилі, він зрозумів — і, мабуть, це був один з найвеличніших моментів просвітлення в історії, — що вона рухається зі швидкістю світла. Тож за допомогою матаналізу він не тільки винайшов електромагнітні хвилі, а й розв’язав загадку століття: яка природа світла? Світло, зрозумів він, — це електромагнітна хвиля.

Після того як Максвелл винайшов електромагнітні хвилі, Генріх Герц у 1887 році довів, що вони справді існують. Через десять років Нікола Тесла створив першу радіокомунікаційну систему, а ще через п’ять — Ґульєльмо Марконі передав перші повідомлення по бездротовому зв’язку через Атлантику. Після цього з’явилося телебачення, мобільні телефони й усе інше.

Ясна річ, що сам по собі матаналіз на це не був здатний. Але так само зрозуміло, що без матаналізу нічого цього не сталося б. Якщо точніше, то інновації могли би з’явитися і без нього, але набагато пізніше — або взагалі їх ніколи б не було.

Матаналіз: більше, ніж просто мова

В історії Максвелла простежується тема, на яку ми натраплятимемо не раз. Часто можна почути, що математика — мова науки. І в цьому є велика частка правди. У випадку з електромагнітними хвилями, Максвелл першим кроком мав зробити ключове: перекласти виведені експериментальним шляхом закони на мову матаналізу.

Але на цьому аналогія з мовою не закінчується. Матаналіз, як і всі інші форми математики, — це аж ніяк не тільки мова. Це неймовірно потужна система аргументації. За її допомогою ми можемо перетворювати одне рівняння на інше, використовуючи різноманітні символьні операції, на які поширюється дія певних правил. У цих правил міцна логічна основа, тож навіть якщо здаватиметься, що ми просто переставляємо туди-сюди символи, — насправді ми будуємо довгі логічні ланцюжки. Маніпуляції із символами — це зручне скорочення, надійний спосіб створювати складні аргументи, які ми не можемо повністю втримати в голові.

Якщо нам вистачає везіння й умінь — коли ми правильно перетворюємо рівняння, — вони можуть показати свої приховані потенціальні наслідки. Математик відчуває цей процес практично на дотик. Ми ніби крутимо рівняння, робимо їм масаж, намагаємося максимально розслабити, щоб вони видали свої таємниці. Ми хочемо, щоб вони відкрилися і поговорили з нами.

Тут потрібно проявити творчість — дуже часто буває складно зрозуміти, що саме треба зробити з рівнянням. У Максвелла була нескінченна кількість способів змінити рівняння, і формально всі вони були правильні, але тільки одне перетворення могло спричинити наукове відкриття. Враховуючи, що він навіть не знав, чого шукав, — він міг від своїх рівнянь легко добитися тільки незв’язного мугикання (або його символьного еквівалента). Однак, на щастя, у рівнянь був один секрет. Їх потрібно було правильно підштовх­нути — і вони видали рівняння хвилі.

На цьому етапі знову взяла гору лінгвістична функція матаналізу. Коли Максвелл застосував свої абстрактні символи до реальності, він побачив, що електрична й магнітна сила можуть працювати разом — утворювати хвилю невидимої енергії, яка рухається зі швидкістю світла. За кілька десятиліть цей винахід змінить світ.

Нелогічно ефективний

Є щось паранормальне в тому, як добре матаналіз може вдавати, що він належить до природи — адже це дві дуже різні речі. Матаналіз — вигадана реальність символів і логіки; природа — справжня реальність, із реальними силами й феноменами. Але якимось чином, якщо досить майстерно перекласти реальність мовою символів, логіка матаналізу може створити нове правило реального світу на основі іншого. Уводиш одне правило — отримуєш інше. Почніть із чогось такого, що можна довести експериментальним шляхом і виразити символами (як у Максвелла із законами електрики й магнетизму), зробіть правильні математичні маніпуляції, і отримаєте інше правило, яке можна довести експериментальним шляхом. Можливо, воно буде зовсім нове — такий факт про Всесвіт, про який до цього ніхто не знав (наприклад, існування електромагнітних хвиль). У такий спосіб матаналіз допомагає нам зазирнути в майбутнє і спрогнозувати щось невідоме. Ось чому це такий потужний інструмент у науці й технологіях.

Але чому взагалі Всесвіт має звертати увагу на якусь там логіку, особливо таку, яка під силу нам, крихітним створінням? Цьому чудувався сам Ейнштейн, коли писав: «Зрозумілість цього світу — його найбільша загадка»⁹. Про це писав і Юджин Віґнер в есе «Нелогічна ефективність математики в природничих науках»: «Те, що мовою математики можна формулювати закони фізики, — це чудо, казковий подарунок, якого ми не розуміємо і не заслуговуємо»¹⁰.

Цей трепет супроводжував нас усю історію математики. Легенда говорить, що Піфагор¹¹ відчув його ще в 550 році до н.е., коли разом з учнями відкрив, що музикою управляє співвідношення цілих чисел. Уявіть, наприклад, що ви смикаєте гітарну струну. Струна вібрує, і звучить певна нота. Тепер затисніть струну на грифі рівно посередині і смикніть її ще раз. Тепер вібрує тільки половина струни — співвідношення 1 до 2 — і звучить вона рівно на октаву вище, ніж спочатку (октава — музична відстань від однієї до до наступної на шкалі до-ре-мі-фа-соль-ля-сі-до). Якщо вібрує 2⁄3 струни, нота підніметься на одну квінту (інтервал від до до соль; пригадайте перші дві ноти саундтреку із «Зоряних війн»). А якщо 3⁄4 струни, нота піднімається на кварту (інтервал між першими двома нотами в «Маленькій нічній серенаді»). Музиканти Давньої Греції знали про мелодичну концепцію октав, квінт і кварт, і вважали їх прекрасними. Цей неочікуваний зв’язок між музикою (гармонія цього світу) і числами (гармонія вигаданого світу) змусив піфагорійців повірити в містичну ідею: геть усе — це числа¹². Кажуть, вони вірили навіть у те, що музику грають планети на орбітах — музику сфер.

З того часу багато прекрасних математиків і науковців перехворіли на піфагорійську гарячку. В астронома Йоганна Кеплера був дуже серйозний випадок. І у фізика Поля Дірака. Як ми побачимо далі, через цю гарячку вони шукали гармонію Всесвіту, мріяли про неї і жити не могли без цієї ідеї. Зрештою саме тому вони зробили власні відкриття, які змінили світ.

Принцип нескінченності

Щоб ви розуміли, до чого ми йдемо, я скажу кілька слів про те, що таке матаналіз, чого він хоче (метафорично кажучи) і що його відрізняє від усієї іншої математики. На щастя, у ньому є велика прекрасна ідея, яка його пронизує від початку до кінця. Коли ми зрозуміємо цю ідею, уся структура матаналізу стане на місця, як просто варіації однієї головної теми.

На жаль, на більшості курсів з матаналізу головна тема виявляється похованою під лавиною формул, процедур і фокусів з обчисленням. Я старався, але не зміг пригадати, щоб про неї десь говорили — хоча це частина культури матаналізу, і кожен експерт знає про неї все. Назвемо це «принципом нескінченності». Він нас вестиме цим шляхом, так само як вів сам матаналіз: і по концепціях, і по історії. Дуже хочеться його проголосити просто зараз, але поки вам це буде звучати наче якісь фіглі-­­міглі. Буде куди легше його оцінити, коли ми буквально на кілька сантиметрів просунемося в бік розуміння того, чого хоче матаналіз… і як він отримує бажане.

Якщо коротко, то матаналіз хоче, щоб складні задачі були простішими. Він просто одержимий простотою. Вас це здивувало, мабуть, — у матаналізу репутація складної штуки. І я не стану сперечатися, що є відомі підручники з цієї теми на понад тисячу сторінок, які важать з цеглину. Але не судімо книжку за обсягом. Матаналіз нічого не вдіє зі своєю масивністю. Він здається складним, тому що намагається розв’язати складні проблеми. І взагалі-то він допоміг розв’язати одні з найскладніших і найважливіших проблем з усіх, з якими стикалося людство.

Таємниця успіху матаналізу криється в тому, що він розбиває складні задачі на менші й простіші підзадачі. Звісно, так робить не тільки матаналіз. Усі, хто добре вміє розв’язувати проблеми, знають, що вони вирішуються куди простіше, якщо їх розкласти на частинки. Але що вирізняє матаналіз, чому в його випадку це дуже радикальний підхід? Він доводить цю стратегію «розділяй і володарюй» до межі, тобто до нескінченності. Він не ділить велику задачу на кілька невеликих частин — він невтомно розбиває і розбиває, дробить задачу на найменші з можливих частинки, яких нескінченна кількість. Закінчивши з цим, він вирішує проблему кожної окремої частинки — зазвичай це простіше, ніж розв’язати початкову гігантську задачу. Лишається тільки скласти всі мінівідповіді докупи. Це вже набагато складніше за те, що ми робили до цього, але зазвичай усе одно простіше, ніж розв’язувати всю задачу цілком.

Отже, матаналіз складається з двох етапів: розбити й перебудувати. Якщо сказати математичною мовою, під час першого етапу завжди існує нескінченно мале віднімання, за допомогою якого можна виразити різницю між частинками. Відповідно ця половина роботи називається диференціальним численням. Коли частинки складають назад, застосовують нескінченне додавання — частинки об’єднуються назад у ціле. Ця половина роботи називається інтегральним численням.

Ця стратегія придатна для будь-чого, що ми можемо у своїй уяві порізати на нескінченну кількість частинок. Такі речі, які можна нескінченно ділити, називаються континуумами і вважаються неперервними. Подумайте про ідеальний круг, про сталеву балку підвісного мосту, про миску із супом, що стигне на кухонному столі, про параболічну траєкторію польоту списа або про відрізок часу, що ви живете на світі. Форма, об’єкт, рідина, рух, відрізок часу — все це зерна для млина матаналізу. Всі вони неперервні, або майже неперервні.

Зверніть увагу, яка тут фантазія. Суп і сталь насправді не тривкі, не безперервні. У контексті буденного життя вони можуть такими здаватися, але якщо їх розглянути через атоми або суперструни — це не так. У матаналізі незручності, які з’являються через атоми чи інші неподільні одиниці, ігноруються — не тому, що вони не існують, а тому, що нам зручно вдавати, ніби це так. Як ми побачимо, матаналіз узагалі схильний до корисних фантазій.

У математичному аналізі континуум використовують для опису майже будь-яких мислимих об’єктів. Щоб описати, як м’яч котиться похилою поверхнею, як промінь сонця неперервно проходить через товщу води, як безперервний потік повітря довкола крила тримає в повітрі колібрі чи літак і як концентрація вірусу ВІЛ у крові пацієнта безперервно зменшується після того, як він починає трьохкомпонентну терапію. У кожному випадку стратегія однакова: розбити складну задачу на нескінченну кількість простіших шматочків, розв’язати кожну з цих маленьких задачок окремо і скласти розв’язок.

Тепер ми нарешті готові сформулювати велику ідею.

Принцип нескінченності

Пролити світло на будь-яку неперервну форму, об’єкт, рух, процес або феномен — хоч би яким некерованим чи складним він здавався — уявити його заново як нескінченно велику кількість простіших елементів, проаналізувати їх, і потім скласти результати, щоб отримати відповідь на початкове питання.

Ґолем нескінченності

Камінь спотикання в усьому цьому — необхідність працювати з нескінченністю. Сказати це простіше, ніж зробити. Так, уважне й контрольоване використання нескінченності — ключ до матана­лізу і джерело його неймовірних прогностичних можливостей, а також найбільший головний біль матаналізу. Нескінченність, наче монстр Франкенштейна чи ґолем у єврейській культурі, весь час намагається вислизнути з рук свого вчителя. І як у будь-якій казці про гординю, монстр рано чи пізно завжди повстає проти свого творця.

Творці матаналізу розуміли цю небезпеку, але все одно не могли протистояти нескінченності. Так, інколи вона виривалася з-під контролю, породжуючи парадокси, незрозумілість і філософський хаос. Але після кожного такого епізоду математикам завжди вдавалося приборкати монстра, зробити його поведінку раціональною і знову залучити його в роботу. Урешті-решт усе завжди було доб­ре. Матаналіз давав правильні відповіді, навіть коли його творці не могли пояснити чому. Бажання приборкати нескінченність і використати її потужність на свою користь червоною ниткою проходить через усі дві з половиною тисячі років історії матаналізу.

Може здатися, що всі ці розмови про бажання й непевність узагалі тут недоречні — люди схильні уявляти математику як конкретну й ідеально раціональну науку. Вона справді раціональна, але не завжди від самого початку. Процес творення — річ інтуїтивна; логіка вмикається пізніше. В історії матаналізу, більше, ніж в інших розділах математики, логіка завжди відставала від інтуїції. Через це предмет став особливо близьким і зрозумілим, а його генії більше схожі на нас, звичайних людей.

Криві, рух і зміни

Принцип нескінченності організовує історію матаналізу методологічно. Але насправді матаналіз — більше про загадки, ніж про методологію. Його розвиток підштовхнули три головні загадки: загадка кривих, загадка руху і загадка зміни.

Те, що ці загадки стільки всього нам дали, — свідчення того, наскільки важливою буває чиста цікавість. На перший погляд, загадки кривих, руху і зміни можуть здаватися неважливими, навіть безнадійно езотеричними. Але оскільки вони пов’язані з такими багатими концептуальними питаннями й оскільки математика так міцно вплетена в тканину Всесвіту, розгадки цих загадок вплинули на курс розвитку цивілізації й на те, яким наше життя стало сьогодні. У наступних розділах побачимо, що ми користуємося сьогодні цими здобутками, коли слухаємо музику з телефона, швидко сплачуємо за товари в супермаркеті завдяки лазерному сканеру, або шукаємо дорогу додому за допомогою GPS.

Усе почалося із загадки кривих. Тут я використовую термін «криві» в дуже широкому сенсі, тобто говорю про будь-яку викривлену лінію, поверхню чи тверде тіло: весільну обручку, бульбашку на поверхні води, контури вази чи палку салямі. Щоб якомога більше спростити собі життя, перші геометри зазвичай зосереджувалися на абстрактній, ідеалізованій версії викривлених поверхонь, й ігнорували щільність, нерівності й текстуру. Наприклад, поверхню математичної сфери уявляли нескінченно тонкою, гладкою, ідеально круглою мембраною без потовщень, нерівностей і волосин, які є, приміром, на кокосовому горіху. Навіть за цих ідеалізованих припущень викривлені форми створюють серйозні концептуальні складнощі — вони не складаються з прямих шматочків. З трикутниками й квадратами працювати було просто. З кубами так само. Вони складалися з прямих ліній і пласких частин площин, які були з’єднані між собою невеликою кількістю кутів. Знайти їхній периметр, площу поверхні чи об’єм було нескладно. Геометри в усьому світі — в античному Вавилоні та Єгипті, Китаї та Індії, Греції та Японії — знали, як розв’язувати такі задачі. Але досвід роботи із круглими предметами був гіркий. Ніхто не міг обчислити, яка у сфери площа поверхні чи який вона може вмістити об’єм. Навіть знайти довжину кола чи площу круга в ті дні було нереальною задачею. Прив’язатися до прямих шматочків було неможливо. Усе кругле було незбагненним.

Так і почався матаналіз. Він виріс із цікавості геометрів і зі складнощів з круглими формами. Круги, сфери й інші викривлені форми були Гімалаями того періоду. Вони не вирішували конкретних практичних питань — принаймні не від самого початку. Просто людей завжди тягнуло до пригод. Так само, як дослідники, які лізли на Еверест, геометри хотіли розв’язати загадку кривих — просто тому, що вони існували.

Прорив стався тоді, коли вони вирішили, що криві ­­все-таки складаються з прямих шматочків. Насправді це не так, але можна було вдати, що так і є. Єдина заковика — ці шматочки мали бути нескінченно маленькими і їх мало бути нескінченно багато. З цієї фантастичної концепції народилося інтегральне числення. Так уперше використали принцип нескінченності. Про історію того, як він розвивався, ми говоритимемо ще в кількох наступних розділах. Але суть — ось вона, у своїй зародковій формі, у простому інтуїтивному інсайті: якщо досить сильно наблизити коло (або будь-що гладке й викривлене), під мікроскопом його маленька ділянка почне здаватися прямою. Тож у принципі має бути як мінімум реально обчислити все, що ми хочемо знати про викривлену форму, додавши всі її прямі маленькі шматочки. Щоб зрозуміти, як саме це зробити — розв’язати непросту задачку, — потрібні були зусилля найкращих світових математиків багато століть. Однак усі разом, хоча інколи й ворогуючи один з одним, вони зрештою почали виходити на шлях до загадки кривих. Сьогодні ж, як ми побачимо в розділі 2, така математика потрібна, щоб малювати реалістичні волосся, одяг і обличчя персонажів фільмів із комп’ютерною анімацією; щоб лікарі, які оперують на обличчі, потренувалися на віртуальному пацієнті, перш ніж робитимуть реальну операцію.

Кипіння пристрастей дійшло до крайньої точки, коли стало зрозуміло, що криві — це значно більше, ніж просто геометрична розвага. Це був ключ до таємниць Всесвіту. Вони природно проявлялися в параболічній дузі м’яча в польоті, в еліптичній орбіті Марса довкола Сонця, і у вигнутій поверхні лінзи, яка може заломлювати і фокусувати світло, де потрібно — без цього не сталося би фантастичного розвитку мікроскопів і телескопів у Європі часів пізнього Ренесансу.

Так почалося друге велике захоплення: зачарування загадками руху на Землі й у Сонячній системі. Науковці багато спостерігали, проводили геніальні експерименти — і відкрили нестерпно точні закономірності в найпростіших рухах. Вони виміряли коливання маятника, засікли прискорення м’яча, що котиться по похилій поверхні, зробили карти величавого руху планет на небосхилі. Закономірності, які вони знайшли, захопили їх. Йоганн Кеплер навіть впав у, як він сам це описав, «священне безумство», коли відкрив свої закони руху планет, тому що виглядало це так, ніби ці закономірності — справа рук самого Бога. Якщо дивитися на це з більш приземленої точки зору, то ці закономірності підтверджували, що природа — глибоко математична річ, точно як говорив Піфагор. Єдина проблема була в тому, що ніхто не міг пояснити ці нові казкові закономірності — принаймні не за допомогою тих форм математики, які існували тоді. Арифметика й геометрія тут не підходили, навіть у руках найкращих математиків.

Проблема була в тому, що рух був нерівномірний. Коли м’яч котився по похилій поверхні — його швидкість постійно змінювалась, а планета, яка крутилася довкола Сонця, постійно змінювала напрям руху. Навіть гірше: коли планети наближалися до Сонця, вони починали рухатися швидше, а коли віддалялися — повільніше. Не існувало відомого способу працювати з рухом, який постійно змінювався у спосіб, який теж постійно змінювався. Давні математики розробили математику для найпростішого типу руху — тобто руху зі сталою швидкістю, де пройдена відстань є добутком швидкості й часу. Але коли швидкість змінювалася і зміни відбувалися безперервно — вони опускали руки. Було схоже, що рух — такий само концептуальний Еверест, як і криві.

Коли ми доберемося до середини книжки — побачимо, що наступний великий прорив у матаналізі стався тоді, коли люди почали розв’язувати загадку руху. На допомогу прийшов принцип нескінченності — так само, як це сталося з кривими. Цього разу потрібно було, щоб вистачило фантазії уявити: рух зі швидкістю, що змінюється, складається з нескінченної кількості нескінченно коротких рухів зі стабільною швидкістю. Це можна уявити собі ось так: ви їдете в машині, а за кермом — любитель поганяти. Ви тривожно поглядаєте на спідометр — щоразу, коли водій натискає на газ чи гальма, стрілка стрибає вгору-вниз. Але за одну мілісекунду стрілка далеко не зміститься, хоч би який скажений був водій. А якщо відрізок часу буде набагато менший за мілісекунду — якщо він буде нескінченно короткий — стрілка взагалі не рухатиметься. Ніхто не може так швидко тиснути на газ.

Ці ідеї лежать в основі молодшої частини матаналізу — диференціального числення. Це було саме те, що потрібно, аби працювати з нескінченно малими змінами часу й відстані, які виникали у процесі вивчення змінного руху, і нескінченно дрібними прямими шматочками кривих, які з’явилися в аналітичній геометрії. Аналітична геометрія — це була новомодна наука про криві, які визначалися алгебраїчними рівняннями; писк моди в першій половині 1600-х. Так, був такий період, коли всі просто подуріли через алгебру. Ми ще до цього дійдемо. Її популярність принесла багато хорошого всім напрямам математики, зокрема й геометрії. Але через неї виросли буйні джунглі нових кривих, які теж потрібно було розібрати. Тож загадки кривих і руху зіткнулися лоб у лоб. Тепер вони обидві були на головній сцені середини 1600-х. Вони врізалися одна в одну, творили математичний розгардіяш і непорозуміння. У цьому безладі диференціальне числення просто розквітнуло, але не без своїх нюансів. Деяких математиків критикували, бо вони гралися в небезпечні ігри з нескінченністю. Інші висміювали алгебру, називали її коростою із цифр. Через усі ці нагаразди процес просувався ривками і повільно.

А потім на Різдво народилося дитя. Ніхто й не очікував, що цей маленький месія від матаналізу стане героєм. Він народився передчасно, ріс без батька, а мати покинула його, коли йому було три роки. Ніхто не знав, про що думає самотній хлопчик, який виріс у замкнутого, підозріливого чоловіка. Але Ісаак Ньютон лишить у світі такий слід, на який ніхто не спромігся ні до, ні після нього.

По-перше, він розв’язав задачу, яка була святим Ґраалем матана­лізу: розібрався, як скласти назад шматочки кривої — і як це зробити швидко, легко і логічно. Він об’єднав алгебраїчні символи і силу нескінченності та знайшов спосіб представляти будь-яку криву через суму нескінченно великої кількості простіших кривих, описаних степенями змінної х: х², х³, х⁴ і так далі. Тільки з цими інгредієнтами в нього вже був рецепт будь-якої кривої: кладеш щіпку х, потім трішечки х² і повну ложку х³. Це було так, наче рецепт чудового кухаря, універсальний набір прянощів, м’ясо з крамниці та овочі з грядки загорнули в один пакунок. За цим рецептом він міг розв’язати будь-яку задачу на форму чи рух, яку перед ним ставили.

Потім він зламав код Всесвіту. Ньютон відкрив, що будь-який рух відбувається нескінченно маленькими кроками, які йдуть один за одним у час, що рухається від одного моменту до іншого за математичними законами, написаними мовою матаналізу. Йому знадобилося всього кілька диференціальних рівнянь (його закони руху і гравітації), і він зміг пояснити все — від траєкторії польоту гарматної кулі до руху планет. Його неймовірна «система світу» об’єднала рай і землю, стала початком епохи Просвітництва і змінила західну культуру. Його вплив на філософів і поетів Західної Європи — неоціненний. Він вплинув навіть на Томаса Джефферсона і написання Декларації незалежності США — ми ще побачимо як. Сьогодні ідеї Ньютона лежать в основі програм освоєння космосу — ними користуються під час розрахунків траєкторій. Це якраз та робота, якою займається в НАСА афро-американська математикиня Кетрін Джонсон і її колеги (героїні книжки і хітового фільму «Приховані фігури» (Hidden Figures)).

Загадки кривих і руху розгадані. Тепер у матаналізі є третя невідступна одержимість: таємниця змін. Кліше, але все ж правда: