TAL OG ALGEBRA med historisk tilgang: Bog 3 Talområder, deres historie og konstruktion

By Gunnar Bomann

Der har efterhånden udviklet sig en tradition for, at lærebøger i matematik indfletter lidt spredte bemærkninger af matematikhistorisk karakter, specielt om fremtrædende matematikere. Andre matematikbøger er rent historiske. I relation hertil udgør de tre bøger i serien TAL OG ALGEBRA med historisk tilgang en nyskabelse: Tallenes og algebraens historiske udvikling behandles sammenhængende, ikke for denne udviklings egen skyld, men med henblik på at give læseren indsigt i specielt algebraens idégrundlag på en helt anden måde, end det er muligt ved en »tidløs fremstilling«.

Forfatteren har ved udarbejdel-sen af serien først og fremmest haft uddannelsen af folkeskolelærere samt efteruddannelsen af folkeskolelærere i tankerne. Men bøgerne henvender sig til enhver, for hvem forståelse og indsigt er vigtigere end færdighed og rutine. Bøgerne vil også være velegnede til selvstudium.

I offentligheden er Gunnar Bomann mest kendt som forfatter af Gads Fag-leksikon i matematik.

Professor Allan C. Malmberg kalder de tre bøger i serien for perler og omtaler serien som et imponerende værk, der udgør et såvel fagligt som undervisnings-mæssigt mesterstykke. Det burde efter hans mening være obligatorisk stof for enhver matematiklærer.

• Language: Dansk
• Publisher: Books on Demand
• Release date: Feb 15, 2014
• ISBN: 9788771454031

Gunnar Bomann

Gunnar Bomann blev mag. scient. i matematik fra Københavns Universitet i februar 1966 og straks efter headhuntet til Danmarks Lærerhøjskole, hvor han efterfølgende gennem hele sit arbejdsliv har undervist og forsket i især tal og algebra. Gennem årene har han skrevet tusindvis af sider, dels til cand. pæd. studiet (og exam. pæd. studiet samt diplomuddannelsen) i tal og algebra, og dels til brug ved kortere videreuddannelser i matematik. I offentligheden er Gunnar Bomann mest kendt som forfatter af Gads Fag-leksikon i matematik.

Book preview

Stikordsregister

A INDLEDNING

1 Ønsket om at opbygge talområderne aksiomatisk

Som vi så i Bog 1, har tallene fra tidernes morgen udgjort en integreret og uundværlig del af menneskets kulturelle udvikling. Her i Bog 3 skal vi se nærmere på forskellige typer af tal: Naturlige tal, hele tal, rationale tal, reelle tal og komplekse tal [samt omtale de såkaldte kvaternioner og Cayley-tal].

Vi har i Bog 1 set, at der omkring år 1600 begyndte at ske afgørende ting for algebraens vedkommende med fremkomsten af den symbolske algebra. I det hele taget begyndte der at ske mangt og meget på matematikkens område i 1600-tallet, ikke mindst muliggjort af algebraens fremskridt kombineret med den lettere adgang til at få udbredt kendskabet til nye tanker via bogtrykkerkunsten. Eksempelvis spirede et helt nyt område, sandsynlighedsregning, frem omkring århundredets midte. De mest banebrydende fremskridt skete dog inden for den såkaldte infinitesimalregning i kraft af englænderen Isaac Newtons [jf. omtalen af Newton i Afsnit 37] og tyskeren Gottfried Wilhelm Leibniz' arbejder [jf. omtalen af Leibniz i Afsnit 37].

På Newtons og Leibniz' tid betragtedes matematikken som en hjælpedisciplin for især astronomi og fysik – samt som forretningsmatematik og i øvrigt som et interessant tidsfordriv. Det betød bl.a., at man lagde den afgørende vægt på en matematisk sætnings anvendelsesværdi: Hvis sætningen gav [praktisk set] korrekte resultater ved anvendelse inden for eksempelvis astronomi, så var det berettigelse nok. Først omkring 100 år senere – i tiden efter Den Franske Revolution – begyndte man for alvor at opfatte matematikken som vigtig i sig selv [igen! – de gamle grækere havde jo tidligere gjort det]. Denne selvstændighed betød bl.a., at det ikke længere forekom rimeligt at lade naturen være dommer med hensyn til gyldigheden af matematiske sætninger. Sådanne måtte begrundes inden for matematikken selv, dvs. udelukkende ved logisk argumentation.

Af disse grunde opstod efterhånden et behov for at opbygge hele matematikken som et logisk sammenhængende hele, herunder krav om større klarhed og præcision med hensyn til matematikkens grundlag og bevismetoder, samt ønske om bedre midler til opnåelse af overblik over og sammenhæng i matematikkens mangfoldighed.

Sådanne krav og ønsker måtte naturligvis ikke mindst angå matematikkens helt centrale område, tallene. Vi skal i det følgende se, hvorledes krav og ønsker blev opfyldt for tallenes vedkommende. Vi vil belyse en opbygning, hvor vi udgår fra et såkaldt aksiomsystem² for de naturlige tal og successivt konstruerer de hele tal, de rationale tal, de reelle tal og de komplekse tal [samt kvaternionerne og Cayley-tallene].

Hensigten er imidlertid ikke at gennemføre en sådan successiv konstruktion/opbygning af talområderne i detaljer, men blot at belyse – forhåbentlig overbevisende – hvordan dette kan gøres. Fremstillingen forudsætter, at læseren har et vist kendskab til logik og mængdelære.

2 Tidsoversigt

Lad os indlede med en tankevækkende oversigt over, hvornår der på tryk forelå matematisk tilfredsstillende udformninger for de forskellige talområders vedkommende.

Man kan straks se, at der må være noget galt. For hvordan kunne eksempelvis de reelle tal finde en afklaring, før de rationale tal var fuldt belyst? Oversigten skal da også forstås på den måde, at de reelle tal blev tilfredsstillende konstrueret ud fra de rationale tal i 1872 [ja, faktisk tidligere, jf. omtalen af Weierstrass i Afsnit 40]. Og hermed menes, at hvis de rationale tal [og dermed specielt de naturlige tal og de hele tal] havde været klarlagt i 1872, så havde man også haft en fyldestgørende afklaring af de reelle tal – og for øvrigt også, som det fremgår af oversigten, af de komplekse tal.

Alligevel virker tidsangivelserne formodentlig besynderlige. Hvordan kan det dog gå til, at de komplekse tal kunne afklares først? Og dernæst de yderst komplicerede reelle tal?

3 Et svar på de i Afsnit 2 rejste spørgsmål

Ovenstående spørgsmål kan kort besvares sådan: Ønsket om at forstå de reelle tals natur er næsten lige så gammelt som matematikken selv; og op gennem tiden har man til stadighed gjort sig tanker herom [jf. Bog 1, specielt Kapitel F GRÆKERNE, samt (her i Bog 3) Kapitel F DE REELLE TAL]. Endvidere så vi i Bog 1, Afsnit 63, at Cardano i forbindelse med løsning af tredjegradsligninger begyndte at sysle med nogle gådefulde imaginære tal – som der i en eller anden forstand syntes at være fornuft i til trods for, at kvadratet på et sådant tal er mindre end 0. Der var derfor også behov for at få undersøgt muligheden for en logisk afklaring af sådanne tal. At så de komplekse tal blev beskrevet/konstrueret tilfredsstillende ud fra de reelle tal længe før en afklaring af de reelle tal på basis af de rationale tal fandt sted, skyldes, at der er tale om konstruktioner af vidt forskellig sværhedsgrad.

For øvrigt gav – som vi tidligere har set – også selv negative hele tal anledning til vanskeligheder. Men mens man havde svært ved at forestille sig, hvad et reelt tal egentlig er – et sådant tal har jo noget uendeligt over sig – så var problemet med de negative tal i 1800-tallet af en noget anden karakter. Som vi har set i Bog 1, havde man for længst lært at regne med dem [måske først kineserne, i hvert fald mht. hurtighed]; og man nåede efterhånden frem til en hensigtsmæssig måde at anskue dem på [jf. Bog 1, Afsnit 67]. Problemet var derfor nærmest af filosofisk karakter: Bør sådanne størrelser overhovedet opfattes som tal? Faktisk er der altså tale om en definitionssag! Og det er værd at lægge mærke til – og bestemt ikke tilfældigt – at vægtskålen først for alvor tippede til fordel for at opfatte negative størrelser som tal i forbindelse med den symbolske algebras sejrsgang. Det er nemlig først i forbindelse med, at fokus lægges på, at regneoperationer altid kan udføres [bortset fra division med 0], at behovet for at opfatte negative størrelser som tal bliver et uomgængeligt krav.

At de naturlige, de hele og de rationale tal overhovedet blev opbygget systematisk, skal derfor ikke så meget ses på baggrund af et behov for bedre forståelse, men derimod ud fra det ovenfor nævnte ønske om at give matematikken et solidt grundlag, samt at fremstille matematikken som et logisk sammenhængende hele. Og hen imod slutningen af 1800-tallet mente man bedst at kunne tilgodese dette ønske ved at [forsøge at] give en helt igennem aksiomatisk opbygning [med forbillede i Euklids aksiomatiske opbygning af geometrien].

Helt fra [før] Euklids dage omkring år 300 f.Kr. var man klar over, at man ikke kan starte helt fra bar bund. Visse begreber og visse sammenhænge mellem disse må forudsættes at stå til rådighed, ellers definerer og beviser man i ring. Sådanne til grund liggende begreber gør man altså ikke noget forsøg på at forklare eller definere, selv om man naturligvis har en intuitiv forståelse/opfattelse af dem. De kaldes derfor også udefinerede begreber [eller primitive begreber]. Tilsvarende gør man intet forsøg på at bevise de til grund liggende sammenhænge mellem de udefinerede begreber, selv om man naturligvis har en intuitiv forståelse af disse sammenhænge; der er altså netop tale om ønsker til de udefinerede begreber. Disse ønsker kaldes derfor – som en anerkendelse af, at det jo var grækerne, der gjorde matematikken til en videnskab – for aksiomer.

Bemærkning: Tidligere opfattede man eksempelvis Euklids aksiomer som selvindlysende sandheder. I vore dage er indgangsvinklen skiftet til at opfatte et aksiomsystem snarere som en samling ønsker, eller omhyggeligere formuleret: Man afstår fra at forklare, hvad eksempelvis punkter og linjer er – og dermed naturligvis også fra at begrunde, at de tilfredsstiller Euklids aksiomer. Enhver sætning i den Euklidiske geometri er egentlig eftersætning i en implikation af form: Hvis de udefinerede begreber [punkter og linjer] tilfredsstiller alle aksiomerne, så gælder også … [den pågældende sætning].

Men når man nu ikke kan tillægge aksiomer og sætninger nogen selvstændig sandhedsværdi, er en aksiomatisk teori så andet end et luftkastel? Her er vi ved kernen i det hele. Netop for en sådan ubehæftet teori [uden indbygget modstrid] kan man fortolke eller interpretere de udefinerede begreber efter forgodtbefindende. Tænk fx på, at vi har mødt flere strukturer, som opfylder de grundlæggende regneregler for addition: De reelle tal, vektorer, restklasser modulo et naturligt tal og polynomier. Og vi har noteret os, at hver gang vi møder en sådan struktur, kan vi med præcis samme argumentation bevise en række konsekvenser. Ethvert resultat, som er logisk udledt alene ud fra de grundlæggende regneregler for addition, gælder altså for enhver struktur, som opfylder disse regneregler. Det er netop styrken i en aksiomatisk teori – i en sådan kan man virkelig sige, at en sætning bliver bevist én gang for alle: Hver gang man ved en fortolkning af de udefinerede begreber kommer i en situation, hvor alle aksiomerne er opfyldt [har at gøre med en model

² Ordet aksiom er græsk og betyder selvindlysende sandhed eller ønske; jf. det følgende, specielt Afsnit 3.

B DE NATURLIGE TAL

I dette kapitel påbegynder vi den omtalte aksiomatiske opbygning/konstruktion af særligt vigtige talområder. I Afsnit 4 opstilles nogle [i hvert fald tilsyneladende] meget beskedne krav til de naturlige tal; og på den baggrund belyses, hvorledes [mange af] de egenskaber, vi forbinder med disse tal, kan bevises.

Det vanskeligst gennemskuelige af de grundlæggende krav til de naturlige tal er det såkaldte induktionsaksiom, som nødvendigvis må spille en central rolle i beviserne. Jeg giver nogle grundige beviser i forbindelse med begyndelsen af konstruktionen – og lader så det være godt. Dybere indsigt i det fundamentale induktionsaksiom mener jeg nemlig bedre at kunne formidle uden for den egentlige opbygning af talsystemerne; dette er emnet for Kapitel C Matematisk induktion. Måske vil det være en god idé, at du beskæftiger dig med dette kapitel, før du for alvor studerer nærværende kapitel.

4 Peanos aksiomsystem

De naturlige tal kan fastlægges ved hjælp af nedenstående aksiomsystem, som er opkaldt efter italieneren Giuseppe Peano [se omtalen nedenfor], men næsten lige så godt kunne være opkaldt efter tyskeren Richard Dedekind [jf. omtalen i Afsnit 41], som anførte et næsten identisk aksiomsystem i sin berømte lille bog Was sind und was sollen die Zahlen. Her er Peanos aksiomsystem.

De udefinerede begreber udgøres af en mængde N, hvis elementer kaldes naturlige tal, samt af en afbildning E af N ind i N, kaldt efterfølgerfunktionen; elementerne i billedmængden E(N) kaldes efterfølgere. Aksiomerne er:

(1) E er en injektiv [dvs. enentydig] funktion.

(2) Ikke alle elementer i N er efterfølgere; dvs. E(N) er en ægte delmængde af N.

(3) Lad M være en vilkårlig delmængde af N, som dels indeholder en ikke-efterfølger, og dels med et vilkårligt naturligt tal også indeholder dettes efterfølger. Det gælder da, at M er hele N.

Gennem (1) og (2) sikres specielt, at N er en uendelig mængde; thi E er jo en bijektion af N på en ægte delmængde af N, hvilket pr. definition af begrebet uendelig mængde betyder, at N er uendelig [jf. definitionen under omtalen af Dedekind i Afsnit 41].

(3) er det såkaldte induktionsaksiom. Det fortæller [sammen med (2)], at der er netop ét naturligt tal, som ikke er en efterfølger [begrundelse om et øjeblik]; dette naturlige tal vil vi betegne 1. Endvidere sikrer (3), at N ikke er større end højst nødvendigt; (3) fortæller nemlig, at en delmængde af N, der indeholder 1 samt efterfølgeren for 1 [som vi naturligvis betegner 2], samt efterfølgeren for 2 [som vi naturligvis betegner 3], samt efterfølgeren for 3 [som vi naturligvis betegner 4], osv., udgør hele N. Og så den lovede begrundelse: Lad 1 være en vilkårlig ikke-efterfølger. Så er, som netop indset, alle øvrige elementer i N efterfølgere; altså er 1 den eneste ikke-efterfølger.

Giuseppe Peano, italiensk, 1858-1932 søgte i Formulaire de mathematiques fra 1894 (og frem) sammen med sine medforfattere at udvikle et formaliseret sprog, der ikke blot skulle rumme den matematiske logik, men alle matematikkens vigtigste grene.

Herved blev han en af forløberne for en matematisk skole, logistikken, hvis hovedværk er Principia mathematica (1910-1913), skrevet af de to englændere Bertrand Russell (1872-1970) og Alfred North Whitehead (1861-1947).

5 Addition, multiplikation og mindre end i N

Aksiomsystemet i Afsnit 4 afspejler således velkendte egenskaber ved de naturlige tal, dvs. egenskaber som vi ønsker, at de naturlige tal har. Og det kan bevises – hvilket naturligvis er væsentligt – at det endda rummer de naturlige tals væsen [sådan som vi føler, det bør være] i en sådan grad, at enhver ønskelig egenskab er en logisk følge af aksiomsystemet. Heri er specielt indeholdt, at det er muligt at indføre kompositioner + [addition] og · [multiplikation] samt en ordningsrelation < [mindre end] sådan, at alle de velkendte regneregler for naturlige tal gælder.

Vi vil illustrere påvisningen heraf ved at gå et stykke af vejen. Vi indleder definitionen af addition beskedent med addition af 1: For et vilkårligt naturligt tal n defineres n + 1 som efterfølgeren for n, dvs. som E(n); altså:

Definition: n + 1 = E(n).

(4)

Vi kalder som allerede nævnt E(1), altså 1 + 1, for 2; og E(2), altså 2 + 1, for 3; og E(3), altså 3 + 1, for 4; osv.

I fortsættelse af (4) kan n + 2, dvs. n + E(1), defineres som efterfølgeren for n + 1, altså som E(n + 1); og dernæst n + 3, dvs. n + E(2), defineres som efterfølgeren for n + 2, altså som E(n + 2); osv. Generelt:

Definition: Hvis n + k er defineret, så definerer vi n + (k + 1) som E(n + k), altså som (n + k) + 1.

(5)

Sætning 1

Gennem (4) og (5) er sikret, at n + m er defineret for alle naturlige tal n og m; dvs. addition er en komposition i N.

Bevis [hvor induktionsaksiomet (3) spiller – og nødvendigvis må spille – den centrale rolle]: Lad n være et vilkårligt naturligt tal, og lad M være delmængden af N bestående af de naturlige tal m, for hvilke n + m er defineret. Vi ved da fra (4), at 1 tilhører M, dvs. M indeholder en ikke-efterfølger. Lad dernæst k være et vilkårligt element i M, dvs. n + k er defineret; dette omtales som induktionsantagelsen. Så vil også k + 1 tilhøre M; thi vi har jo i (5) defineret n + (k + 1) som E(n + k).

Da M således dels indeholder en ikke-efterfølger, og dels med et vilkårligt naturligt tal k også indeholder dettes efterfølger k + 1, så følger det af induktionsaksiomet, at M er hele N

Bemærk [til senere brug], at additionen blev defineret sådan, at den associative lov gælder i det specialtilfælde, hvor sidste addend er 1 [jf. (5)].

Herefter kan multiplikation indføres på følgende måde. Vi starter igen beskedent med at definere multiplikation med 1. For et vilkårligt naturligt tal n defineres n·1 som n; altså:

Definition: n · 1 = n.

(6)

Dernæst kan n·2, dvs. n·(1 + 1) eller n·E(1), defineres som n·1 + n; og så kan n·3, dvs. n·(2 + 1) eller n·E(2), defineres som n·2 + n; osv. Generelt:

Definition: Hvis n·k er defineret, så definerer vi n·(k + 1)

(7)

som n·k + n.

Sætning 2

Gennem (6) og (7) er sikret, at n·m er defineret for alle naturlige tal n og m; dvs. multiplikation er en komposition i N.

Bevis: Lad n være et vilkårligt naturligt tal, og lad M være delmængden af N bestående af de naturlige tal m, for hvilke n·m er defineret. Vi ved da fra (6), at 1 tilhører M, dvs. M indeholder en ikke-efterfølger. Lad dernæst k være et vilkårligt element i M, dvs. n·k er defineret [induktionsantagelsen]. Så vil også k + 1 tilhøre M; thi vi har jo i (7) defineret n·(k + 1) som n·k + n.

Da M således dels indeholder en ikke-efterfølger, og dels med et vilkårligt naturligt tal k også indeholder dettes efterfølger k + 1, så følger det af induktionsaksiomet, at M er hele N

Bemærk [til senere brug], at multiplikationen blev defineret som gentagen addition og sådan, at den ene distributive lov gælder i et specialtilfælde; det gælder jo nemlig, at n·(m + 1) = n·m + n = n·m + n·1.

Definition 1

For vilkårlige naturlige tal m og n siger vi, at m er mindre end n [og vi skriver dette symbolsk sådan: m < n], hvis og kun hvis der findes et naturligt tal k, sådan at m + k = n.

Man udtrykker alt i alt det hidtil sagte i Afsnit 5 kort ved at sige, at vi har indført/defineret +, · og < i N ved induktion.

Der forestår nu et ganske omfattende arbejde med at bevise, at < er en total, irrefleksiv ordningsrelation [jf. Afsnit 7],