TAL OG ALGEBRA med historisk tilgang: Bog 2 Tal og algebra

By Gunnar Bomann

Der har efterhånden udviklet sig en tradition for, at lærebøger i matematik indfletter lidt spredte bemærkninger af matematikhistorisk karakter, specielt om fremtrædende matematikere. Andre matematikbøger er rent historiske. I relation hertil udgør de tre bøger i serien TAL OG ALGEBRA med historisk tilgang en nyskabelse: Tallenes og algebraens historiske udvikling behandles sammenhængende, ikke for denne udviklings egen skyld, men med henblik på at give læseren indsigt i specielt algebraens idégrundlag på en helt anden måde, end det er muligt ved en »tidløs fremstilling«.

Forfatteren har ved udarbejdelsen af serien først og fremmest haft uddannelsen af folkeskolelærere samt efteruddannelsen af folkeskolelærere i tankerne. Men bøgerne henvender sig til enhver, for hvem forståelse og indsigt er vigtigere end færdighed og rutine. Bøgerne vil også være velegnede til selvstudium.

I offentligheden er Gunnar Bomann mest kendt som forfatter af Gads Fag-leksikon i matematik.

Professor Allan C. Malmberg kalder de tre bøger i serien for perler og omtaler serien som et imponerende værk, der udgør et såvel fagligt som undervisnings-mæssigt mesterstykke. Det burde efter hans mening være obligatorisk stof for enhver matematiklærer.

• Language: Dansk
• Publisher: Books on Demand
• Release date: Feb 15, 2014
• ISBN: 9788771454024

Gunnar Bomann

Gunnar Bomann blev mag. scient. i matematik fra Københavns Universitet i februar 1966 og straks efter headhuntet til Danmarks Lærerhøjskole, hvor han efterfølgende gennem hele sit arbejdsliv har undervist og forsket i især tal og algebra. Gennem årene har han skrevet tusindvis af sider, dels til cand. pæd. studiet (og exam. pæd. studiet samt diplomuddannelsen) i tal og algebra, og dels til brug ved kortere videreuddannelser i matematik. I offentligheden er Gunnar Bomann mest kendt som forfatter af Gads Fag-leksikon i matematik.

Book preview

Stikordsregister

A INDLEDNING

1 Hvad kan vi lære af historien?

I Bog 1 har jeg beskrevet nogle for mig at se vigtige elementer fra tallenes og algebraens historie. Herunder har jeg især lagt vægt på at fremhæve det, jeg mener vil være nyttigt med henblik på at tilegne sig en tidssvarende indsigt i tallenes og algebraens væsen. Der er således nok tale om en fremstilling af det historiske forløb, men bestandig med den bagtanke, at det egentlige mål er – her i Bog 2 – at kunne udnytte de tanker og overvejelser, den historiske udvikling giver anledning til.

Bog 2 kan derfor betragtes som bogseriens centrale del. Men det er min overbevisning, at med Bog 1 som baggrund bliver det muligt for en læser – i langt højere grad end det ville være ved en tidløs fremstilling af stoffet i Bog 2 – at se tingene i et hensigtsmæssigt perspektiv. Ved at kende til den historiske udvikling og nogle af de problemer, man har skullet overvinde, vil du efter min mening have betydeligt bedre muligheder for at sætte dig ind i – og påskønne – den nuværende måde at fremstille stoffet på, dvs. ved hjælp af den symbolske algebra.

Først og fremmest finder jeg det tankevækkende, at historien meget tydeligt viser, hvor vanskeligt det har været for menneskene at nå frem til den symbolske algebra – hvor længe man var henvist til at benytte retorisk algebra og geometriske ræsonnementer, før det endelig lykkedes at gøre algebraen til et virkelig effektivt redskab. Alene ud fra den kendsgerning må man formode, at det næppe falder let for ret mange at tilegne sig den symbolske algebra. Der må derfor i starten sættes mange kræfter ind på at belyse den symbolske algebras væsen, bl.a. ved at fremhæve den fundamentale forskel mellem retorisk og symbolsk algebra.

Lad os repetere lidt fra Bog 1. Menneskene begyndte naturligvis med den form for algebra, der kaldes retorisk. Det centrale i denne er forbindelsen mellem matematik og sprog; man ræsonnerer via sprogets indbyggede logik på forestillinger om det, man taler om. Og ganske vist kan man skrive sine tankegange ned for at fastholde det, man har indset; men det karakteristiske er, at man netop kun kan nedskrive det, man allerede har indset. Det egentlige, dvs. tankevirksomheden, sker altså før den eventuelle nedskrivning, som kun tjener til at fastholde det egentlige. [Se eventuelt en eksemplificering af forskellen mellem retorisk og symbolsk algebra i Bog 1, Afsnit 46.]

I den symbolske algebra sker tankevirksomheden derimod i forbindelse med det nedskrevne. Symbolerne er her ikke noget stationært, som blot fastholder det, man har indset. Nej, de indgår sammen med tankevirksomheden i en dynamisk proces. Symbolerne er centrale for tankevirksomheden, og det egentlige sker ved, at de udsættes for algebraiske omskrivninger. Omskrivningerne finder sted under udnyttelse af visse regneregler, og tankevirksomheden – som sagtens kan være inspireret af geometriske eller andre forestillinger – er i den symbolske algebra koncentreret om at finde på hensigtsmæssige omskrivninger.

Det kræver stor indsigt og meget træning at kunne foretage hensigtsmæssige omskrivninger. Sagt firkantet skal man eksempelvis ikke altid tankeløst gange en parentes ud; det er muligvis helt andre omskrivninger, der fører frem til målet. Selv om ræsonnementer så at sige sættes på skinner ved hjælp af symboler og regneregler, er det altså vigtigt at tænke sig om. Uden en hensigt med omskrivningerne er der som oftest tale om tomgang.

Det er hensigtsmæssige omskrivninger ved anvendelse af regneregler, som efter min opfattelse er det centrale i den nutidige algebra. Hertil kommer, at man ofte indledningsvis må algebraisere [hvorved jeg mener oversætte et forelagt problem til den symbolske algebras sprog] samt afslutningsvis tolke/fortolke resultatet af foretagne omskrivninger. Disse aspekter udgør derfor det bagved liggende tema for hele Bog 2; og stoffet er udvalgt med henblik på bedst muligt at belyse disse aspekter.

2 Om fremlæggelsen af stoffet

Lad mig slå fast med det samme, at stoffet er så sammenhængende og kompliceret, at det næppe er muligt – og i hvert fald ikke hensigtsmæssigt – at give en fremstilling, hvor et emne gøres færdigt, før det næste tages op. Jeg tror, det er nødvendigt at hoppe ind et sted og arbejde sig ud derfra i flere retninger – langs spiraler, der vender tilbage. Eksempelvis er det godt nok vigtigt, at du kan følge de mange ræsonnementer; men det vil være aldeles uhensigtsmæssigt af den grund at starte med et langt afsnit om logik. Ligeledes vil det være aldeles uhensigtsmæssigt at insistere på at begynde med en præcisering af de forskellige typer af tal. Tingene må komme lidt efter lidt. Det helt centrale – mener jeg – er at få indsigt i algebraiske omskrivninger, herunder at gøre sig klart, hvad man ønsker at opnå ved den enkelte omskrivning. Kun på den måde vil man efterhånden kunne foretage hensigtsmæssige omskrivninger på egen hånd. Lad os holde os dette sigte for øje!

Jeg forestiller mig, at du vil have mange spørgsmål undervejs. Jeg vil forsøge på stedet at besvare nogle af disse tænkte spørgsmål på en måde, som jeg skønner vil være passende her og nu. Andet vil jeg udskyde kommenteringen af – ellers vil den røde tråd forsvinde i kaos. Af samme grund – dvs. for ikke at tabe tråden – vil jeg anbringe mange af mine svar (samt meget andet) i små kantede parenteser. Og du skal også vide, at mine svar langt fra kan betragtes som udtømmende, samt at der er mange niveauer at tale om et emne på – ja, faktisk findes der selv inden for matematikken ikke noget endeligt niveau.

Af og til vil jeg samle lidt op; men det egentlige opsamlingsarbejde må du selv klare. Hvis man vil sætte sig godt ind i en bog – og ikke mindst en matematikbog – kan man ikke nøjes med at læse den fra den ene ende til den anden. Man må gøre sig mange tanker og stille en mængde spørgsmål undervejs, og det vil ofte være nødvendigt at bladre tilbage i bogen og genlæse gammelt stof med nye øjne. Lejlighedsvis vil det måske også være en god idé at bladre frem i bogen og læse lidt. I den forbindelse vil jeg henlede din opmærksomhed på de mange henvisninger samt det omfangsrige stikordsregister.

Jeg vil også benytte lejligheden til at fremhæve så stærkt jeg kan, at man altid bør læse matematik med papir og blyant ved hånden. Det fremmer dels ens forståelse og tilegnelse af stoffet, og tjener dels til, at man bliver opmærksom på noget væsentligt, som man ellers let ville komme til at læse hen over. I det hele taget bør man læse aktivt, herunder meget gerne forsøge at være foran forfatteren. Og det er vigtigt, at man løser – i det mindste forsøger at løse – så mange opgaver som muligt.

B REGNEREGLER

Hensigten med dette kapitel er at belyse, at alle de mange regneregler for tal – herunder nogle mystiske [jf. Afsnit 7] – kan bevises ud fra nogle få indlysende sande grundlæggende regneregler [med tal menes her i Bog 2 – med mindre andet udtrykkeligt fremhæves – altid reelle tal].

For at tilegne sig algebraens væsen, altså den symbolske algebras væsen, mener jeg, at det er væsentligt at erkende denne sammenhæng mellem regnereglerne samt at opnå rutine i at udnytte regnereglerne – såvel grundlæggende som afledte – til at foretage hensigtsmæssige omskrivninger. Derimod er det ingenlunde nødvendigt at huske begrundelser for denne eller hin afledte regneregel i detaljer; flere af disse begrundelser er i øvrigt temmelig spidsfindige. Du opfatter måske stoffet i dette afsnit som unødigt kedeligt og vanskeligt, måske endda ret så overflødigt; men bekæmp denne følelse og arbejd dig igennem, i det mindste så langt, at du klart erkender den omtalte sammenhæng.

3 De grundlæggende regneregler

Her i Bog 2 vil vi betragte følgende som indlysende sandt: Til to vilkårlige tal a og b knyttes ved addition netop ét tal; dette omtales som summen af a og b og noteres a + b. Ligeledes knyttes til to vilkårlige tal a og b ved multiplikation netop ét tal; dette omtales som produktet af a og b og noteres a·b eller blot ab [foreløbig vil vi dog notere multiplikationstegnet/gangeprikken]. For addition og multiplikation gælder nedenstående grundlæggende regneregler:

Bemærkning: I Bog 3 vil vi se nærmere på grundlaget – eller rettere: et grundlag – for den slags. I kraft af, at de reelle tals addition og multiplikation tilfredsstiller ovenstående regneregler, taler man om det reelle tallegeme.

Du synes måske, at eksempelvis den associative lov for addition er forvirrende – hvad er det egentlig, den fortæller? Jo, pr. definition af addition kan man kun addere to tal ad gangen [jf. eventuelt Bog 3, Afsnit 5]. Ved hjælp af parenteserne i den associative lov udtrykkes følgende: Hvis man [som ligningens venstre side udtrykker] først adderer a og b, og dernæst til den fremkomne sum a + b adderer c, så fås samme resultat, som hvis man [som ligningens højre side udtrykker] først adderer b og c, og dernæst adderer a og den fremkomne sum b + c.

Den kommutative og den associative lov for addition sikrer tilsammen, at man i en flerleddet sum kan ombytte og forene addenderne, som man har lyst – og derfor kan mange parenteser spares. Tilsvarende gælder for et flerleddet produkt, hvor altså faktorerne kan anbringes og ganges sammen i ønsket rækkefølge.

I forbindelse med loven om reciprokt tal kan fremhæves følgende: Man kan ikke gøre sig håb om at finde en løsning til ligningen 0·x = 1, hvis man vel at mærke ønsker de øvrige regneregler opfyldt – og det gør man! Disse øvrige regneregler medfører nemlig, at der for vilkårlige tal a og b gælder [ved de to første lighedstegn anvendes loven om nul, og ved det sidste lighedstegn den (ene) distributive lov]:

a·b + 0 = a·b = a·(b + 0) = a·b + a·0.   (1)

Da det første og sidste udtryk i (1) er ens [fastlægger samme tal], slutter vi ved at addere det modsatte tal til tallet a·b [jf. loven om modsat tal], at a 0 = 0 [udførligt altså, at a·b + 0 = a·b + a·0 medfører, at -(a·b) + (a·b + 0) = -(a·b) + (a·b + a·0), og videre ved hjælp af associativ lov for addition, at (−(a·b) + a·b) + 0 = (−(a·b) + a·b) + a·0, dvs. at 0 + 0 = 0 + a·0, og sluttelig ved anvendelse af loven om nul, at 0 = a·0]. Lad os fremhæve, at der altså for ethvert tal a gælder [jf. den kommutative lov for multiplikation]:

a·0 = 0·a = 0.   (2)

At jeg har kaldt overskriften til dette afsnit for de grundlæggende regneregler, skyldes som nævnt, at alle øvrige regneregler vedrørende addition og multiplikation – samt vedrørende subtraktion og division, der kan defineres ud fra de grundlæggende regneregler [dette vender vi allerede tilbage til i Afsnit 6] – kan udledes af disse. Dette vil blive belyst i den resterende del af dette kapitel.

4 Lidt om potensskrivemåde og potensregneregler

For ethvert tal a gælder, at a + a = 2·a [udførligt fordi a + a ifølge loven om én er lig med 1·a + 1·a; og dette udtryk kan vi i kraft af den ene distributive lov omskrive til (1 + 1)·a, og 1 + 1 = 2 (pr. navngivningsvedtægt)]. Videre gælder, at a + a + a = 3·a [hvor vi i kraft af den associative lov for addition ikke behøver at sætte parenteser], a+a+a+a = 4·a, osv. Som oftest skriver vi kort 2a i stedet for 2·a, 3a i stedet for 3·a, osv.

I fortsættelse af ovenstående korte notation for gentagen addition af samme tal benytter man for et produkt som eksempelvis a·a·a·a [hvor vi i kraft af den associative lov for multiplikation ikke behøver at sætte parenteser] den korte potensskrivemåde a⁴. I kraft af de grundlæggende regneregler gælder for vilkårlige tal a og b eksempelvis, at

a⁴·a⁷ = a⁴+⁷ (= a¹¹)

(a⁴)⁷ = a⁴·⁷ (= a²⁸)

(a·b)⁴ = a⁴·b⁴.

Begrundelse: Den associative lov for multiplikation sikrer, at man i et produkt med flere end to faktorer kan sætte parenteser, som man vil [underforstået: resultatet bliver det samme]. Derfor gælder, at

a⁴·a⁷ = (a·a·a·a)·(a·a·a·a a·a·a) = a·a·a·a·a·a·a·a·a·a·a = a⁴+⁷,

(a⁴)⁷ = (a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)·(a·a·a·a)

      = a⁴·⁷,

samt – denne gang ved gentagen brug af såvel den associative som den kommutative lov for multiplikation, at [vi ombytter og forener faktorerne som vi har lyst]

(a·b)⁴ = (a·b)·(a·b)·(a·b)·(a·b) = (a·a·a·a)·(b·b·b·b) = a⁴·b⁴.

Tilsvarende gælder helt generelt for vilkårlige naturlige tal m og n følgende potensregneregler:

am·an = am+n   (3)

(am)n = am·n   (4)

(a·b)n = an·bn.   (5)

Vi vil i det følgende, men kun i forbindelse med eksempler og opgaver, tillade os at benytte (3), (4) og (5) uden yderligere begrundelse [vedr. beviser for disse potensregneregler se Bog 3, Afsnit 11]. For øvrigt må m og/eller n ovenfor gerne være 0; man definerer nemlig a⁰ som 1, altså:

a⁰ = 1.   (6)

5 Begrebet ubekendt

I Bog 1 blev det nævnt, at ægypterne allerede for op mod 4000 år siden benyttede regula falsi [jf. Bog 1, Afsnit 13; babylonierne gjorde det også]; dvs. man prøvede først med et falsk tal [det vil blot sige et tal, som måske/måske ikke var løsning til det betragtede problem] og ud fra det resultat, man fik på den måde, korrigerede man efterfølgende det falske tal til en løsning.

Det blev også omtalt, at denne fremgangsmåde var en forløber for senere tiders indførelse af et symbol for det, vi kalder den ubekendte: I stedet for at prøve med et falsk tal benytter man (eksempelvis) bogstavet x som betegnelse for et eller andet tal og forsøger efterfølgende at regne ud [ved anvendelse af regnereglerne!], hvilket tal x må stå for; man forsøger altså ved hjælp af en analyse [jf. Bog 1, Afsnit 65] at finde frem til nødvendige betingelser for x, dvs. betingelser, som x nødvendigvis må opfylde.

Eksempel 1

I Bog 1, Afsnit 14 så vi, hvordan Ahmes ved hjælp af regula falsi løste opgaven:

En størrelse og en fjerdedel af den er i alt 15; find størrelsen.   (7)

Her vil vi betragte en besvarelse af denne opgave ved hjælp af den symbolske algebra. Lad os betegne den søgte størrelse med bogstavet x. En fjerdedel af størrelsen er så 1/4·x [for at slippe for at skrive flere parenteser end højst nødvendigt vedtager vi, at (eksempelvis) 1/4·x skal betyde (1/4)·x, og ikke 1/(4·x); der er intet problem, når vi noterer brøker med tæller lodret over nævner; men her er notationen lidt farlig]; og opgaveteksten fortæller, at x tilfredsstiller ligningen [dvs. gør ligningen sand]:

Det var algebraiseringen, altså oversættelse til den symbolske algebras sprog. Herefter udnytter vi så regnereglerne: Da x jo er det samme som 1·x [jf. loven om én], kan vi omskrive (8) til

[Her benyttede vi bl.a. den ene distributive lov til at sætte x uden for parentes; vi benyttede loven i specialtilfældet a = 1, b = 1/4 og c = x.]

Vi isolerer nu x på venstresiden af (9) ved at multiplicere ligningen igennem med 4/5, altså med det reciprokke tal til 5/4 [jf. loven om reciprokt tal]. Herved omskrives (9) til

[Her har vi bl.a. benyttet den associative lov for multiplikation. Detaljeret sagt har vi udnyttet, at 4/5·(5/4·x) = (4/5·5/4)·x = 1·x = x.]

Hermed har vi bevist, at hvis tallet x tilfredsstiller ligningen (8), så må x

I Eksempel 1 ovenfor illustreredes en fundamental algebraisk fremgangmåde/metode: Efter at have oversat den stillede opgave til en ligning med en ubekendt x [altså algebraiseret opgaven] forsøgte vi at isolere x ved at udnytte regneregler, som gælder for alle tal. Sagt med andre ord forsøgte vi at omskrive den første ligning til en så simpel ligning, at man af den straks kan se, hvilket tal den ubekendte x nødvendigvis må være.

Lad os illustrere metoden igen i forbindelse med bestemmelsen af Diophants alder [jf. Opgave 1F20].

Eksempel 2

Vi kalder Diophants alder [i antal år] for x. Opgaveteksten oplyser så, at hans barndom varede 1/6·x år, at hans ungdom varede 1/12·x år, og at han var ungkarl i yderligere 1/7·x år [hvorefter han altså giftede sig]. Efter yderligere 5 år fik han en søn, som døde 4 år før sin fader. Sønnen var ved sin død 1/2·x år. Alt i alt slutter vi, at x må tilfredsstille følgende ligning [hvor det takket være den associative lov for addition ikke er nødvendigt at angive (ved hjælp af parenteser), i hvilken rækkefølge additionerne skal foregå]:

[Efter de 5 års ægteskab levede Diophant jo 1/2·x år samtidig med sønnen, og derpå yderligere 4 år, før han døde.] Det var algebraiseringen. Så følger omskrivninger ved udnyttelse af regnereglerne: For at slippe af med brøktallene ganger vi (11) igennem med det mindste fælles multiplum for nævnerne 6, 12, 7 og 2; det ses at være 84 [hvis ligningens venstre side er lig med ligningens højre side, så må jo også 84 gange venstre side være lig med 84 gange højre side]. Vi slutter altså [bl.a. ved hjælp af den ene distributive lov], at x må tilfredsstille ligningen:

14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x.   (12)

Ved at bytte rundt på venstre sides addender og sætte uden for parentes omskriver vi (12) til

75x + 756 = 84x.   (13)

[Hertil benytter vi den kommutative lov til at ombytte addenderne 420 og 42x, samt den associative lov for addition og den (ene) distributive lov).]

Dernæst subtraherer vi 75x fra begge sider af lighedstegnet i (13) og konkluderer [sagt bedre på nuværende tidspunkt (vi har jo endnu ikke har indført subtraktion): vi skriver 84x som 75x + 9x (distributiv lov) og adderer efterfølgende det modsatte tal til 75x på begge sider af lighedstegnet], at x må tilfredsstille ligningen

756 = 9x.   (14)

Endelig dividerer vi (14) igennem med 9 [sagt bedre på nuværende tidspunkt (vi har jo endnu ikke har indført division): vi multiplicerer med det reciprokke tal 1/9 til 9 på begge sider af lighedstegnet] og finder [idet vi også ombytter venstre og højre side]:

x = 84.   (15)

Og (15) er jo så simpel, at vi straks kan aflæse, at 84 er eneste løsningskandidat. Efter denne analyse [jf. Bog 1, Afsnit 65] kontrollerer vi (syntese), at 84 virkelig er

Ovenfor har jeg [i kantede parenteser] henledt opmærksomheden på de (fleste af de) grundlæggende regneregler, vi benyttede. Du opfordres til i starten at gøre det samme, samt til at benytte én regneregel ad gangen [sådan som jeg fx gør det i starten af Afsnit 8] – og først ophøre med dette [og altså gå over til at udføre flere operationer på én gang], når du føler dig helt sikker på at kunne gå detaljeret frem, hvis nogen bad dig om det. Du bør også ofte – især her i begyndelsen – tolke [altså så at sige oversætte til retorisk algebra], hvad ligninger [og senere også uligheder] siger; eksempelvis siger (13) ovenfor, at 75 gange Diophants alder plus 756 er det samme tal som 84 gange Diophants alder.

6 Definition af subtraktion og division

I dette afsnit skal vi se, hvordan vi i kraft af de grundlæggende regneregler kan indføre subtraktion og division – mere præcist: Definere subtraktion og division. I kraft af de grundlæggende regneregler gælder følgende:

Sætning 1

Ligningen a + x = b har for alle tal a og b netop én løsning x.

Bevis: Først en analyse: Hvis a + x = b, så gælder også, at (−a) + (a + x) = (−a) + b, og dermed, at ((−a) + a) + x = b + (−a), og altså, at x = 0 + x = b + (−a); hermed har vi godtgjort, at b + (−a) er den eneste løsningskandidat.

Og så syntese [gøren prøve]: Indsættelse af b + (−a) for x i den oprindelige ligning i Sætning 1 giver: a + (b + (−a)) = a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b; dvs. b + (−a) er løsning til ligningen a + x = b

Den entydigt bestemte løsning b + (−a) til ligningen a + x = b betegnes også

b − a   (16)

Som det fremgår, har vi hermed indført subtraktion; vi har jo for to vilkårlige tal a og b defineret b − a. Ligningen a + x = b kaldes derfor ofte subtraktionsligningen; pr. definition er dens entydigt bestemte løsning tallet b − a [som er det samme tal som b + (−a)]. Lad os slå fast, at der altså gælder:

b − a = b + (−a).   (17)

Læg mærke til, at de to minusstreger i (17) har forskellig længde. Det har jeg valgt, fordi der jo faktisk er tale om to helt forskellige ting: Den lange minusstreg i (17) står for subtraktion, den korte minusstreg blev indført til at betegne dannelse af modsat tal. Man omtaler ofte den korte minusstreg i (17) som et fortegn. Mange lommeregnere har i øvrigt en tast for skift af fortegn, og denne tast må ikke forveksles med subtraktionstasten.

Bemærkning: Det er vigtigt at gøre sig klart, at fortegnet - [læses: minus] ikke signalerer, at man har med et negativt tal at gøre. Symbolet -a står som nævnt i de grundlæggende regneregler for det modsatte tal til tallet a; og tallet -a er henholdsvis negativt, nul og positivt, eftersom tallet a er positivt, nul og negativt.

Fx angiver -(−3) det modsatte tal til -3, dvs. -(−3) er det positive tal 3. Symbolet/navnet -3 kan efter behag opfattes sådan, at den korte minusstreg står som fortegn for (symbolet/navnet) 3, eller sådan, at hele symbolet står for tallet -3, og at dette er angivet uden fortegn (eller som man ofte siger "med fortegnet plus"); og i fortsættelse af den sidstnævnte opfattelse kan symbolet/navnet -(−3) tolkes sådan, at den første korte minusstreg står som fortegn (et minus) for symbolet/navnet (−3) [hvor sidstnævnte symbol/navn står for det samme som symbolet/navnet -3]. Formodentlig har al denne snak om fortegn gjort dig forvirret. Mit råd er: Lad være med at tale mere om fortegn end højst nødvendigt! Som vi skal se nedenfor, kan det endda helt undgås.

Specielt giver (17) for b = 0, at

0 − a = 0 + (−a) = -a.   (18)

(18) fortæller, at indførelsen af subtraktion er sket på en sådan måde, at dannelse af modsat tal [til a] kan opfattes som specialtilfælde af subtraktion, nemlig som subtraktion af a fra 0. [Hvis man havde valgt betegnelsen 0-a for det modsatte tal til a (hvilket ville være helt analogt til den valgte betegnelse 1/a for det reciprokke tal til et fra 0 forskelligt tal a), så ville (18) lyde: 0 − a = 0-a (som er analog med (22) nedenfor); og så ville det være helt tydeligt, at den korte minusstreg kan undværes. Heldigvis er det alligevel sådan, at man ikke behøver at spekulere på, hvad det er for et minustegn, man skal bruge i en givet situation; og man benytter derfor sædvanligvis samme symbol til at betegne de to helt forskellige ting. For tydelighedens skyld vil jeg dog benytte det korrekte tegn et stykke tid endnu.]

For b = a giver (17) [samt loven om modsat tal], at

a − a = a + (−a) = 0.   (19)

Ganske analogt med Sætning 1 bevises ved hjælp af de grundlæggende regneregler [jf. Opgave 2B11], at der gælder følgende:

Sætning 2

For alle fra 0 forskellige tal a og for alle tal b har ligningen a·x = b netop én løsning, nemlig b·1/a

Denne entydigt bestemte løsning betegnes også

b: a.   (20)

Som det fremgår, har vi hermed indført division; vi har jo for to vilkårlige tal a (≠ 0) og b defineret b:a. Ligningen a·x = b kaldes derfor ofte divisionsligningen; pr. definition er dens entydigt bestemte løsning tallet b:a [som er det samme tal som b·1/a]. Lad os slå fast, at der altså gælder:

b: a = b·1/a.   (21)

Specielt gælder for b = 1, at

1:a = 1·1/a = 1/a.   (22)

(22) fortæller, at indførelsen af division er sket på en sådan måde, at dannelse af reciprokt tal [til et fra 0 forskelligt tal a] kan opfattes som specialtilfælde af division, nemlig som division af 1 med a. Der er derfor ingen grund til – sådan som jeg har gjort det ovenfor – at benytte forskellige symboler for division og dannelse af reciprokt tal. Fremover vil vi – i stedet for b:a – sædvanligvis skrive

Det ses, at vi i kraft af (22) ikke behøver at bekymre os om, hvad b/a betyder i det tilfælde, hvor b = 1; for 1 divideret med a er jo det samme som det reciprokke tal til a.

For b = a giver (21) [samt loven om reciprokt tal], at

a: a = a·1/a = 1.   (24)

Bemærkning: Divisionsligningen 0·x = b har for b = 0 ethvert tal som løsning (jf. (2)), og for b ≠ 0 ingen løsning (jf. igen (2)). Derfor

7 Minus minus giver plus, osv.

Mange går rundt og husker på adskillige regneregler såsom minus minus giver plus [eventuelt forklaret ved, at en fjendes fjende er din ven, eller på en anden matematisk set fuldstændig uacceptabel måde], minus gange minus giver plus, man dividerer med en brøk ved at multiplicere med den omvendte, osv. Hvorfor sådanne regneregler gælder, er tit hyllet i mystikkens slør – de opfattes vist af de fleste som sådan er det bare-regler, og er derved medvirkende til, at mange opgiver at forstå matematikken. Årsagen til denne uheldige omstændighed er allerede omtalt i Bog 1, Afsnit 67: Regning med negative tal får egentlig først mening i forbindelse med den symbolske algebra.

Imidlertid kan også sådanne regneregler vises at være konsekvenser af de i rammen i Afsnit 3 nævnte grundlæggende regneregler – og disse regneregler er der forhåbentlig intet mystisk ved?!

Men vi er vel enige om, at formuleringer som minus minus giver plus ikke i sig selv er begrundelser, og at de ingen indsigt giver?

I dette afsnit vil vi omhyggeligt bevise mystiske regneregler som de ovennævnte.

Lad os først se på regnereglen, som siger, at minus minus giver plus? Hvad menes der egentlig med det? Ja, der er faktisk to muligheder. Enten tænkes på, at det for ethvert tal a gælder, at

-(−a) = a   (25)

[altså at det modsatte tal til -a er lig med a] eller på, at det for alle tal a og b gælder, at

a − (−b) = a + b   (26)

[altså at det modsatte tal til b subtraheret fra a er lig med summen af a og b]. Og disse to udsagn er begge sande [henholdsvis for alle tal a, og for alle tal a og b]. Gyldigheden af (25) følger af, at på den ene side betegnes det modsatte tal til -a jo pr. vedtægt -(−a); og på den anden side er a det tal, som adderet til -a giver 0, så derfor er a også det modsatte tal til -a

(26) kan bevises sådan: Vi har ud fra de grundlæggende regneregler bevist, at enhver subtraktionsligning har netop én løsning [Afsnit 6, Sætning 1]. Vi ved derfor pr. definition af subtraktion, at a – (−b) er løsningen til ligningen (−b) + x = a. For at have bevist, at a – (−b) = a + b behøver vi derfor blot at sikre, at (også) a + b er løsning til (−b) + x = a. Vi gør prøve:

(−b) + (a + b) = (−b) + (b + a) = ((−b) + b) + a = 0 + a = a;

altså er a + b lige som a – (−b) løsning til (−b) + x = a; og da denne ligning har netop én løsning, så gælder (

Ganske analogt med (26) gælder – og bevises [jf. Opgave 2B18] – for b ≠ 0, at

En anden huskeregel: minus gange minus giver plus fortæller – men begrunder jo på ingen måde – at

(−a)·(−b) = a·b.   (28)

Her er et bevis: Vi starter med at bevise et par andre nyttige resultater. Af

a·c + a·(b − c) =   [distributiv lov]

a·(c + (b − c)) =   [definition af subtraktion]

a·b

fremgår, at a·(b − c) er løsning til ligningen a·c + x = a·b; og da løsningen til denne ligning pr. definition af subtraktion er a·b − a·c, har vi dermed bevist, at der gælder

a·(b − c) = a·b − a·c.   (29)

Specielt finder vi ved at sætte b = 0 i (29), at

a·(−c) =   [ifølge (18)]

a·(0 − c) =   [ifølge (29)]

a·0 − a·c =   [ifølge (2)]

0 − a·c =   [ifølge (18)]

-(a·c).

Lad os fremhæve dette resultat. For alle tal a og b gælder som netop vist [vi har udskiftet c med b], at

a·(−b) = -(a·b).   (30)

Herefter finder vi:

(−a)·(−b) =   [ifølge (30)]

-((−a)·b) =   [kommutativ lov]

-(b·(−a)) =   [ifølge (30)]

-(−(b·a)) =   [ifølge (25)]

b·a =   [kommutativ lov]

a·b.

Hermed er (

Vi vil dernæst bevise, at der gælder [for b og d forskellige fra 0]:

Bevis: Pr. definition er a/b løsningen til b·x = a; lad os nu tænke på x som denne løsning – og altså ikke som en ubekendt. Og c/d er løsningen til d·y = c; lad os nu tænke på y som denne løsning – og altså ikke som en ubekendt. Ved multiplikation finder vi, at [vi benytter associativ og kommutativ lov for multiplikation]

a·c = (b·x)·(d·y) = (b·d)·(x·y),

hvoraf vi ser, at x·y er løsningen til ligningen (b·d)·z = a·c; og denne løsning er jo [pr. navngivningsvedtægt!] netop højresiden i (

Og så til påstanden om, at man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte. Faktisk formulerer og beviser vi noget langt mere generelt; thi påstanden refererer egentlig til, at a, b, c og d er hele tal [en kvotient a/b, hvor a og b ikke begge er hele tal, kaldes nemlig ikke en brøk]. Vi vil altså bevise, at det [for alle reelle tal a, b, c og d med b, c og d forskellige fra 0] gælder, at

Bevis: Pr. definition af division er venstresiden i (32) løsningen til ligningen

Vi behøver derfor blot at sikre os, at højresiden i (32) (også) er løsning til (33). At dette er tilfældet fremgår af følgende udregning:

8 Kvadratet på en toleddet størrelse m.m.

Vi vil her (på ny) illustrere, at der skal benyttes adskillige regneregler selv i forbindelse med en simpel udregning, hvis man kun udfører ét skridt ad gangen. Vi vil udregne kvadratet på en toleddet størrelse, dvs. vise, at der for alle tal a og b gælder:

(a