Introducció a la topologia (2ª ed.)

By Francisca Mascaró Bonnin, Juan Luis Monterde García-Pozuelo, Juan José Nuño Ballesteros and Rafael Sivera Villanueva

Este manual de Topología se ha concebido como un instrumento de trabajo para los estudiantes de matemáticas. Trata sobre espacios métricos, espacios topológicos y conceptos relacionados como son las propiedades de conexión, compacidad y integridad. El texto está lleno de ejemplos, ejercicios y figuras que tratan hacerlos más asimilable.

• Language: Català
• Publisher: Publicacions de la Universitat de València
• Release date: Oct 31, 2013
• ISBN: 9788437092102

Book preview

Capítol 0

Coneixements previs

0. Coneixements previs

En aquesta secció recollim alguns resultats genèrics que seria convenient conèixer per a una millor comprensió d’aquest llibre. Hi incloem també demostracions d’aquells que a parer nostre no s’han trobat abans.

0.1 Conjunts i aplicacions

Començarem fixant la notació d’alguns conjunts numèrics bàsics que suposarem coneguts. Així, el conjunt dels nombres naturals es denota per IN, el conjunt dels nombres enters es denota per , el dels racionals per i els corresponents sense el zero per IN , .

Suposem també una certa familiaritat amb el concepte intuïtiu de conjunt i les operacions bàsiques entre aquests, com la unió de conjunts o la intersecció d’una quantitat finita de conjunts.

A més a més, al llarg d’aquest llibre farem servir el concepte de família de conjunts. És, simplement, un conjunt els elements del qual són conjunts. Denotarem les famílies indistintament amb lletres cal·ligràfiques , , etc., o bé utilitzant subíndexs {Ui : i ∈ I}, {Ui}i∈I, {Vλ : λ ∈ Λ}, etc.

Definim la unió d’una família de conjunts com el conjunt format pels elements que pertanyen a algun conjunt de la família. És a dir,

o bé

Anàlogament, es defineix la intersecció com el conjunt format pels elements comuns a tots els conjunts de la família. És a dir,

o bé

És fàcil veure que compleixen la distributivitat d’una respecte a l’altra.

Propietat 0.1 Siga {Ui : i ∈ I} una família de conjunts. Llavors,

Recordeu que el complementari d’un subconjunt A de X és el conjunt de tots aquells elements del conjunt X que no pertanyen a A. El denotarem per X − A. És evident que el complementari del complementari és el mateix conjunt (X − (X − A) = A).

La relació dels complementaris amb la unió i la intersecció és donada per les dues lleis de Morgan.

Propietat 0.2 Siga {Ui : i ∈ I} una família de conjunts. Llavors,

Un altre concepte que emprarem és la diferència de dos conjunts A i B, A − B. Es defineix com el conjunt de tots els elements del conjunt A que no pertanyen al conjunt B, és a dir, A − B = A ∩ (X − B). Les lleis de Morgan també són certes per a la diferència. A més a més, és important destacar un parell de propietats.

Propietat 0.3 Per a qualssevol A i B es compleix que

Un concepte tan bàsic com el de conjunt i que també suposem conegut és el d’aplicacio entre conjunts. Una aplicacio entre els conjunts X i Y fa correspondre a cada element de X un i només un element de Y . De manera equivalent, una aplicacio, f : X → Y, és donada per un conjunt de parells ordenats, o siga un subconjunt Γf ⊆ X × Y, que anomenem gràfica de f. Aquest conjunt ha de complir que per a tot element x ∈ X existeix un únic element y ∈ Y tal que (x, y) ∈ Γf. Aquest y es denomina imatge de x per f i es denota per f(x).

Altres conceptes lligats al d’aplicacio son els d’imatge i imatge inversa d’un conjunt. Si A ⊆ X, la imatge de A, f(A), és el subconjunt de Y format per totes les imatges de tots els elements del conjunt A. O siga,

Si B ⊆ Y, la imatge inversa de B, f−1(B), és el subconjunt de X format per aquells elements tals que la seua imatge pertany a B. En símbols,

Quan y és un element de Y denotarem f−1(y) = f−1({y}). Però noteu que és un subconjunt de X i no un element.

Hi ha una altra qüestió que cal remarcar. El símbol f−1(B) és simplement una notació. No suposeu erròniament que el fet que aparega f−1 vol dir que l’aplicació f té una aplicació inversa, usualment denotada també per f−1.

Donem a continuació algunes de les relacions que es compleixen entre les imatges i imatges inverses de subconjunts.

Propietat 0.4 Siga f : X → Y una aplicació entre conjunts, A ⊆ X i B ⊆ Y . Llavors,

Noteu que aquestes inclusions no són igualtats en general. Un exercici que recomanem és cercar exemples on la inclusió siga estricta.

Veurem ara el comportament d’imatges i imatges inverses amb la unió i la intersecció de famílies.

Propietat 0.5 Siga f : X → Y una aplicació entre conjunts, Ai ⊆ X i Bi ⊆ Y per a tot i ∈ I. Llavors,

Hi ha també una relació entre imatges inverses de complementaris i complementaris d’imatges inverses.

Propietat 0.6 Siga f : X → Y una aplicació entre conjunts i B ⊆ Y . Llavors f−1(Y − B) = X − f−1(B).

No hi ha cap relació entre les imatges i els complementaris. Cerqueu-ne exemples.

Un tipus especial d’aplicacions que utilitzarem sovint són les successions. Una successió en X és una aplicació φ : IN → X. És costum denotar la successió per , on xn = φ(n). Un exemple de successió en IR és

Nota 0.7 És convenient distingir una successió del seu conjunt imatge. Una successió sempre té infinits termes, però el seu conjunt imatge pot no ser infinit. Per exemple, la successió {1, 0, 1, 0, . . .} té com a conjunt imatge {0, 1}.

L’última definició d’aquest apartat és la de subsuccessió d’una succession . Donada una aplicació estrictament creixent α : IN → IN , on α(k) = nk, definim la subsuccessió associada com la composició

és a dir, és la successió.

Exemple 0.8 1. La successió én una subsuccesió de .

2. Siga una successió, aleshores, subsuccessions seues són, , i si p ∈ IN , n’és també subsuccessió.

0.2 Numerabilitat

En tot aquest llibre utilitzarem alguns conceptes de cardinalitat de conjunts, en particular els de finitud i numerabilitat, que expressarem a continuació.

Per evitar considerar el conjunt buit com un cas a¨ıllat, suposarem que tots els conjunts són no buits. D’acord amb això, direm que un conjunt X és finit si existeix un nombre natural n i una aplicació bijectiva, φ : {1, 2, ..., n} → X. Direm que és infinit numerable si existeix una aplicació bijectiva, φ : IN → X. Direm que el conjunt X és numerable si és finit o infinit numerable (figura 0.1). En cas contrari, direm que el conjunt és infinit no numerable.

Figura 0.1

Evidentment, aquests conceptes es conserven per aplicacions bijectives, per tant el conjunt IN es pot substituir per IN. Per tal de provar les següents propietats ens serà convenient demostrar de primer la següent caracterització de conjunts numerables.

Propietat 0.9 Un conjunt X és numerable si i només si existeix una aplicació suprajectiva φ : IN → X.

Nota 0.10 Aquesta propietat pot interpretar-se així: un conjunt X és numerable si existeix una successió tal que el seu conjunt imatge és tot X.

Vegem com es poden demostrar algunes propietats de numerabilitat que generalitzen propietats conegudes de finitud. Les demostracions les podem fer utilitzant la definició o bé la propietat anterior.

Propietat 0.11 Si X és numerable i S és un subconjunt de X, aleshores S és numerable.

Demostració. Pel fet de ser X numerable, existeix una aplicació suprajectiva, φ : IN → X. Definim l’aplicació ψ : X → S, que és la identitat sobre els elements de S i envia els elements que no pertanyen a S a un element fix de S. Evidentment, ψ és suprajectiva i per tant, la composició, ψ ○ φ : IN → S, és una aplicació suprajectiva i S és numerable.          

Per demostrar propietats un poc més interessants de conjunts numerables és crucial la següent observació.

Lema 0.12 El conjunt IN × IN és numerable.

Demostració. Construïm una aplicació suprajectiva θ : IN → IN × IN definida per θ(n) = (m − k, k), on m és l’únic nombre natural tal que

i (figura 0.2).

És clar que l’aplicació així definida és bijectiva, amb la qual cosa IN × IN és numerable.          

Amb una fàcil inducció es comprova aleshores el resultat següent.

Figura 0.2

Corol·lari 0.13 Per a tot n ∈ IN, INn és numerable.

Amb aquest resultat és fàcil provar que la numerabilitat es conserva per unions numerables.

Propietat 0.14 Siga I un conjunt numerable d’índexs, i per a cada i ∈ I siga Si un conjunt numerable. Llavors, S = i∈I Si és numerable.

Demostració. Pel fet de ser Si numerable, per a cada i existeix φi : IN → Si una aplicació suprajectiva. Aleshores, l’aplicació

donada per φ(i, n) = φi(n), també és suprajectiva.

Pel fet de ser I numerable, existeix ψ : IN → I una aplicació suprajectiva. Siga θ : IN → IN × IN l’aplicació suprajectiva del lema anterior (0.12). Llavors, la composició

és una aplicació suprajectiva, on Id denota l’aplicació identitat. Per tant, S és numerable.     

Corol·lari 0.15 El conjunt dels nombres enters, , és numerable.

Demostració. Evidentment, tant el conjunt dels enters positius com el dels enters negatius són infinits numerables. Per la propietat anterior (0.14) també ho és , que és la seua unió.

Vegem que la numerabilitat també es conserva per productes finits.

Propietat 0.16 Siguen Si conjunts numerables per a i = 1, 2, ...n. Llavors,

és numerable

Demostració. Siguen φi : IN → Si les aplicacions suprajectives que existeixen com a conseqüència de la caracterització de numerabilitat. Siga θn : IN → INn l’aplicació suprajectiva de 0.13. Llavors, la composició

és una aplicació suprajectiva.     

Corol·lari 0.17 El conjunt dels nombres racionals, , és numerable.

Demostració. Per la propietat anterior, el conjunt és infinit numerable i, evidentment, pot ser considerat un subconjunt d’aquest mitjançant la representació irreductible de cada fracció; per tant, és numerable.          

0.3 Els nombres reals

En aquest apartat enunciarem les propietats dels nombres reals que emprarem al llarg del text. Suposem coneguda l’existència del conjunt de nombres reals, que denotarem per IR.

En IR tenim dues operacions internes, la suma i el producte, que compleixen les propietats de commutativitat, associativitat, existència d’element neutre per a la suma (el 0) i per al producte (l’1). Cadascun dels nombres reals té invers respecte a la suma, i tots els de IR = IR − {0} tenen invers respecte al producte. També el producte és distributiu respecte a la suma. Aquestes propietats es resumeixen dient que IR és un cos commutatiu.

Per definir l’ordre en IR, dividim IR en la unió disjunta dels nombres positius i negatius. Ara diguem

Aquesta definició dóna un ordre en IR.

Recordeu, a més a més, que la relació d’ordre ≤ es conserva mitjançant la suma, és a dir, per a qualssevol nombres reals a, b, x, y, si a ≤ x i b ≤ y llavors

Noteu que la relació d’ordre no es conserva mitjançant la diferència.

També conserva la relació el producte per nombres positius, i la relació s’inverteix si fem el producte per nombres negatius. O siga, si a, x són nombres reals qualssevol tals que a ≤ x, llavors ab ≤ xb si b és positiu i ab ≥ xb si b és negatiu. Aquestes propietats es resumeixen dient que IR és un cos ordenat.

Amb la relació d’ordre, podem definir subconjunts interessants dels nombres reals que denominem intervals, tant fitats

com no fitats

Els intervals donen el primer exemple de conjunts no numerables.

Propietat 0.18 L’interval ]0, 1[ no és numerable.

Demostració. Com és ben conegut, tot nombre real admet una única expressió decimal, tret d’aquells que tenen un desenvolupament decimal finit. Per a aquests triem la forma .0200000... en lloc de .0199999...

Suposem que ]0, 1[ és numerable. Tenim llavors que existeix una successió, , tal que la seua imatge és ]0,1[.

Construirem un nombre real entre 0 i 1 que no podrà ser cap xn. El nombre real es construeix prenent com a part entera 0 i com a decimal n-èsim un nombre entre 0 i 8 que no siga el decimal n-èsim de xn. Evidentment és un nombre real entre 0 i 1 ben definit i no pot ser igual a cap xn ja que els seus desenvolupaments decimals són diferents en el lloc n-èsim.          

En conseqüència, tot conjunt que conté ]0, 1[ és no numerable. En particular, ho és IR.

Una altra propietat molt característica de la relació d’ordre en els nombres reals és la propietat arquimediana, que té molts enunciats equivalents. A continuació en donem dos dels més coneguts.

Propietat 0.19 Per a qualsevol nombre real positiu > 0 existeix un nombre natural n ∈ IN tal que

Corol·lari 0.20 Per a qualsevol parell de nombres reals tals que x < y, podem trobar sempre un nombre racional que satisfà x < q < y.

La darrera propietat important de la relació d’ordre dins els nombres reals és l’existència d’ínfim dels conjunts fitats inferiorment. Per enunciar-la fan falta unes definicions prèvies que són vàlides per a qualsevol conjunt ordenat.

Per a tot conjunt de nombres reals, S ⊆ IR, diem que el nombre real c n’és una fita inferior si és menor o igual que tots els elements de S, o siga, per a tot x ∈ S, c ≤ x. (Igualment, C n’és una fita superior si per a tot x ∈ S, x ≤ C). El conjunt S s’anomena fitat inferiorment si té alguna fita inferior; fitat superiorment, si admet una fita superior i fitat, si ho és, alhora, inferiorment i superiorment.

Diem que a és l’ínfim (o extrem inferior) d’un conjunt de nombres reals S (i designem a = inf (S)) si és la major de les fites inferiors. Igualment, anomenarem suprem (o extrem superior) la menor de les fites superiors.

Nota 0.21 Com en el cas de famílies de conjunts, a vegades resulta còmode expressar el conjunt S utilitzant subíndexs, per exemple {xi : i ∈ I}.

Estudiarem només les propietats de l’ínfim, ja que el cas del suprem és dual.

Perquè un nombre a siga ínfim d’un conjunt S, s’han de complir dues condicions:

1.  N’ha de ser fita inferior, és a dir, per a tot x ∈ S, ha de complir-se que a ≤ x.

2.  Ha de ser la major de les seues fites inferiors. És a dir, si c compleix que per a tot x ∈ S, c ≤ x, llavors c ≤ a. (Noteu que aquesta propietat es compleix trivialment si a ∈ S).

Aquesta segona propietat és a vegades difícil de comprovar, però per als nombres reals existeix una caracterització conseqüència de la següent propietat essencial dels nombres reals.

Propietat 0.22 Siga S un conjunt de nombres reals fitat inferiorment. Aleshores, el conjunt S té ínfim.

D’aquesta propietat dedu¨ım la caracterització següent.

Propietat 0.23 Siga S un conjunt de nombres reals i a una fita inferior. Llavors, a n’és l’ínfim si i només si per a tot > 0 existeix un x ∈ S tal que a ≤ x < a+ .

Demostració. Si a és l’ínfim de S, donat un > 0, a + no pot ser fita inferior de S ja que és major estrictament que a. Per tant, existeix un x ∈ S tal que a ≤ x < a + . Recíprocament, siga a una fita inferior de S i que compleix la propietat. Atès que S és un conjunt de nombres reals fitat inferiorment, existeix el seu ínfim, que anomenarem a′. Si no és a, prenem = a′− a > 0. Per hipòtesi, existeix un x ∈ S tal que a ≤ x < a + = a′, la qual cosa contradiu que a′ és fita inferior.