カルマンフィルター: 基礎と応用

By Fouad Sabry

カルマン フィルターとは

統計ノイズやその他の不正確さを含む、時間の経過とともに観察される一連の測定値を使用するアルゴリズム。カルマン フィルターは、線形二次推定 ( LQE) を使用して、時間枠ごとに変数の同時確率分布を推定することにより、単一の測定値のみに基づく推定値よりも正確になる傾向にある未知の変数の推定値を生成します。 これは、各時間枠の変数にわたる同時確率分布を推定することによって実現されます。 フィルターの背後にある理論の開発に大きく貢献した Rudolf E. K?lm?n がデバイスの命名を授与されました。

メリット>

(I) 次のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: カルマン フィルター

第 2 章: 加重算術平均

第 3 章: 多変量確率変数

第 4 章: 共分散

第 5 章: 共分散行列

第 6 章: 期待値?最大化アルゴリズム

第 7 章: 最小平均二乗誤差

第 8 章: 再帰的最小二乗フィルタ

第 9 章: 線形?二次?ガウス制御

第 10 章: 拡張 カルマン フィルター

(II) カルマン フィルターに関する一般のよくある質問に答える。

(III) 多くの分野でのカルマン フィルターの実際の使用例。

(IV) カルマン フィルターのテクノロジーを 360 度完全に理解できるように、各業界の 266 の新興テクノロジーを簡潔に説明する 17 の付録。

この本の対象者

専門家、大学生および大学院生、愛好家、趣味人、およびあらゆる種類のカルマン フィルターに関する基本的な知識や情報を超えたいと考えている人。

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Jun 27, 2023

Book preview

第1章:関連項目 ビタビアルゴリズム 隠れマルコフモデル EMアルゴリズム 最尤 音声認識 バイオインフォマティクス 暗号解読 参考文献 ^ ラビナー、ローレンス。「直接:隠されたマルコフモデル」。IEEEグローバルヒストリーネットワーク。取得 10月2日 2013.^ イェリネク, フレデリック;バール、ラリットR。マーサー、ロバートL.(1975年5月)。連続音声認識のための言語統計デコーダの設計.情報理論に関するIEEEトランザクション。21 (3): 250–6.DOI: 10.1109/tit.1975.1055384.^ ビショップ, マーティンJ.;トンプソン、エリザベスA.(1986年7月20日)。「DNA配列の最尤アライメント」。分子生物学ジャーナル。190 (2): 159–65.DOI: 10.1016/0022-2836(86)90289-5.PMID 3641921。^ ダービン、リチャード(1998年4月23日)。生物学的配列解析:タンパク質と核酸の確率モデル。ケンブリッジ大学出版局。 ISBN 978-0-521-62041-3.^ ビルメス、ジェフA.(1998)。EMアルゴリズムとそのガウス混合モデルと隠れマルコフモデルのパラメータ推定への応用の穏やかなチュートリアル。カリフォルニア州バークレー:国際コンピュータサイエンス研究所。7〜13ページ。^ ラビナー, ローレンス (1989年2月).「音声認識における隠れマルコフモデルと選択されたアプリケーションに関するチュートリアル」 (PDF)。IEEEの議事録。2019年11月29日閲覧。^ バウム・ウェルチとHMMの申請 (PDF).ジョンズホプキンスブルームバーグ公衆衛生大学院。2019年10月11日閲覧。^ フラッツォーリ, エミリオ.「隠れマルコフモデルの紹介:バウムウェルチアルゴリズム」 (PDF)。マサチューセッツ工科大学航空宇宙工学。取得 10月2日 2013.^ ベイカー、ジェームズK.(1975)。「ドラゴンシステム—概要」。音響、音声、および信号処理に関するIEEEトランザクション。23: 24–29.DOI: 10.1109/TASSP.1975.1162650.^ ラビナー, ローレンス (1989年2月).「隠れマルコフモデルと音声認識における選択されたアプリケーションに関するチュートリアル」。IEEEの議事録。77 (2): 257–286.引用SeerX 10.1.1.381.3454。DOI: 10.1109/5.18626.S2CID 13618539。^ 徳田, 圭一;吉村, 孝義;益子, タカシ;小林, 隆夫;北村正 (2000).HMMに基づく音声合成のための音声パラメータ生成アルゴリズム.音響、音声、および信号処理に関するIEEE国際会議。3. ^ ディンゲル, ジャニス;ハーゲナウアー、ヨアヒム(2007年6月24日)。雑音観測からの畳み込みエンコーダのパラメータ推定.情報理論に関するIEEE国際シンポジウム。^ ライト, チャールズ;バラード、ルーカス;コール、スコット;モンローズ、ファビアン;マッソン、ジェラルド(2008)。「可能であれば私を見つけてください:暗号化されたVoIP会話で話されたフレーズを明らかにする」.セキュリティとプライバシーに関するIEEE国際シンポジウム。^ ブラムリー, ボブ;ハカラ、リスト(2009)。キャッシュタイミングテンプレート攻撃。暗号化の進歩。コンピュータサイエンスの講義ノート。5912巻。667〜684ページ。DOI: 10.1007/978-3-642-10366-7_39.ISBN 978-3-642-10365-0.^ ザルツベルク, スティーブン;デルチャー、アーサーL。カシフ、サイモン;ホワイト、オーウェン(1998)。補間マルコフモデルを用いた微生物遺伝子同定.核酸研究。26 (2): 544–548.DOI: 10.1093/nar/26.2.544.PMC 147303。PMID 9421513。^ グリマー:微生物遺伝子発見システム.ジョンズホプキンス大学-計算生物学センター。^ デルチャー, アーサー;ブラトケ、キルステンA.;パワーズ、エドウィンC.;ザルツバーグ、スティーブンL.(2007)。グリマーによる細菌遺伝子と内部共生DNAの同定.バイオインフォマティクス。23 (6): 673–679.DOI: 10.1093/バイオインフォマティクス/BTM009.PMC 2387122。PMID 17237039。^ バージ、クリストファー。「MITのGENSCAN Webサーバー」。からアーカイブ オリジナル 2013年9月6日。取得 10月2日 2013.^ バージ, クリス;カーリン、サミュエル(1997)。「ヒトゲノムDNAにおける完全な遺伝子構造の予測」。分子生物学ジャーナル。268 (1): 78–94.引用SeerX 10.1.1.115.3107。DOI: 10.1006/jmbi.1997.0951.PMID 9149143。^ バージ, クリストファー;カーリン、サミュエル(1998)。「ゲノムDNAの遺伝子を見つける」。構造生物学における現在の意見。8 (3): 346–354.DOI: 10.1016/s0959-440x(98)80069-9.PMID 9666331。^ コーベル, 1月;アーバン、アレクサンダー;グルーバート、ファビアン;ドゥ、ジャン;ロイス、トーマス;スター、ピーター;中、国能;エマニュエル、ビバリー;ワイスマン、シャーマン;スナイダー、マイケル;ゲルシュタイン、マーグ(2007年6月12日)。ヒトゲノムのコピー数変異に関連するブレークポイントの体系的な予測と検証.アメリカ合衆国科学アカデミーの議事録。104 (24): 10110–5.文献コード:2007PNAS.10410110K. doi: 10.1073/pnas.0703834104.PMC 1891248。PMID 17551006。外部リンク バイオインフォマティクスにおけるHMMの方法とソフトウェアの包括的なレビュー–プロファイル 隠れマルコフモデル バウムによる初期のHMM出版物:マルコフ連鎖の確率関数の統計解析における最大化手法 マルコフ過程の確率関数の統計的推定と生態学モデルへの応用による不等式 有限状態マルコフ連鎖の確率関数の統計的推論 ウェルチによるシャノン講演、 これは、アルゴリズムを効率的に実装する方法を語っています:隠れマルコフモデルとバウムウェルチアルゴリズム、IEEE情報理論学会ニュースレター、2003年12月。バウム・ウェルチアルゴリズムの代替として、ビタビ経路計数アルゴリズム:デイビス、リチャードI.A.;ラヴェル、ブライアンC.;学習とテストと条件番号の基準を用いたHMMアンサンブル学習アルゴリズムの比較と評価, パターン分析と応用, vol. 6, no. 4, pp. 327–336, 2003.順方向/後方アルゴリズムを教えるためのインタラクティブなスプレッドシート(ステップバイステップのチュートリアルを含むスプレッドシートと記事) バウム・ウェルチアルゴリズムの形式的導出 バウム・ウェルチアルゴリズムの実装

{第 1 章終了}

第 2 章: 加重算術平均

加重算術平均は、通常の算術平均 (最も一般的な種類の平均) と同じですが、すべてのデータ ポイントが等しく寄与するのではなく、特定のデータ ポイントが他のデータ ポイントよりも最終平均に大きく寄与する点が異なります。記述統計学は加重平均の概念を利用しており、これは他の多くの数学分野でもより一般的な意味で現れます。

すべての重みが同一の場合、加重平均は算術平均と同等です。重み付き平均は通常、算術平均と同様に機能しますが、シンプソンの難問に見られるように、特定の予期しない特性があります。

2つの学校のクラス(1つは20人の生徒、もう1つは30人の生徒)と、各クラスのテストの成績は次のとおりです。

62、67、71、74、76、77、78、79、81、82、83、84、86、89、93、98は午前のクラスの番号です。

次の番号が午後のクラスを構成します:81、82、83、84、85、86、87、88、89、90、90、90、90、90、91、92、93、93、94、95、96、97、98、および99。

午前のクラスの平均は80で、午後のクラスの平均は90です。2つの平均の重み付けなし平均は85です。ただし、スコア85は、各クラスの生徒数の変動(20対30)を考慮していないため、生徒の平均成績を表すものではありません。(クラスとは無関係)。クラスに関係なく、すべての成績を平均することにより、平均的な学生の成績を見つけることができます(すべての成績を合計し、学生の総数で割ります)。

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {4300}{50}}=86.}

または、各クラスの生徒数に応じてクラスの平均を比較検討することでこれを行うこともできます。より大きなクラスには、より多くの「重み」が与えられます。

{\bar {x}}={\frac {(20\times 80)+(30\times 90)}{20+30}}=86.

したがって、加重平均のおかげで、各学生のスコアを知らなくても、平均学生平均成績を決定することが可能です。必要なのは、クラスの平均と各クラスの生徒数だけです。

加重平均は、相対的な重みのみが重要であるため、合計が 1 になる係数を使用して記述できます。凸の組み合わせは、そのような線形の組み合わせに付けられた名前です。

前の例を適用すると、次の重みが得られます。

{\displaystyle {\frac {20}{20+30}}=0.4}{\displaystyle {\frac {30}{20+30}}=0.6}

その後、次のように重みを適用します。

{\displaystyle {\bar {x}}=(0.4\times 80)+(0.6\times 90)=86.}

正式には、対応する非負の重みを持つ {\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)} データの空でない有限タプルの加重平均 {\displaystyle \left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)} は

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}},}

これは次のように広がります。

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}.}

その結果、重みが低いデータよりも重みが高いデータのコンポーネントは、加重平均に大きく貢献します。重みが負の場合、式は有効ではない可能性があります。一部は0かもしれませんが、すべてではありません(ゼロ除算は許可されていないため)。

重みを正規化して合計が1になると、計算が簡単になります。 {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}

このような正規化された重みを使用する場合、加重平均に匹敵します。

{\displaystyle {\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}} .

重みは、開始重みに対して次の変換を実行することで常に正規化できます。

{\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}} .

通常の {\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}} 平均は、すべてのデータの重みが等しい加重平均の特殊なケースです。

データ要素が独立し、分散を伴う同一分布の確率変数である場合、 \sigma ^{2} 標準化加重平均誤差は、 {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}} 不確実性伝播を使用して次のことを行うことで実証できます。

{\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}}}}

各要素が既知の分散を持つ異なる確率分布に由来する可能性のある x_{i} データのリストの加重平均の場合 \sigma_i^2 、すべてが平均で等しい場合、分散の逆数は重みの1つのオプションを提供します。

{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}.}

この場合、加重平均は次のようになります。

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\dfrac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}{\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}\cdot w_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}