O Livro da Matemática: Volume 1

By Simone Malacrida

A maioria da matemática é apresentada neste livro, a partir dos conceitos básicos e elementares para investigar as áreas mais complexas e avançadas.
A matemática é abordada tanto do ponto de vista teórico, dos teoremas e das definições de cada tipo específico quanto em um nível prático, continuando a resolver mais de 1.000 exercícios.
A abordagem da matemática é dada pelo conhecimento progressivo, expondo os vários capítulos em uma ordem lógica para que o leitor possa construir um caminho contínuo no estudo dessa ciência.
O livro inteiro é dividido em três seções distintas: matemática elementar, a matemática avançada dada pela análise e geometria e, finalmente, a parte relativa a estatísticas, álgebra e lógica.
A escrita é um trabalho com tudo incluído em relação à matemática, deixando de fora nenhum aspecto das muitas facetas que ele pode assumir.

• Language: English
• Publisher: Simone Malacrida
• Release date: Feb 12, 2023
• ISBN: 9798215382875

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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O Livro da Matemática: Volume 1

SIMONE MALACRIDA

A maior parte da matemática é apresentada neste livro, começando com os conceitos básicos e elementares para investigar as áreas mais complexas e avançadas.

A matemática é abordada tanto do ponto de vista teórico, expondo teoremas e definições de cada tipo particular, quanto do ponto de vista prático, passando a resolver mais de 1.000 exercícios.

A abordagem da matemática se dá pelo conhecimento progressivo, expondo os diversos capítulos em uma ordem lógica para que o leitor possa construir um caminho contínuo no estudo daquela ciência.

O livro inteiro é dividido em três seções distintas: matemática elementar, matemática avançada dada pela análise e geometria e, finalmente, a parte relativa à estatística, álgebra e lógica.

A escrita se destaca como um trabalho abrangente sobre matemática, não deixando de fora nenhum aspecto das muitas facetas que ela pode assumir.

Simone Malacrida (1977)

Engenheiro e escritor, trabalhou em pesquisa, finanças, política energética e plantas industriais.

ÍNDICE ANALÍTICO

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INTRODUÇÃO _ _ _

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PRIMEIRA PARTE: MATEMÁTICA ELEMENTAR

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1 – LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAR

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2 – OPERAÇÕES ARITMÉTICAS ELEMENTARES

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3 – TEORIA DE CONJUNTOS

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4 – CÁLCULO LITERAL

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5 – GEOMETRIA PLANA EUCLIDEANA

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6 – GEOMETRIA EUCLIDEANA DOS SÓLIDOS

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7 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ALGEBRAICAS

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8 – GEOMETRIA ANALÍTICA ELEMENTAR

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9 – FUNÇÕES GONIOMÉTRICAS E TRIGONOMETRIA

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10 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E HIPERBÓLICAS

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11 – TEORIA DAS FUNÇÕES

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12 – NÚMEROS COMPLEXOS

SEGUNDA PARTE : ANÁLISE MATEMÁTICA, ANÁLISE FUNCIONAL E GEOMETRIA AVANÇADA

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13 – TOPOLOGIA GERAL

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14 - LIM I T S

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15 – FUNÇÕES CONTÍNUAS

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16 – CÁLCULO DO DIFERENCIAL

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17- CÁLCULO INTEGRAL

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18 – ESTUDO DE FUNÇÕES DE VARIÁVEIS REAIS

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19 – SUCESSÃO E SÉRIES NUMÉRICAS

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20 – SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES

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21 – SÉRIE POWER, TAYLOR E FOURIE R

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22 – V ETORES E MATEMÁTICA VETORIAL

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23 – MATRIZES E MATRIX MATEMÁTICA

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24 – GEOMETRIA ANALÍTICA AVANÇADA

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25 – GEOMETRIA NÃO EUCLIDEANA

INTRODUÇÃO

Na sociedade atual, a matemática é a base da maioria das disciplinas científicas e técnicas, como física, química, engenharia de todos os setores, astronomia, economia, medicina, arquitetura.

Além disso, os modelos matemáticos regem a vida quotidiana, por exemplo no setor dos transportes, na gestão e distribuição de energia, nas comunicações telefónicas e televisivas, na previsão meteorológica, no planeamento da produção agrícola e na gestão de resíduos, na definição dos fluxos monetários, na codificação de plantas industriais e assim por diante, já que as aplicações práticas são quase infinitas.

Portanto, a matemática é um dos fundamentos fundamentais para a formação de uma cultura contemporânea de cada indivíduo e fica claro tanto nos programas escolares que introduzem, desde os primeiros anos, o ensino da matemática, quanto na estreita relação entre o aprendizado proveitoso de matemática e o desenvolvimento social e econômico de uma sociedade.

Esta tendência não é nova, pois é consequência direta daquela revolução ocorrida no início do século XVII, que introduziu o método científico como a principal ferramenta para descrever a Natureza e cujo ponto de partida foi dado justamente pela consideração de que a matemática poderia ser a pedra angular para compreender o que nos rodeia.

A grande força da matemática reside em pelo menos três pontos distintos.

Em primeiro lugar, graças a ela é possível descrever a realidade em termos científicos, ou seja, prever alguns resultados antes mesmo de ter a experiência real.

Prever resultados também significa prever as incertezas, erros e estatísticas que necessariamente surgem quando o ideal da teoria é trazido para a prática mais extrema.

Em segundo lugar, a matemática é uma linguagem que possui propriedades únicas.

É artificial, construído por seres humanos.

Existem outras línguas artificiais, como o alfabeto Morse; mas a grande diferença da matemática é que ela é uma linguagem artificial que descreve a Natureza e suas propriedades físicas, químicas e biológicas.

Isso o torna superior a qualquer outra linguagem possível, pois falamos a mesma linguagem do Universo e suas leis. Nesta conjuntura, cada um de nós pode trazer suas próprias ideologias ou crenças, sejam seculares ou religiosas.

Muitos pensadores destacaram como Deus é um grande matemático e como a matemática é a linguagem preferida para se comunicar com essa entidade superior.

A última propriedade da matemática é que ela é uma linguagem universal. Em termos matemáticos, a Torre de Babel não poderia existir.

Todo ser humano que possui alguns rudimentos de matemática sabe muito bem o que se entende por alguns símbolos específicos, enquanto tradutores e dicionários são necessários para entender uns aos outros com palavras escritas ou discursos orais.

Sabemos muito bem que a linguagem é a base de todo conhecimento.

O ser humano aprende, nos primeiros anos de vida, uma série de informações básicas para o desenvolvimento da inteligência, justamente por meio da linguagem.

O cérebro humano se distingue justamente por essa peculiaridade específica de articular uma série de linguagens complexas e isso nos deu todas as conhecidas vantagens sobre qualquer outra espécie do reino animal.

A linguagem também é um dos pressupostos do conhecimento filosófico, especulativo e científico e Gadamer destacou isso, de forma inequívoca e definitiva.

Mas há uma terceira propriedade da matemática que é muito mais importante.

Além de ser uma linguagem artificial e universal que descreve a Natureza, a matemática é propriamente a resolução de problemas , portanto é a concretude tornada ciência, pois o homem sempre teve como objetivo resolver os problemas que o afligem.

Para tirar as últimas dúvidas sobre o assunto, convém relatar alguns exemplos concretos referentes a milênios atrás.

A descoberta dos números irracionais feita por Pitágoras, sobretudo o pi e a raiz quadrada, não foi mera especulação teórica.

Na base desse simbolismo matemático estava a resolução de dois problemas muito concretos.

Por um lado, como as casas tinham planta quadrada, a diagonal interna tinha que ser calculada exatamente para minimizar o desperdício de material na construção das paredes, por outro, pi era a ligação matemática entre as distâncias retas e curvilíneas, como o raio de uma roda e sua circunferência.

Diante de problemas concretos, o intelecto humano inventou essa linguagem matemática cuja propriedade é justamente a de resolver problemas descrevendo a Natureza.

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A primeira parte deste livro tem o propósito expresso de fornecer os rudimentos da matemática elementar, isto é, de toda aquela parte da matemática anterior à introdução da análise matemática.

As noções e conceitos expostos nesta parte eram, em parte, já conhecidos na antiguidade (na época dos gregos, por exemplo), principalmente no que diz respeito à parte da lógica elementar, juntamente com as operações elementares e as relações geométricas.

Os restantes capítulos da primeira parte descrevem os conhecimentos adquiridos pela humanidade ao longo dos séculos, em particular após a grande explosão de pensamento ocorrida no Renascimento, até finais do século XVII.

Este limite é considerado como uma demarcação entre a matemática elementar e avançada, precisamente porque a análise matemática, introduzida no final do século XVII por Newton e Leibnitz, permitiu o salto qualitativo para novos horizontes e para a descrição real da Natureza em termos matemáticos.

Justamente por isso, embora cada parágrafo constitua em si um tópico completo, a exposição dos tópicos segue uma ordem lógica, permitindo a progressão contínua do conhecimento com base no que foi aprendido anteriormente.

A primeira parte do livro coincide, mais ou menos, com o que se ensinava até ao final do liceu (só para os liceus científicos, com o fim do quarto ano e não do quinto).

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A segunda parte do livro fornece todos os fundamentos da matemática avançada, abrangendo tanto a grande disciplina da análise matemática quanto todos os campos díspares que surgiram nos últimos dois séculos, incluindo, para mencionar apenas alguns deles, o diferencial e geometria fractal, geometrias não euclidianas, topologia algébrica e análise funcional.

Quase todas essas noções foram desenvolvidas após a introdução do formalismo da análise matemática no final do século XVII e, desde então, o caminho da matemática sempre continuou em paralelo entre este setor e todas as outras possíveis subdisciplinas que gradualmente lado a lado e seguiram caminhos independentes.

Resta entender por que a análise matemática introduziu esse divisor de águas entre a matemática elementar e a avançada.

Há duas áreas que se complementam nesse discurso.

Por um lado, só com a introdução da análise matemática foi possível descrever, com um formalismo adequado, as equações que regem os fenómenos naturais, sejam eles físicos, químicos ou de outra extracção, por exemplo sociais ou económicos.

Em outras palavras, a análise matemática é a principal ferramenta para construir esses mecanismos que nos permitem prever resultados, projetar tecnologias e pensar em novas melhorias a introduzir.

Por outro lado, a análise matemática possui, dentro de sua própria natureza, uma peculiaridade específica que a distingue claramente da matemática elementar anterior.

Prevê considerações locais, não exclusivamente pontuais.

Apenas a passagem da pontualidade à localidade permitirá construir um discurso de globalidade, indo muito além do conhecível anterior.

Esta parte apresenta conceitos geralmente abordados no nível universitário em vários cursos de análise e geometria.

Na terceira parte do livro serão expostos tópicos de interesse geral que podem ser separados da análise matemática, como álgebra avançada, estatística e lógica avançada.

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Cada capítulo do livro pode ser considerado como um campo completo da matemática em si, mas somente analisando todos os tópicos será possível tocar na vastidão da matemática e é por isso que a ordem dos capítulos reflete uma contínua sucessão de conhecimento para progredir.

Na verdade, a matemática tem uma amplitude quase ilimitada de setores e aplicações.

Não há ciência que prescinda de conceitos matemáticos e não há aplicação que não tenha emprestado noções matemáticas e as tenha feito evoluir com linguagens particulares.

Assim nasceram muitas disciplinas e muitas teorias não apresentadas neste livro, citando apenas alguns exemplos podemos incluir teoria dos jogos e matemática financeira no campo econômico, as aplicações da teoria de grupos e álgebra avançada para física teórica e partículas elementares, a evolução do cálculo de tensores para problemas em cosmologia e astrofísica.

Por esta razão, este livro, embora muito vasto, certamente não é completo e abrangente.

São mais de 1.000 exercícios feitos, mas o número de possíveis problemas e exercícios é quase ilimitado.

Além disso, em todo o livro não há provas de teoremas que sobrecarregariam ainda mais o volume e a compreensão.

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A evolução da matemática aplicada a disciplinas e tecnologias individuais levou a ramificações extremas e a uma evolução contínua que continua até hoje.

Isso tem uma consequência importante: a matemática é uma ciência viva, contemporânea e futura e não é relegada a um papel histórico.

O que foi dito não se aplica apenas às inúmeras aplicações, mas também à matemática pura, ou seja, aos problemas matemáticos apresentados neste manual.

Fazendo um historicismo sobre as noções e os resultados expressos, pode-se perceber claramente como algumas suposições e algumas demonstrações são muito recentes (um exemplo acima de tudo é a demonstração da conjectura de Poincaré), ou seja, ocorreram no século XXI.

Não é por acaso que existem prêmios para a resolução de problemas ainda em aberto e que são históricos, como as famosas questões de Hilbert do início do século XX, e muito modernos em relação ao cálculo computacional, lógica, complexidade e teoria do caos, bem como como conceitos geométricos e algébricos.

Sendo uma ciência viva, tal como uma linguagem universal, a matemática é continuamente enriquecida com novas palavras e novos constructos e é por isso que o que se apresenta neste livro é apenas um trampolim para conhecimentos cada vez mais avançados e específicos.

Aceitar o desafio de escrever um novo capítulo ou um único capítulo nesta envolvente história da única linguagem artificial universal que descreve a Natureza faz parte da evolução da nossa espécie e é por isso que cada um de nós é chamado a participar dela.

PRIMEIRA PARTE: MATEMÁTICA ELEMENTAR

1

LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAR

Introdução

A lógica matemática lida com a codificação, em termos matemáticos, de conceitos intuitivos relacionados ao raciocínio humano.

É o ponto de partida para qualquer processo de aprendizagem matemática e, por isso, faz todo o sentido expor as regras elementares desta lógica no início de todo o discurso.

Definimos um axioma como uma afirmação assumida como verdadeira porque é considerada auto-evidente ou porque é o ponto de partida de uma teoria.

Os axiomas lógicos são satisfeitos por qualquer estrutura lógica e são divididos em tautologias (afirmações verdadeiras por definição desprovidas de novo valor informativo) ou axiomas considerados verdadeiros independentemente, incapazes de demonstrar sua validade universal.

Axiomas não lógicos nunca são tautologias e são chamados de postulados.

Ambos os axiomas e postulados são improváveis.

Geralmente, os axiomas que fundam e iniciam uma teoria são chamados de princípios.

Um teorema, por outro lado, é uma proposição que, partindo de condições iniciais (chamadas de hipóteses), chega a conclusões (chamadas de teses) por meio de um procedimento lógico chamado demonstração.

Teoremas são, portanto, demonstráveis por definição.

Outras afirmações prováveis são os lemas que geralmente precedem e dão a base de um teorema e os corolários que, ao invés disso, são conseqüentes à demonstração de um dado teorema.

Uma conjectura, por outro lado, é uma proposição considerada verdadeira graças a considerações gerais, intuição e bom senso, mas ainda não demonstrada na forma de um teorema.

Simbologia

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A lógica matemática faz com que os símbolos intervenham, os quais retornarão em todos os campos individuais da matemática. Esses símbolos são variados e pertencem a diferentes categorias.

A igualdade entre dois elementos matemáticos é indicada com o símbolo de , se ao invés esses elementos forem diferentes entre si o símbolo de desigualdade é dado por .

No campo geométrico também é útil introduzir o conceito de congruência, assim indicado, e de semelhança .

Em matemática, a proporcionalidade também pode ser definida, denotada por .

Em muitos casos, conceitos matemáticos e geométricos devem ser definidos, o símbolo de definição é este .

Por fim, a negação é dada por uma barra acima do conceito lógico.

Depois, há símbolos lógicos quantitativos que correspondem a conceitos linguísticos. A existência de um elemento é indicada assim , a unicidade do elemento assim , enquanto a frase para cada elemento é transcrita assim .

Outros símbolos referem-se a lógicas de ordenação, ou seja, à possibilidade de listar os elementos individuais de acordo com critérios quantitativos, introduzindo informações muito além do conceito de desigualdade.

Se um elemento for maior que outro, é indicado com o símbolo de maior que >, se for menor com o de menor <.

Da mesma forma, para conjuntos, o símbolo de inclusão se aplica para denotar uma quantidade menor .

Esses símbolos podem ser combinados com igualdade para gerar extensões, incluindo os conceitos de maior que ou igual e menor que ou igual .

Obviamente também se pode ter a negação da inclusão dada por .

Outra categoria de símbolos lógicos põe em jogo o conceito de pertencimento.

Se um elemento pertence a alguma outra estrutura lógica é indicado com , se não pertence com .

Alguns símbolos lógicos transcrevem o que normalmente ocorre nos processos lógicos de construção verbal.

A implicação dada por uma cláusula subordinada hipotética (o clássico se... então) é codificada assim , enquanto a co-implicação lógica (se e somente se) assim .

A construção linguística tal que é resumida no uso dos dois pontos:

Finalmente, existem os símbolos lógicos que codificam as expressões e/ou (disjunção inclusiva), e (conjunção lógica), ou (disjunção exclusiva).

Nos dois primeiros casos, um correspondente pode ser encontrado na união entre vários elementos, indicados por , e na interseção entre vários elementos .

Todos esses símbolos são chamados de conectores lógicos.

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Princípios

Existem quatro princípios lógicos que são absolutamente válidos no esquema lógico elementar (mas não em alguns esquemas lógicos avançados).

Esses princípios são tautologias e já eram conhecidos na filosofia grega antiga, fazendo parte do sistema lógico de Aristóteles.

1) Princípio da identidade: cada elemento é igual a si mesmo.

2) Princípio da bivalência: uma proposição é verdadeira ou falsa.

3) Princípio da não contradição: se um elemento é verdadeiro, sua negação é falsa e vice-versa. Daí segue-se necessariamente que esta proposição não pode ser verdadeira

4) Princípio do terceiro excluído: não é possível que duas proposições contraditórias sejam ambas falsas. Esta propriedade generaliza a anterior, pois a propriedade de não contradição não exclui que ambas as proposições sejam falsas.

Propriedade

Além disso, para uma operação lógica genérica podem ser definidas as seguintes propriedades em uma estrutura lógica genérica G (não se diz que todas essas propriedades são válidas para cada operação e para cada estrutura lógica, vai depender caso a caso).

propriedade reflexiva :

Para cada elemento pertencente à estrutura lógica, a operação lógica realizada no mesmo elemento refere-se internamente à estrutura lógica.

Propriedade de idempotência :

Para cada elemento pertencente à estrutura lógica, a operação lógica realizada no mesmo elemento resulta no mesmo elemento.

Propriedade de existência de elemento neutro :

Para cada elemento pertencente à estrutura lógica, existe um outro elemento tal que a operação lógica realizada sobre ele sempre retorna o elemento inicial.

Propriedade de existência do elemento inverso :

Para cada elemento pertencente à estrutura lógica, existe outro elemento tal que a operação lógica realizada sobre eles sempre retorna o elemento neutro.

Propriedade comutativa :

Dados dois elementos pertencentes à estrutura lógica, o resultado da operação lógica realizada sobre eles não muda se a ordem dos elementos for alterada.

propriedade transitiva :

Dados três elementos pertencentes à estrutura lógica, a operação lógica realizada na cadeia de elementos depende apenas do primeiro e do último.

Propriedade associativa :

Dados três elementos pertencentes à estrutura lógica, o resultado da operação lógica feita com eles não muda de acordo com a ordem em que as operações são realizadas.

Propriedade distributiva :

Dados três elementos pertencentes à estrutura lógica, a operação lógica realizada em um grupo de dois deles e no outro é equivalente à operação lógica realizada em grupos de dois.

Os conceitos de igualdade, congruência, semelhança, proporcionalidade e pertença possuem todas essas propriedades que acabamos de listar.

Os símbolos de ordenação satisfazem apenas as propriedades transitivas e reflexivas.

Nesse caso, a propriedade de idempotência é satisfeita apenas incluindo também a ordenação com igualdade, enquanto as outras propriedades não são bem definidas.

A implicação lógica satisfaz as propriedades reflexiva, idempotência e transitiva, enquanto não satisfaz as comutativas, associativas e distributivas.

Por outro lado, a co-implicação satisfaz a todos eles, assim como os conectores lógicos, como a conjunção lógica e a disjunção inclusiva.

Uma operação em que as propriedades reflexiva, comutativa e transitiva são válidas simultaneamente é chamada de relação de equivalência .

Em geral, os dois teoremas duais de De Morgan são válidos :

Esses teoremas envolvem as definições de conectores lógicos e a propriedade distributiva.

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lógica booleana

Para conectores lógicos é possível definir, com o formalismo da chamada lógica booleana, tabelas verdade baseadas nos valores verdadeiro ou falso atribuíveis às proposições individuais.

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A negação é verdadeira se a proposição for falsa e vice-versa.

A conjunção lógica é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.

A disjunção inclusiva é falsa apenas quando ambas as proposições são falsas.

A disjunção exclusiva é falsa se ambas as proposições são falsas (ou verdadeiras).

A implicação lógica é falsa apenas se a causa for verdadeira e a consequência for falsa.

A co-implicação lógica é verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras (ou falsas).

Caso a implicação lógica seja verdadeira, A é chamada de condição suficiente para B, enquanto B é chamada de condição necessária para A.

A implicação lógica é a principal forma de provar teoremas, considerando que A representa as hipóteses, B as teses, enquanto o procedimento de implicação lógica é a prova do teorema.

A co-implicação lógica é uma relação de equivalência.

Neste caso, A e B são conceitos logicamente equivalentes e são condições necessárias e suficientes um para o outro.

Lembrando as propriedades expostas, a co-implicação lógica também pode ser expressa como:

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Aplicações da lógica: prova de teoremas

A prova matemática de um teorema pode ser baseada em duas grandes categorias lógicas.

De um lado está a dedução que, partindo de hipóteses consideradas verdadeiras (ou já demonstradas anteriormente), determina a validade de uma tese em virtude apenas da coerência formal e lógica do raciocínio demonstrativo. Geralmente, seguindo esse padrão, aplica-se um mecanismo que vai do universal ao particular.

Por outro lado, temos a indução que, partindo de casos particulares, abstrai uma lei geral. Conforme destacado repetidamente ao longo da história da lógica, toda indução é na verdade uma conjectura e, portanto, se quisermos usar o método lógico indutivo, essas proposições devem ser consideradas axiomas.

Na lógica moderna, que não abordaremos neste parágrafo por tratar de conceitos avançados muito além do escopo dessas simples bases elementares, o método indutivo não é aceito como o raciocínio lógico correto para provar matematicamente essas teses.

O método dedutivo é, portanto, o principal método de prova matemática.

Distingue-se no método direto, no qual a tese é efetivamente demonstrada a partir das hipóteses, e no método indireto, no qual a tese é assumida como verdadeira e o caminho lógico é reconstruído de trás para frente para chegar às hipóteses.

O método indireto pode, por sua vez, valer-se da prova por contradição que, ao negar a tese, leva a uma contradição lógica e, portanto, a tese fica provada para o princípio do terceiro excluído.

O método por contradição consiste, portanto, não em provar que é verdadeiro, mas que é falso.

Às vezes, pode-se recorrer à prova do chamado contranominal para chegar à prova do teorema.

Isso se origina da seguinte relação lógica.

Se for verdade , então é necessariamente verdade também .

Em alguns setores particulares da matemática, por exemplo, na geometria, construções demonstrativas particulares, como