Ne hidd el az igazságot!: Miért (szinte) minden matematika?

By Kit Yates

Kit Yates neves matematikus és biológus - egyike a biomatematika nevű tudományág azon kevés számú kutatójának, aki sikeresen képes népszerűsíteni szakterületét.
Gondolkodásra serkentő könyvében Yates sorsfordító események igaz történetét meséli el, amelyekben a matematika helyes vagy helytelen alkalmazása kulcsszerepet játszott: betegek rokkantak meg hibás gének miatt és vállalkozók mentek csődbe helytelen algoritmusok eredményeképp; ártatlanok estek áldozatul bírói tévedéseknek és mit sem sejtő felhasználók szenvedték meg a számítógépes hibákat.
Vegyük észre: körülvesz minket a matematika, használjuk hát okosan, hangsúlyozza Yates, aki szerint a matek jelenti a legnagyobb reménységünket arra is, hogy egyszer majd megfejtjük a világegyetem rejtélyeit és az emberi faj titkait.
A terjedőben levő oltásellenes mozgalom veszélyeinek ismertetésétől a világjárványok elleni küzdelemig a matematika képezi az alapját azoknak a döntő jelentőségű, életmentő beavatkozásoknak, amelyek lehetővé teszik, hogy a betegségeket eltöröljük a Föld színéről.
Kit Yates a Bath-i Egyetem biomatematikusa; matematikai összefüggéseket kutat a világ legkülönfélébb megnyilvánulásai mögött. Tudományos értekezésekben foglalja össze egyes jelenségek ismétlődő mintázatát embriók kórtanától a tojáshéj mintáján át a pusztító sáskajárásokig - a matematika szigorú törvényei alapján.

• Language: Magyar
• Publisher: Athenaeum
• Release date: Oct 13, 2020
• ISBN: 9789635430468

Book preview

cover.jpgimg1.jpg

A fordítás alapjául szolgáló mű

Kit Yates: The Math of Life and Death

First published in Great Britain in 2019

by Quercus Editions Ltd.

Fordította Tóth Enikő

Hungarian translation © Tóth Enikő, 2020

ISBN 978-963-543-046-8

Felelős kiadó: Dian Viktória

Felelős szerkesztő: Besze Barbara

Szerkesztette: Jordán Gergely

Műszaki vezető: Drótos Szilvia

Borítóterv: Földi Andrea

Nyomdai előkészítés: Tóth Viktor

Elektronikus verzió: eKönyv Magyarország Kft.

www.ekonyv.hu

A szüleimnek, Timnek és Nancynek, Marynek, aki megtanított olvasni, és Lucy nővéremnek, aki megtanított írni.

TARTALOM

BEVEZETÉS

Szinte minden7

1. Exponenciális gondolkodás

Az exponenciális viselkedés bámulatos ereje és kijózanító korlátai

2. Szenzitivitás, specificitás és második vélemény

Miért növeli a matematika az orvostudomány jelentőségét?

3. A matematika törvényei

Mi jogon kerül a matematika a tárgyalóterembe?

4. Ne hidd el az igazságot!

A média leleplezése

5. Rosszkor, rossz helyen

Hogyan alakultak ki a számrendszerek, és hogyan vernek át minket?

6. Kérlelhetetlen optimalizálás

Az algoritmusokban rejlő korlátlan lehetőségek: az evolúciótól az e-kereskedelemig

7. Fogékony, fertőző, eltávolított

A betegségek megfékezése rajtunk múlik

EPILÓGUS

Matematikai emancipáció

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

BEVEZETÉS

Szinte minden

Négyéves kisfiam kint játszik a kertben. Kedvenc időtöltése, hogy mindenféle csúszómászót, főleg csigákat ás ki a földből, és megfigyeli őket. Ha elég türelme van, a megbolygatott csigák a kezdeti megrázkódtatás után óvatosan előbújnak biztonságos házukból, és síkos nyomot hagyva maguk után, mászni kezdenek a kicsi kezeken. A fiam végül ráun a csigákra, és részvétlenül ledobja őket a komposztdombra vagy a kamra mögötti farakásra.

Tavaly szeptember végén, egy igen mozgalmas napon, miután kiásott öt-hat méretes példányt, majd megszabadult tőlük, odajött hozzám, miközben tűzifát fűrészeltem, és azt kérdezte:

– Apu, hány csigák vannak [sic!] a kertben?

Nem tudtam jó választ adni erre a megtévesztően egyszerű kérdésre. Lehet, hogy száz, de az is lehet, hogy ezer. Hogy őszinte legyek, a kisfiam fel sem fogta volna a különbséget. A probléma azonban felkeltette az érdeklődésemet. Hogyan tudnánk együtt megkeresni a választ?

Elhatároztuk, hogy elvégzünk egy kísérletet. A következő hét végén, szombat reggel kimentünk csigát gyűjteni. Tíz perc alatt összesen 23 példányt fogtunk be. Elővettem egy alkoholos filcet a farzsebemből, és mindegyik csiga házára egy kis keresztet rajzoltam. Miután az összeset megjelöltem, kiborítottuk a vödröt, és szabadon engedtük a csigákat a kertben.

Egy hét múlva megismételtük a műveletet. Ezúttal egy tízperces akció során 18 állatot fogtunk be. Közelebbről szemügyre véve őket azt láttuk, hogy három csigaházon ott volt a kereszt, míg a többi 15 jelöletlen volt. Ennyi információ elég volt a számításunk elvégzéséhez.

Elgondolásunk a következő: az első napon 23 csigát fogtunk. Ez a szám egy bizonyos hányada a kertben található csigák számának, amit szeretnénk meghatározni. Ha a 23 csigának a teljes csigapopulációhoz viszonyított arányát meg tudjuk állapítani, akkor a megfogott csigák számát felszorozzuk ezzel a számmal, és megkapjuk a kertben élő összes csiga számát. Ezért vettünk egy második mintát (a következő szombaton). Ebben a mintában a megjelölt példányok aránya 3/18 volt, aminek meg kell egyeznie a megjelölt példányoknak a teljes populációhoz viszonyított arányával. Ezt az arányszámot egyszerűsítve azt találjuk, hogy az egész csigapopulációt tekintve a megjelölt példányok alkotják a teljes egyedszámnak nagyjából az egyhatodát (lásd az 1. ábrát). Ezért megszorozzuk az első napon megfogott egyedek számát, a huszonhármat hattal, hogy meg tudjuk becsülni a kertben lakó csigák teljes számát, így 138-at kapunk.

Miután végeztem a fejszámolással, a fiamhoz fordultam, aki éppen a begyűjtött csigákat „rendezte". Vajon mit érthetett meg abból, hogy elmondtam neki: durván 138 csiga lakik a kertünkben?

– Apu – mondta, miközben a kezére tapadt csigaháztöredékeket nézte –, ezt meghalasztottam. – Tehát maradt összesen 137.

Ez az egyszerű, fogás-visszafogás módszer néven ismert matematikai eljárás az ökológiából ered, és állatpopulációk nagyságának becslésére használják. Önök is használhatják ezt a technikát, ha két egymástól független mintát vesznek, és megvizsgálják, mennyi átfedés van köztük. Lehet, hogy inkább megbecsülnék a helyi vásárban eladott tombolajegyek árát vagy a nézőszámot a futballmeccsen, mint hogy fárasztó fejszámolást végezzenek.

img2.jpg

1. ábra. A másodszor is befogott (X jelzésű) csigák arányát (3:18) a második napon megfogott (O jelzésű) csigák teljes számához viszonyítva az aránynak meg kell egyeznie az első napon megfogott (X jelzésű) csigák számának a kertben lakó összes (jelölt és jelöletlen) csigához viszonyított arányával (23:138)

A fogás-visszafogás módszert komoly tudományos projektekben is alkalmazzák. Nagyon fontos információt adhat például egy veszélyeztetett faj egyedszámának változásáról. Ha megbecsüljük a tóban élő halak számát,{1} az alapján a horgászegyesület eldöntheti, hány horgászengedélyt ad ki. Ez az eljárás olyan hatékonynak bizonyult, hogy alkalmazása túlnőtt az ökológia keretein, és a segítségével pontos becslést tudunk adni a népesség körében található kábítószerfüggők számától{2} egészen a koszovói háborús áldozatok számáig.{3} Ilyen nagy gyakorlati haszonnal bírhat egy egyszerű matematikai gondolat. Ilyen és ehhez hasonló fogalmakat fogunk ebben a könyvben tanulmányozni, amelyeket matematikai biológusként a mindennapi munkám során alkalmazok.

• • •

Amikor elmondom az embereknek, hogy matematikai biológus vagyok, ezt általában udvarias fejbólintással nyugtázzák, majd kínos csend áll be, mintha legalábbis ki akarnám kérdezni tőlük a Pitagorasz-tételt. Nemcsak hogy zavarba jönnek, de kétségbeesett erőfeszítéssel próbálják megérteni, hogy egy olyan elvont és éterien tiszta tudománynak, mint a matematika, mi köze lehet a biológiához, amelyet általában gyakorlatias, zavaros és pragmatikus tudományágnak tartanak. Gondolom, ez az elképzelés abból a mesterségesen létrehozott kettősségből ered, amivel először az iskolában találkozik az ember. Ha valaki szerette a természettudományokat, de az algebra nem volt éppen az erőssége, akkor az élettudományok irányába terelték. Ha – hozzám hasonlóan – szerette a természettudományos tárgyakat, de nem volt hajlandó hullákat vagdosni (egyszer elájultam órán, mielőtt boncolni kezdtünk volna, mert amikor bementünk a terembe, egy halfej fogadott a padomon), akkor a fizikai tudományok felé irányították. A két dolog végérvényesen elválik egymástól.

Velem is ez történt. Hatodikban leadtam a biológiát, és felvettem az emelt szintű matematikát, fizikát és kémiát. Amikor egyetemre mentem, és tovább kellett szakosodnom, szomorúan vettem tudomásul, hogy örökre el kell búcsúznom a biológiától; úgy gondoltam, hogy ez a tudományág hihetetlen erővel rendelkezik, és képes jobbá tenni az életünket. Óriási izgalommal töltött el a lehetőség, hogy belemerülhetek a matematika világába, mégis aggódtam, hogy olyan tárgyat választok, amelynek vajmi csekély gyakorlati haszna van. Nagyobbat nem is tévedhettem volna.

Miközben végigküzdöttem magam az elméleti matematikán, amit az egyetemen tanítottak, és bemagoltam a Bolzano-tételt meg a vektortér definícióját, az alkalmazott matematikai kurzusok tartották bennem a lelket. Buzgón jegyzeteltem, amikor az előadó bemutatta, milyen matematikai eljárásokat használnak a mérnökök hídépítéskor, nehogy berezonáljon a híd, és leszakadjon a széltől; vagy a repülő szárnyának tervezésekor, nehogy lezuhanjon a levegőből a gép. Megtanultam a kvantummechanikát, amelynek segítségével a fizikusok megértik az atomméret alatti különös történéseket, továbbá a speciális relativitáselméletet, amely a fénysebesség állandóságának elvéből eredő furcsa következményeket vizsgálja. Hallgattam kurzusokat a matematika alkalmazásáról a kémia, a pénzügy és a közgazdaságtan területén. Olvastam arról, hogyan használható a matematika a sportban az élsportolók teljesítményének növelésére, meg a filmgyártásban, ahol olyan jeleneteket hoznak létre számítógéppel, amelyek egyszerűen nem létezhetnek a valóságban. Egyszóval megtanultam, hogy a matematika nyelvén szinte mindent le lehet írni.

Egyetemi tanulmányaim harmadik évében olyan szerencsém volt, hogy felvehettem egy matematikai biológia kurzust. Az előadót Philip Maininek hívták. Ez a negyvenes éveiben járó északír professzor lebilincselő előadó volt. Nemcsak hogy szakterülete kimagasló alakjának számított (később beválasztották a Királyi Természettudományos Társaság tagjai közé), de nyilvánvalóan imádta a szaktárgyát, és lelkesedése átragadt az előadóteremben ülő hallgatókra is.

Philiptől nem pusztán matematikai biológiát tanultam, hiszen arra is megtanított, hogy a matematikus érző emberi lény, nem pedig egydimenziós automata, aminek oly gyakran lefestik. Ahogy azt a valószínűség-számítással foglalkozó magyar tudós, Rényi Alfréd megfogalmazta, a matematikus nem pusztán „olyan gép, amely kávéból tételeket készít". Philip irodájában ülve várakoztam, hogy elkezdjük a doktori képzésre való felvételi elbeszélgetésemet, amikor megláttam, hogy jó néhány bekeretezett elutasító levél lóg a falon, amelyeket első osztályú focikluboktól kapott, miután tréfából jelentkezett a megüresedett menedzseri állásokra. Végül többet beszéltünk a futballról, mint a matematikáról.

Tudományos pályafutásom szempontjából döntő jelentőséggel bír, hogy Philip segítségével újra meg kellett ismerkednem a biológiával. Az ő irányítása mellett írtam a doktori disszertációmat, és közben mindenfélével foglalkoztam: megértettem a sáskák rajzási szokásait és azt, hogyan lehet őket megállítani, valamint az embrió fejlődésének vak baletthez hasonló koreográfiáját, és hogy milyen végzetes következményekkel jár, ha ez a tánc kiesik a ritmusból. Modelleztem a madártojások gyönyörű színének a kialakulását, algoritmusokat készítettem a szabadon úszó baktériumok mozgásának követésére. Szimuláltam az immunrendszerünkön kifogó parazitákat, modelleztem a halálos betegségek terjedését a populációban. A doktori képzés alatt elkezdett munka vált további pályafutásom szilárd alapjává. Jelenleg is foglalkozom a biológiának e lenyűgöző területeivel és más témákkal is – ma már a saját PhD-hallgatóimmal együtt, akiket az alkalmazott matematika docenseként oktatok a Bath Egyetemen.

• • •

Alkalmazott matematikusként a matematikát mindenekelőtt gyakorlati eszköznek tekintem, amelynek segítségével megérthetjük bonyolult világunkat. A matematikai modellek előnyeit élvezhetjük mindennapi élethelyzetekben, és ehhez nem feltétlenül kellenek unalmas egyenletek százai vagy számítógépes kódok sorozata. A matematika alapvetően egyfajta minta. Ahányszor csak rátekintünk a világra, saját modellt építünk fel a megfigyelt minták alapján. Ha fraktálmintázatot veszünk észre egy fa ágai között vagy egy hópehely sokszorosan összetett szimmetriájában, akkor a matematika válik láthatóvá. Amikor egy zeneszám ütemére dobolunk a lábunkkal vagy amikor a hangunk visszhangzik és rezonál, ha a zuhany alatt énekelünk, akkor a matematikát halljuk. Ha a labdát becsavarjuk a kapuba vagy parabolikus röppályáján elkapjuk a krikettlabdát, a matematikát alkalmazzuk. Minden új tapasztalat és minden érzékszervi információ tovább pontosítja, alakítja és még részletesebbé, bonyolultabbá teszi a környezetünkről alkotott modellt. Legjobban úgy érthetjük meg a minket körülvevő világot irányító szabályszerűségeket, ha matematikai modelleket építünk fel, amelyek megragadják a valóság sokszínűségét.

Meggyőződésem, hogy a legegyszerűbb, legfontosabb modellek a történetek és az analógiák. Leginkább azzal szemléltethetjük a matematika láthatatlan, rejtett áramlatának a hatását, ha bemutatjuk az emberek életére gyakorolt befolyását, a rendkívülitől a mindennaposig. Ha megfelelő szemüvegen át nézzük őket, elkezdhetjük kibogozni a hétköznapi tapasztalataink alapját képező, rejtett matematikai szabályokat.

E könyv hét fejezete sorsfordító események igaz történetét mondja el, amelyekben a matematika alkalmazása (vagy helytelen alkalmazása) kulcsszerepet játszott: betegek rokkantak meg hibás gének miatt, ártatlanok estek áldozatul bírói tévedéseknek, vállalkozók mentek csődbe helytelen algoritmusok miatt és mit sem sejtő felhasználók szenvedték meg a számítógépes hibákat. Olyan vállalkozókat követünk nyomon, akik vagyonokat herdáltak el, és szülőket, akik a gyermeküket vesztették el – mindezt matematikai félreértések miatt. Etikai dilemmákkal küszködünk, a szűrővizsgálatoktól a statisztika ravaszságáig, és olyan húsba vágó társadalmi kérdéseket boncolgatunk, mint a politikai szavazások, a betegségmegelőzés, a büntető igazságszolgáltatás és a mesterséges intelligencia. Könyvünk bebizonyítja, hogy a matematikának mélyreható és jelentőségteljes mondanivalója van ezekről a dolgokról – ahogy sok minden másról is.

De nem elégszem meg annyival, hogy rámutatok azokra a területekre, ahol a matematika jelen van. Az elkövetkező oldalakon olyan egyszerű matematikai szabályokat és eszközöket adok az olvasó kezébe, amelyek segítségére lehetnek a mindennapi életben: kezdve attól, hogyan szerezhetjük meg a legjobb ülőhelyet a vonaton egészen odáig, hogyan őrizzük meg a józanságunkat, amikor váratlan vizsgálati eredményt közöl velünk az orvos. Egyszerű módszereket javaslok a számszaki hibák elkerülésére, és nyomdafestékkel mocskoljuk be a kezünket, miközben kibogozzuk a főcímek mögött rejtőző számokat. Ezenkívül közeli, személyes kapcsolatba kerülünk a fogyasztói genetika mögött meghúzódó matematikával, működés közben figyeljük meg a matematikát, mialatt rávilágítunk azokra a lépésekre, amelyeket magunk is megtehetünk, hogy segítsünk megakadályozni egy halálos betegség terjedését.

Ahogy remélhetőleg már kitalálták, nem matematikakönyvet tartanak a kezükben. Nem is matematikusoknak szóló könyvet. A lapjain egy árva egyenlettel sem fognak találkozni. Ez a könyv nem az iskolai matematikaórák emlékét kívánja felidézni, ami talán hosszú évekkel ezelőtt feledésbe merült. Éppen ellenkezőleg: ha valaha is kirekesztettnek érezték magukat, és elhitték, hogy a matematika nem való önöknek, vagy gyenge eredményt értek el belőle, akkor tekintsék ezt a könyvet egyfajta felszabadításnak.

Őszintén hiszem, hogy a matematika – ha megfelelő módon adjuk elő – bárki számára érthető lehet, és mindnyájan felismerhetjük a nap mint nap megtapasztalt bonyolult jelenségek hátterében meghúzódó, nagyszerű matematikai törvényszerűségeket. Ahogy azt a következő fejezetekben látni fogjuk, éppen úgy a matematika áll az elménket megzavaró téves riasztások mögött, mint a hamis biztonságérzet mögött, amitől nyugodtan alszunk éjszaka, sőt a közösségi média által ránk zúdított történetek és az ott terjedő mémek mögött is. Matematika az is, ahogy lyukak keletkeznek a törvény szövetén, de egyben a tű is, amellyel befoltozzák a lyukakat; matematika az életmentő technológia, de azok a hibák is, amelyek kockázatossá teszik; matematika egy halálos betegség megjelenése meg az a stratégia is, amivel legyőzik. A matematika jelenti a legnagyobb reménységünket arra nézve, hogy valaha is megválaszoljuk a világegyetem rejtélyeit és saját fajunk titkait. A matematika végigkísér minket életünk milliárd ösvényén, és a fátyol mögött vár ránk, hogy majd visszanézzen ránk, amikor utoljára veszünk levegőt.

1

EXPONENCIÁLIS GONDOLKODÁS

Az exponenciális viselkedés bámulatos ereje és kijózanító korlátai

Darren Caddick egy dél-walesi kisvárosban dolgozik gépjárművezető-oktatóként. 2009-ben kecsegtető ajánlatot kapott egy barátjától. Ha befizet 3000 fontot egy helyi befektetési társaságnak, és beszervez két embert, akik ugyanezt megteszik, néhány héten belül 23 000 fontot fog visszakapni. Caddick először azt gondolta, ez túl szép, hogy igaz legyen, és ellenállt a kísértésnek. Végül azonban a barátai meggyőzték, hogy – a saját szavaival élve – „senki sem fog veszíteni, mert a lánc egyre csak folytatódik, a végtelenségig". Így aztán elhatározta, hogy beszáll a játékba. Mindenét elvesztette, és tíz év elteltével is együtt kell élnie döntésének következményeivel.

Caddick a tudtán kívül egy pilótajáték alsó szintjén találta magát, ami azonban nem „folytatódhatott a végtelenségig". Az Adok-kapok elnevezésű játék 2008-ban indult el, de mivel az új befektetők hamar elfogytak, nem egészen egy év alatt összeomlott, ám ez idő alatt 21 millió fontot húzott ki több mint tízezer befizető zsebéből, szerte az Egyesült Királyságban. A befektetők 90%-a elveszítette a befizetett 3000 fontját. Azok a befektetési rendszerek, amelyekben a befektetőknek több új befizetőt kell beszervezniük ahhoz, hogy hozzájussanak a nekik járó kifizetéshez, bukásra vannak ítélve. A szükséges új befizetők száma minden szinten a rendszerben részt vevő emberek számával arányosan növekszik. Tizenöt forduló után több mint tízezer embert fognak beszervezni egy ilyen típusú pilótajátékba. Bár ez nagy számnak tűnik, az Adok-kapok rendszer mégis könnyedén elérte. Azonban újabb tizenöt kör után már a Föld minden hetedik lakójának befizetővé kellene válni ahhoz, hogy a játék tovább folytatódjon. Az a jelenség, amely elkerülhetetlenül oda vezetett, hogy egy idő után nem tudtak új embereket beszervezni, és végül összeomlott a rendszer, az úgynevezett exponenciális növekedés.

Késő bánat ebgondolat

Exponenciálisan növekedő mennyiségről akkor beszélünk, ha a növekedés mértéke arányos a mennyiség nagyságával. Képzeljük el, hogy reggel kinyitunk egy tejesüveget, amibe valami úton-módon belekerül a Streptococcus faecalis baktérium egyetlen sejtje, mielőtt visszazárnánk. A Streptococcus faecalis az egyik olyan baktérium, amitől a tej megsavanyodik és összecsomósodik. De hát egyetlen apró sejt nem nagy dolog, igaz?{4} Talán aggasztóbb, ha megtudjuk, hogy a tejben a Strep. f.-sejtek az osztódás során minden órában két utódsejtet hoznak létre.{5} A sejtek száma minden egyes generációban a sejtek aktuális számával arányosan nő, tehát a mennyiségük exponenciálisan növekszik. Az exponenciálisan növekvő mennyiség emelkedését bemutató görbe a görkorcsolyázók, gördeszkások és BMX-esek által használt negyedcsőrámpára emlékeztet. Eleinte nagyon kicsi a rámpa meredeksége – a görbe igen lapos, és csak fokozatosan kezd emelkedni (ahogy az a 2. ábra első görbéjén látható).

img3.jpg

2. ábra. J alakú exponenciális növekedési (balra) és fogyási (jobbra) görbe

Két óra múlva négy darab Strep. f.-sejt van a tejben, négy óra múlva még mindig csak tizenhat darab, ami nem tűnik túl nagy problémának. Azonban a negyedcsőrámpához hasonlóan az exponenciális görbe magassága és meredeksége gyorsan növekszik. Az exponenciálisan növekvő mennyiségek kezdetben látszólag lassan nőnek, de ez a növekedés váratlanul felgyorsulhat. Ha a tejet 48 órán át nem bolygatjuk, a Strep. f.-sejtek exponenciális növekedése folytatódik, és mire újra tejet öntenénk a müzlinkre, már több száz billió sejt lesz benne – ennyitől a vér is megalszik az ereinkben, nemhogy a tej az üvegben. E pillanatban negyvenezerszer annyi sejt lenne a tejben, mint ahány ember él a bolygónkon. Az exponenciális görbét „J alakúnak" is szokták nevezni, mivel egy meredeken felfelé kanyarodó nagy J betűre emlékeztet. Természetesen ahogy a baktériumok elfogyasztják a tejben lévő tápanyagokat, és megváltozik a tej pH-értéke, a növekedés feltételei kedvezőtlenebbé válnak, ezért az exponenciális növekedés csak viszonylag rövid ideig folytatódik. Valós körülmények között az exponenciális növekedés hosszú távon nem tartható fenn, sőt kórossá válhat, mivel ami így növekszik, az felemészti az erőforrásokat, ezáltal életképtelen lesz. Például a rák tipikus jellemzője, hogy az emberi szervezetben tartósan exponenciálisan szaporodnak a sejtek.

Az exponenciális görbe másik példája a szabadesésű vízi csúszda, amely azért kapta a nevét, mert az eleje olyan meredek, hogy a szabadesés élményét tapasztalhatjuk meg rajta. Amikor lezuhanunk a csúszdán, nem exponenciális növekedési görbén, hanem exponenciális fogyási görbén siklunk végig (erre a görbére példa a 2. ábra jobb oldali grafikonja). Az exponenciális fogyás azt jelenti, hogy egy mennyiség csökkenése arányos a mennyiség pillanatnyi nagyságával. Képzeljük el, hogy kinyitunk egy óriási M&M’s-zacskót, a tartalmát kiborítjuk az asztalra, és megeszünk minden drazsét, ami a feliratos oldalával felfelé esett az asztalra. A maradékot visszaöntjük a zacskóba, és eltesszük másnapra. Másnap jól megrázzuk a zacskót, és kiszórjuk a drazsét. Ismét azokat a cukorkákat esszük meg, amelyeken az M betűt látjuk, a többit pedig visszatesszük a zacskóba. Ahányszor csak kiborítjuk az édességet a zacskóból, a megmaradt szemeknek durván a felét esszük meg, függetlenül attól, hogy mekkora volt az eredeti mennyiség. A drazsék száma a zacskóban maradt szemek számával arányosan csökken, azaz exponenciálisan fogy. Ugyanígy a vízi csúszda is nagyon magasról, szinte függőlegesen indul, és lecsúszás közben nagyon hirtelen csökken a magassága. Ha sok drazsénk van, sokat ehetünk meg belőle. Ám a görbe fokozatosan veszít a meredekségéből, és a végén majdnem vízszintessé simul ki: minél kevesebb drazsénk marad, annál kevesebbet ehetünk meg a következő napon. Habár az egyes drazsék véletlenszerűen és megjósolhatatlanul esnek a feliratos vagy a sima oldalukra, az exponenciális fogyás kiszámítható „vízicsúszda-görbéje" fedezhető fel a megmaradt drazsék számának csökkenésében.

Ebben a fejezetben megvizsgáljuk az exponenciális viselkedés és a hétköznapi jelenségek közti rejtett kapcsolatot: hogy hogyan terjed egy betegség a lakosság körében vagy egy mém az interneten; hogy milyen gyorsan növekszik az embrió és milyen lassan gyarapszik a pénz a bankszámlánkon; hogy hogyan érzékeljük az idő múlását és mitől robban fel az atombomba. Menet közben az Adok-kapok piramisjáték tragédiájának is a mélyére ásunk. Azoknak az embereknek a példáján tanuljuk meg, milyen fontos az exponenciális gondolkodás, akiknek kicsalták és végérvényesen lenyúlták a pénzét. Mindez segítségünkre lehet abban, hogy ne érjenek minket váratlanul a mai világban szédületes tempóban végbemenő változások.

Egy igen fontos dolog

Azon ritka alkalmakkor, amikor pénzt teszek be a bankba, az a tény nyugtat meg, hogy bármilyen kis összeg legyen is a számlámon, az mindig exponenciálisan növekszik. A bankszámla olyan hely, ahol valóban nincs korlátja az exponenciális növekedésnek – legalábbis papíron. Amennyiben kamatos kamatról van szó (azaz a kamat hozzáadódik az induló összeghez, és maga is kamatozik), akkor a bankszámlán lévő teljes összeg növekedése az aktuális pénzösszeg nagyságával arányos – ez pedig az exponenciális növekedés ismérve. Ahogy Benjamin Franklin mondta: „Az a pénz, amit a pénz fial, még több pénzt fog fialni." Ha elég sokáig tudnánk várni, még a legkisebb befektetés is egész vagyonná duzzadna. De azért még ne zároljuk a vésztartalékainkat! Ha évi 1%-os kamatra kötünk le 100 fontot, több mint 900 évbe telik, mire milliomos lesz belőlünk. Igaz ugyan, hogy az exponenciális növekedést gyakran a gyors gyarapodással kapcsolják össze, de ha a növekedés üteme és az induló befektetés kicsi, akkor nagyon lassúnak tűnik a növekedés.

Az érem másik oldala, hogy a hitelkártyán az adósságunk is exponenciálisan növekedhet, mert fix (és gyakran igen magas) kamatot számolnak fel a kint levő összeg után. A jelzáloghitelekhez hasonlóan minél előbb fizetjük vissza a hitelkártyán felhalmozott adósságunkat és minél többet törlesztünk az elején, összességében annál kevesebb pénzt kell visszafizetnünk, hiszen az exponenciális növekedés nem tud felgyorsulni.

• • •

Az Adok-kapok pilótajáték áldozatai belépésük okaként elsősorban jelzáloghiteleik visszafizetését és egyéb adósságaik rendezését említették. Sokan képtelenek voltak ellenállni a csábításnak, hogy gyorsan és könnyen szerzett pénzzel szabaduljanak az anyagi gondok nyomása alól, habár motoszkált bennük a gyanú, hogy valami nincs egészen rendjén. Amint azt Caddick elismerte: „Itt aztán nagyon igaz a régi mondás, hogy ha valami túl szép, hogy igaz legyen, akkor az tényleg nem is igaz."

A pilótajáték elindítói, a nyugdíjas Laura Fox és Carol Chalmers azóta voltak barátnők, hogy együtt jártak egy katolikus iskolába. Mindketten a helyi közösség oszlopának számítottak: egyikük a Rotary Klub alelnöke volt, a másik pedig köztiszteletben álló nagymama. Pontosan tudták, mit csinálnak, amikor elindították a tisztességtelen befektetési rendszert. Az Adok-kapokat okosan tervezték meg, hogy csapdába csalják a potenciális befizetőket, miközben a buktatókat eltitkolták előlük. A hagyományos, kétszintes piramisjátéktól eltérően, ahol a piramis csúcsán elhelyezkedő személy közvetlenül az általa beszervezett befizetőktől szedi be a pénzt, az Adok-kapok négyszintes pilótajátékként működött. Ebben a rendszerben a csúcson elhelyezkedő személyt nevezik „pilótának, aki két „másodpilótát szervez be, ők pedig fejenként újabb két „tagot toboroznak a legénységbe, akik végül beszerveznek két-két „utast. Amikor a Fox és Chalmers-féle rendszerben kialakult a tizenöt fős hierarchia, a nyolc utas befizette fejenként 3000 fontját a szervezőknek, akik jókora, 23 000 fontnyi összeget továbbítottak az első befektetőnek, miközben a piramis tetején lefölöztek belőle 1000 fontot. A pénz egy részét jótékonysági szervezeteknek adományozták, így aztán sorra kapták a köszönőleveleket gyermekvédelmi és hasonló szervezetektől, amelyek ezzel mintegy legitimálták a pilótajátékot. A pénz egy részét a szervezők maguknál tartották, hogy biztosítani tudják a rendszer zavartalan működését.

Miután a pilóta hozzájutott a kifizetéshez, kiszáll a rendszerből, és a két másodpilóta lép elő pilótává, nyolc új utas beszervezésére várva, akik az ő piramisuk aljára kerülnek. A pilótajáték különösen csábító a befektetők számára, mivel az új belépőknek mindössze két másik embert kell beszervezniük ahhoz, hogy a befektetésük megnyolcszorozódjon (na persze annak a kettőnek is újabb két embert kell toboroznia, és így tovább). Más, „laposabb piramisok esetében ugyanekkora hozam érdekében jóval több embert kell egy-egy tagnak beszerveznie. Az Adok-kapok meredek, négyszintes struktúrája azt jelentette, hogy a legénység tagjai soha nem vették el a pénzt közvetlenül az általuk beszervezett „utasoktól. Mivel az új belépők nagy valószínűséggel a „legénység barátai és rokonai közül kerülnek ki, így a pénz soha nem cserél gazdát közvetlenül a jó ismerősök között. Tekintve, hogy az „utasokat ily módon elválasztják a „pilótáktól", akiknek a kifizetését finanszírozzák, könnyebbé válik a toborzás, és kevésbé kell repressziótól tartani; a befektetési lehetőség még vonzóbbnak tűnik, ami lehetővé teszi, hogy több ezer befektetőt szervezzenek be a rendszerbe.

Az Adok-kapok piramisjátékban sok befizető kapott kedvet a befektetéshez a korábbi sikeres kifizetések történetétől, sőt esetenként maguk is tanúi voltak ezeknek a kifizetéseknek. A játék szervezői, Fox és Chalmers fényűző zárt körű partikat adtak a Somerset Hotelben, amelynek Chalmers volt a tulajdonosa. A partikon osztogatott szórólapokon a játék résztvevőinek képei díszelegtek, ahogy pénzzel borított ágyon terpeszkednek vagy tele maréknyi ötvenfontos bankjegyet szorongatva integetnek a kamerának. A szervezők minden ilyen partira meghívtak néhány „menyasszonyt a játékból – azokat a személyeket (legtöbbször nőket), akik a saját piramisukban a „pilóta pozícióig jutottak, így jogosulttá váltak a kifizetésre. A „menyasszonyoknak a potenciális befektetőkből álló, két-háromszáz fős közönség előtt néhány egyszerű kérdésre kellett válaszolniuk, mint például: „Pinokkiónak melyik testrésze nőtt meg, amikor hazudott?

A rendszerbe beépített „kvíz egy jogi kiskaput volt hivatott kihasználni, ami Fox és Chalmers elképzelése szerint megengedte ezt a fajta befektetést, amennyiben a „tudásra építenek. Az egyik ilyen esemény mobiltelefonos felvételén hallani, ahogy Fox azt kiabálja: „A saját otthonunkban játszunk szerencsejátékot, és az legális! Ebben viszont tévedett. Miles Bennet, a jogász, aki vádat emelt az ügyben, így magyarázta meg a dolgot: „A kvíz olyan könnyű volt, hogy a kifizetésre jogosultak között egy sem akadt, aki ne kapta volna meg a pénzét. Akár segítséget is kérhettek a kérdéseknél egy barátjuktól vagy valamelyik zsűritagtól, és a zsűri ismerte a válaszokat!

Mindez nem akadályozta meg Foxot és Chalmerst abban, hogy ezeket a díjátadó partikat felhasználják egyszerű eszközökkel dolgozó, vírusként terjedő marketingkampányukban. Látva, hogy a „menyasszonyok" átveszik 23 000 fontos csekkjeiket, sok meghívott vendég befektette a pénzét, majd