Cyfri’n Cewri: Hanes Mawrion ein Mathemateg

By Gareth Ffowc Roberts

Mae Cyfri’n Cewri yn dathlu bywyd a gwaith mathemategwyr a gysylltir â Chymru. Pan gyfansoddwyd yr anthem genedlaethol ym 1856, roedd Cymru ym merw y Chwyldro Diwydiannol, gyda chymdeithasau gwyddonol yn codi fel madarch ar hyd a lled y wlad. Erbyn diwedd y ganrif, roedd ein dehongliad o’n diwylliant fel un sy’n cynnwys y gwyddorau yn ogystal â’r celfyddydau wedi culhau i gynnwys barddoniaeth, cerddoriaeth a chrefydd ar draul bron i bopeth arall. Yn dilyn poblogrwydd ei gyfrol Mae Pawb yn Cyfrif, mae’r awdur yma’n defnyddio’r un arddull i’n gwahodd i ymfalchïo yn ein mathemategwyr ac i ddangos sut y mae’r rhod wedi troi.

• Language: Cymraeg
• Publisher: Gwasg Prifysgol Cymru
• Release date: Jul 1, 2020
• ISBN: 9781786835963

Book preview

1 RWYF YN MEDDWL AM RIF

Dinbych-y-pysgod

Robert Recorde 1512?–1558

Seiliwyd y cerflun, sy’n dyddio o 1910, ar lun o Recorde sydd bellach ym Mhrifysgol Caergrawnt. Profwyd erbyn hyn fod y llun gan artist o’r Iseldiroedd yn yr 17eg ganrif. Nid Recorde yw hwn, felly, ond y ddelwedd hon sy’n parhau’n sail i luniau cyfoes ohono.

Cerflun o Robert Recorde yn Eglwys y Santes Fair, Dinbych-y-pysgod.

Yr hafaliad cyntaf erioed i gynnwys yr arwydd hafal (The Whetstone of Witte (1557))

Un noson yn Ninbych-y-pysgod Ymwelais â’r eglwys, a chanfod Dwy linell gyfochrog:

Y symbol byd-enwog O waith y dihafal Bob Cofnod.

Dienw

Rhowch gynnig ar y tri phos hyn:

Rwyf yn meddwl am rif. Dwbl y rhif yw 8. Beth yw’r rhif?

Rwyf yn meddwl am rif arall. Wrth adio 5 ato caf yr ateb 12. Beth yw’r rhif?

Rwyf yn meddwl am drydydd rhif. Wrth adio 5 at ddwbl y rhif caf yr ateb 27. Beth yw’r rhif y tro hwn?

Gawsoch chi hwyl arni? Sut aethoch chi ati i gael eich atebion? Mae rhai yn ei chael hi’n haws wrth feddwl am y rhif coll mewn bocs, neu’n cael ei guddio gan gwmwl, ac yn ‘gweld’ y pos cyntaf ‘yn eu pennau’, rywbeth yn debyg i hyn:

dwbl yw 8. Pa rif sydd yn y bocs?

neu

dwbl yw 8.

Pa rif sy’n cael ei guddio gan y cwmwl?

A ydy hynny o gymorth?

Byddai’r trydydd pos yn gallu edrych yn debyg i hyn:

dwbl adio 5 yw 27.

Pa rif sy’n cael ei guddio gan y cwmwl y tro hwn?

Cam pellach, sy’n dipyn o naid, yw defnyddio symbol i gynrychioli’r rhif coll. Yn draddodiadol, y symbol sy’n cael ei ddefnyddio amlaf yw’r llythyren x ac mae’r posau yn gallu ymddangos fel hyn:

Rwyf yn meddwl am rif, x. Dwbl x yw 8. Beth yw x?

Rwyf yn meddwl am rif arall, x. Wrth adio 5 at x caf yr ateb 12. Beth yw x?

Rwyf yn meddwl am drydydd rhif, x. Wrth adio 5 at ddwbl x caf yr ateb 27. Beth yw x y tro hwn?

Sylwch fy mod wedi defnyddio x ymhob pos. Dydy’r dewis o symbol ddim yn bwysig, boed yn focs neu gwmwl neu x neu y neu’n llun o gath neu o eliffant, neu beth bynnag sy’n dod i’ch pen. Llythrennau’r wyddor yw’r dewis arferol ac mae x ac y ymysg y mwyaf poblogaidd, er nad oes unrhyw beth arbennig o gwbl ynghylch x ac y. Ond wrth feddwl am eich profiadau o ddyddiau ysgol, ac o wersi algebra yn arbennig, mae’n bosibl mai’r symbolau x ac y sy’n dod i flaen y cof. Mae hefyd yn bosibl eich bod yn cofio’r teimlad o fod ar goll yn sydyn a’r llenni’n disgyn wrth ichi wynebu pethau fel hyn:

2x = 8. Beth yw x?

x + 5 = 12. Beth yw x?

2x + 5 = 27. Beth yw x?

Mae’r newid o drin rhifau i drin symbolau yn un anferth ac yn ormod o naid i lawer oni bai fod plant ysgol (ac oedolion) yn cael eu cyflwyno i’r defnydd o symbolau yn ofalus, fesul cam.

Fedrwch chi uniaethu â’r teimlad sy’n cael ei fynegi yn y neges Saesneg hon?

Dear Algebra

Please stop asking us to find your x. She’s never coming back, and don’t ask y.

Ond does dim i’w ofni. Ystyriwch yr x fel y rhif yn y bocs neu’r rhif sy’n cuddio y tu ôl i’r cwmwl a’r gamp yw darganfod pa rif sydd yno. Hynny, yn syml, yw natur pob hafaliad.

Nid peth diweddar yw algebra. Datblygwyd rhai o’r syniadau cynharaf dair mil a mwy o flynyddoedd yn ôl gan y Babiloniaid ac wedyn gan y Groegwyr. Daw’r gair modern algebra o’r Arabeg al-jabr, un o’r technegau a ddefnyddiwyd gan y mathemategydd Arabaidd al-Khwārizmī tua 800 oc. Yn enedigol o’r rhan honno o’r Dwyrain Canol sydd heddiw yn Uzbekistan roedd al-Khwārizmī yn seryddwr ac yn ddaearyddwr yn ogystal â bod yn fathemategydd. Gweithiodd ac astudiodd mewn canolfan ddysg bwysig a dylanwadol yn Baghdad. Bu newid byd ers hynny.

Roedd Robert Recorde yn rhan o gynnwrf y Dadeni yn Ewrop wrth ailddarganfod ffrwyth yr oes glasurol a’r datblygiadau yn y Dwyrain Canol, gan gynnwys gwaith al-Khwārizmī. Un o gampau Recorde oedd ei gyfraniad at ddatblygiad algebra mewn ffordd arbennig iawn.

Ganed Robert Recorde yn Ninbych-y-pysgod yn y flwyddyn 1512, yn ôl pob tebyg. Yn y dref honno, yn hogyn bach, y taniwyd ei ddiddordeb mewn rhifau a mathemateg yn gyffredinol. Wedi iddo dyfu a graddio mewn mathemateg yn Rhydychen ac yna mewn meddygaeth yng Nghaergrawnt, cyflogwyd Recorde gan y Goron i fod yn gyfrifol am oruchwylio gwaith y bathdai brenhinol ym Mryste, Dulyn a Llundain ac am y mwynfeydd arian yn yr Iwerddon. Roedd yn atebol i Iarll Penfro, aelod o’r Cyfrin Gyngor. Roedd Recorde yn ŵr gonest a chyfrifol, ond nid oedd ganddo fawr o sgiliau gwleidyddol mewn cyfnod o dwyll ac ystryw. Cyhuddodd ei feistr, Penfro, o dwyllo’r Goron wrth gyfeirio peth o elw’r bathdai i’w boced ei hun. Ymateb Penfro oedd cyhuddo Recorde o’i enllibio, a llusgwyd Recorde o flaen ei well i ateb ei gyhuddwr. Collodd Recorde yr achos – roedd grym gwleidyddol Penfro yn drech nag ef – a gosodwyd dirwy arno o fil o bunnoedd. Doedd dim modd yn y byd i Recorde dalu’r fath swm ac fe’i dedfrydwyd i garchar dyledwyr yn Llundain. O fewn rhai misoedd roedd wedi dal haint yn y carchar a bu farw yno yn y flwyddyn 1558. Rai blynyddoedd yn ddiweddarach, dan deyrnasiad y Frenhines Elisabeth, ailagorwyd yr achos a chafwyd mai Recorde oedd wedi dweud y gwir. Roedd yn rhy hwyr erbyn hynny, wrth gwrs, ond rhoddwyd tiroedd yn Ninbych-y-pysgod i deulu Recorde fel iawndal.

Un noson yn Ninbych-y-pysgod

Rhwng Recorde a’r Iarll bu anghydfod.

Er cyfiawn ei lais

Fe’i cosbwyd drwy drais,

Nid ‘hafal’ oedd pawb yn y cyfnod.

Peter Griffiths

Cyfraniad pwysicaf Recorde oedd cyfoeth y llyfrau mathemateg a gyhoeddodd. Roedd wedi meddwl yn ddwfn ynghylch sut orau i gyflwyno syniadau mathemategol i blant ac oedolion, yn arbennig i rai nad oeddynt wedi derbyn addysg ffurfiol mewn Lladin a Groeg. Ef oedd y cyntaf i ysgrifennu llyfrau am fathemateg yn Saesneg, er mwyn sicrhau eu bod yn ddealladwy i drwch poblogaeth Prydain, rhai y cyfeiriodd Recorde atynt fel ‘the vnlearned sorte’. Gosododd safon na wellwyd arno am dair canrif. Ef, mewn gwirionedd, oedd athro mathemateg cyntaf yr ynysoedd hyn.

Mae Recorde yn enwog yn bennaf gan mai ef a ddyfeisiodd yr arwydd hafal, ‘=’, arwydd sydd mor gyfarwydd i ni heddiw, a’r arwydd sy’n sail i bob hafaliad sydd yn y llyfr hwn. Mae’r arwydd yn cael ei gymryd yn ganiataol erbyn hyn ond roedd ei gyflwyno gan Recorde yn naid enfawr wrth i fathemateg ddatblygu.

Mae’r hafaliad cyntaf a ysgrifennodd Robert Recorde yn ei lyfr ar algebra, The Whetstone of Witte, yn edrych yn beth od ar y naw i ni, ychydig dros bedwar cant a hanner o flynyddoedd wedyn. Yr hafaliad hwn yw’r un cyntaf i ymddangos mewn print gan ddefnyddio’r arwydd hafal a ddyfeisiwyd gan Recorde. Peidiwch â dychryn, ond dyma fo:

Yr hafaliad cyntaf, o lyfr Robert Recorde, The Whetstone of Witte (1557).

Mae’n werth oedi i bendroni dros yr hafaliad hwn gan ei fod yn cynrychioli ymdrechion mathemategwyr cyfnod y Dadeni i gyfuno symbolau amrywiol er mwyn symleiddio’u gwaith. Mae’r hafaliad yn mynegi rhywbeth sy’n gyfarwydd iawn i ddisgyblion ysgol yr oes bresennol. Dyma fyddai ffurf yr hafaliad heddiw:

14x + 15 = 71

Y sialens yw dyfalu gwerth y symbol ‘x’. Meddyliwch am yr hafaliad fel pos: rwyf yn meddwl am rif, yn lluosi’r rhif hwnnw gydag 14, yn adio 15 at hynny ac yn cael yr ateb 71. Beth oedd fy rhif cyntaf? Buan iawn y cewch chi mai 4 ydy’r rhif sy’n ateb y gofyn. A defnyddio’r jargon modern, gwerth y rhif x sy’n bodloni’r hafaliad 14x + 15 = 71 yw 4.

Ond beth am y symbolau eraill sydd yn hafaliad gwreiddiol Recorde? Mae rhai yn gyfarwydd, ac eraill yn ddieithr iawn. Y symbolau hynaf yn yr hafaliad, y rhai sy’n gyfarwydd iawn i ni, yw’r rhai sy’n cynrychioli rhifau, sef 14, 15 a 71. Y symbolau hyn yw’r rhifau Hindŵ-Arabaidd sy’n dyddio’n ôl i tua 600 oc. O’r India, teithiodd y rhifau hyn drwy wledydd y Dwyrain Canol, ar hyd gogledd Affrica, draw i Sbaen ac ymlaen i weddill Ewrop, gan gyrraedd Prydain erbyn tua diwedd y 15fed ganrif – taith hir ac araf. Cyn hynny, y rhifau Rhufeinig cymhleth, rhai fel clviii (am 158) a mmdcxxix (am 2,629), oedd yn cael eu defnyddio. Yn ei gyfrol ar rifyddeg, The Ground of Artes, a gyhoeddodd yn 1543, mae Recorde yn cychwyn drwy gyflwyno’r rhifau ‘newydd’ i’w ddarllenwyr gan ddweud:

And fyrste marke that there are but. x. figures, that are vsed in arithmetike, and of those .x. one doth sygnifie nothing, which is made lyke an o…The other. ix. are called sygnifienge figures, & be thus figured:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

And this is theyr valewe.

i. ii. iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix.

O’i drosi i Gymraeg heddiw:

Sylwch i gychwyn mai dim ond deg symbol sy’n cael eu defnyddio mewn rhifyddeg. O’r deg hynny, mae un ohonynt yn cynrychioli dim, ac yn cael ei lunio fel 0…Cyfeirir at y naw arall fel ffigurau arwyddocaol ac maent yn edrych fel hyn:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A dyma’u gwerth.

i. ii. iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix.

Hynny yw, roedd angen i Recorde gyflwyno’r rhifau ‘newydd’ i’w ddarllenwyr, gan eu hegluro wrth gyfeirio at y rhifau Rhufeinig ‘cyfarwydd’.

Mae symbol arall yn yr hafaliad sy’n gyfarwydd iawn i ni heddiw, sef yr arwydd ‘+’ i gynrychioli adio. Mae siâp y symbol yn yr hafaliad fymryn yn wahanol i’r ‘+’ modern, ond mae’n gwbl ddealladwy serch hynny. O’r Almaen a’r Eidal y daeth y symbol hwn, rywbryd yn ystod blynyddoedd olaf y 15fed ganrif. Cyn hynny defnyddiwyd geiriau i gyfleu’r syniad o adio, yn arbennig y gair Lladin et sy’n cyfateb i’r Gymraeg ‘a’ neu ‘ac’ ac i’r Saesneg ‘and’, ac mae’n bosibl y datblygodd y symbol ‘+’ fel talfyriad o et, wrth ganolbwyntio ar groesi’r ‘t’. Cyflwynwyd yr arwydd hwn i Brydain, ynghyd â’r arwydd ‘-’ am dynnu, gan Robert Recorde, yn 1557, yn ei lyfr ar algebra: ‘There be other. 2. signes in often vse, of whiche the firste is made thus + and betokeneth more: the other is thus made – and betokeneth lesse.’

Ond beth am y symbolau a sy’n gwbl ddieithr i’n llygaid modern ni? Roedd Recorde yn gyfarwydd â gwaith mathemategwyr Ewrop, yn arbennig y rhai a oedd yn defnyddio’r iaith Ladin i gyflwyno eu syniadau, iaith a oedd yn rhyw fath o lingua franca ar draws Ewrop. Roedd wedi cael blas arbennig ar lyfrau y mathemategydd o’r Almaen Johannes Scheubel (1494–1570) ac wedi defnyddio rhai o syniadau Scheubel wrth ysgrifennu ei lyfr ei hun ar algebra. Mae un o lyfrau Scheubel ymysg trysorau Llyfrgell Genedlaethol Cymru yn Aberystwyth, a pherchennog gwreiddiol y llyfr hwnnw wedi ysgrifennu ambell nodyn mewn Lladin ar ymyl y ddalen wrth iddo bori drwy’r llyfr. Mae Ulrich Reich, mathemategydd o’r Almaen sydd wedi astudio dylanwad gwaith Scheubel ar Recorde, wedi awgrymu mai Recorde ei hun oedd y perchennog a bod yr ychydig eiriau hyn yn enghraifft brin o’i