Primtal: Mønstre og logik. Tvillingernes mønstre, beregninger og uendelighed.

By Poul Erik Kristensen

Al tale om primtallenes mere eller mindre tilfældige placering i talrækken må nu forstumme. Denne bog viser, at primtallene ligger placeret i ganske bestemte mønstre, det ene efter det andet, hele talrækken igennem. Det drejer sig blot om at forstå deres inderste logik.
Den viser også, hvorledes primtalstvillingerne ligger placeret i mønstre, og hvorledes det går med dem talrækken igennem. Det kan ikke blot konstateres empirisk. Primtalstvillingernes antal kan simpelthen beregnes helt nøjagtigt i de enkelte mønstre.
Bogen er først og fremmest grundforskning, men indeholder ikke en eneste formel. Den kan læses af alle, der kender talrækken. Hvor svært kan det være!
Bogen har et fyldigt resume på engelsk.

• Language: Dansk
• Publisher: Books on Demand
• Release date: Sep 6, 2016
• ISBN: 9788771886795

Poul Erik Kristensen

Poul Erik Kristensen, født 1948, cand. mag. i historie 1975, skrev historiske artikler allerede i studietiden, fik udgivet sin første bog i 1979. Poul Erik Kristensen har i sit arbejdsliv især været beskæftiget med forskning, skriftlig formidling og undervisning. Det er således blevet til mere end 20 bøger, især lokalhistorie og historiske jubilæumsskrifter inden for bl.a. bank og sundhedssektoren, som alle bygger på solide forskningsresultater. Samtidig er de skrevet i et letforståeligt sprog. Poul Erik Kristensen har desuden betydelig erfaring i at bearbejde ældre bøger, så de kommer i overensstemmelse med nutidens sprogbrug. Foruden historiske bøger har han også bearbejdet en lang række klassiske romaner og novellesamlinger, især af Jeppe Aakjær, Johan Skjoldborg og Henrik Pontoppidan.

Book preview

65

Indledning

I 1977 sad jeg en dag for sjov og skrev primtal ned på et stykke papir, den ene kolonne efter den anden. Opstillingen var ganske tilfældig, men de tilfældige kolonner viste nogle tydelige mønstre.

I 1995 ville jeg en eftermiddag snuppe en halv time på sofaen. I stedet for at falde i søvn kom jeg til at tænke på primtalstvillinger, og uden forudgående varsel så jeg for mig, hvorledes det måtte være muligt at lave beregninger over udviklingen i primtalstvillingernes antal frem gennem talrækken.

I årenes løb har jeg nu og da hevet primtallene frem for at arbejde med mine opdagelser, og der skal virkelig lægges tryk på ordet arbejde. De to nævnte åbenbaringer i henholdsvis 1977 og 1995 er grundstenene i mine resultater, men der er brugt i hundredvis af timer på at udvikle og forstå logikken i disse grundsten.

Min lille bog er ikke videnskabeligt funderet i den forstand, at den bygger på tidligere forskningsresultater. Kun har den såkaldte Eratosthenes’ si, der har over 2000 år på bagen, været mit altafgørende udgangspunkt, men så er det også sagt. Ellers har det stort set været en ren intellektuel øvelse, som er lavet for sjov.

Sådan måtte det næsten være. Der er skrevet mange artikler og bøger, som yder væsentlige bidrag til primtalsforskningen, men de har ikke haft min interesse, da de ikke har forstået, at primtallene er placeret i mønstre. I min optik betyder dette samtidig, at de ikke har forklaret primtallenes sande logik.

Livet igennem har jeg arbejdet en del med tabeller og tal og føler vel også, at jeg har en vis talforståelse. Men jeg er ikke matematiker. Det er min store svaghed! Mange af mine beskrivelser kunne ganske afgjort have fremstået meget kortere, tydeligere og måske også mere korrekte ved at benytte matematiske formler og sprogbrug. Desuden skal jeg heller ikke afvise, at jeg kan have fremsat f.eks. påstande eller konklusioner, som ikke på tilstrækkelig vis er videnskabeligt underbyggede. Blot håber jeg så, at de måske kan sætte noget i gang hos andre.

Jeg er altså den glade amatør, men trods alle forbehold er jeg dog ikke i tvivl om, at jeg med denne bog fremlægger ny viden og inspiration. Hvem har nemlig ellers konkret påvist, at primtallene hele den uendelige talrække igennem ligger placeret i ganske bestemte mønstre, det ene efter det andet, og at primtallenes hyppighed talrækken igennem er faldende i overensstemmelse med den logik, der ligger bag disse mønstre.

På samme måde er det med primtalstvillingerne. De ligger også i ganske bestemte mønstre. Der er endda så meget logik i det hele, at primtalstvillingernes antal simpelthen kan beregnes i de enkelte simønstre.

Eratosthenes’ si

Et primtal kan defineres som et naturligt tal, der altid har 2 og kun 2 divisorer, nemlig tallet 1 og tallet selv.

Denne definition er almindelig anerkendt, og den vil også blive brugt i denne bog, selv om der ud fra en filosofisk tankegang kan argumenteres for, at der er noget selvmodsigende i at betegne tallet 1 som divisor, da det ligger i selve begrebet divisor, at den skal dele et eller andet. Ved at dividere med tallet 1 er der netop ikke noget, der bliver delt. Det, der skal deles, bliver bevaret i sin helhed.

Vi kan også sige, at primtallene er grundtallene i den naturlige talrække. Alle de øvrige tal, med undtagelse af tallet 1, er multipla af primtal; altså sammensatte tal med mere end 2 divisorer.

Allerede en af oldtidens kendte græske matematikere, Eratosthenes fra Kyrene (ca. 276 – 194 fvt.), angav en simpel empirisk metode til at bestemme primtallene. Han fjernede blot alle de tal fra en given talrække, som ikke opfyldte primtalsdefinitionen. Den enkle fremgangsmåde i Eratosthenes’ si er følgende:

Først fjernes tallet1, som er noget helt for sig selv. Det vil naturligvis være ganske absurd at kalde det for et sammensat tal, da det er det første hele tal i den positive talrække. På den anden side har vi valgt at definere et primtal som havende 2 divisorer, og her kan der altså kun blive tale om en enkelt divisor.

Tallet 2 opfylder definitionen på et primtal og fjernes derfor ikke. Det gør derimod alle større tal, som 2 går op i, da disse tal nødvendigvis må have flere end 2 divisorer.

Herefter vender vi tilbage til det første ikke-fjernede tal efter tallet 2, hvilket vil sige tallet 3. Når det ikke er fjernet, kan der kun være en enkelt divisor blandt de forudgående tal, nemlig tallet 1. Altså er tallet 3 et primtal ifølge vor definition. Herefter fjernes alle følgende tal, som 3 går op i, da disse tal nødvendigvis må have flere end 2 divisorer.

Vi fortsætter efter samme fremgangsmåde med tallene 5, 7 osv., alt efter hvor stor en talrække vi har lavet. I det viste eksempel kan vi se, at der er fjernet 75 tal blandt de første 100 naturlige tal. Tilbage står der 25 tal, som hver især har 2 og kun 2 divisorer, nemlig tallet 1 og tallet selv. Vi har fundet de 25 primtal, som findes i den talrække, der går fra 1 til 100.

Eratosthenes’ si kan bruges på en vilkårlig stor talrække til at bestemme primtallene. Kravet er blot, at der altid skal være tale om en afsluttet talrække. I den uendelige talrække vil man jo kunne blive ved med at dividere med 2, og så kommer vi aldrig videre.

Siernes logik

Når vi betragter en større talrække, hvor Eratosthenes’ si har været benyttet, får vi umiddelbart det indtryk, at de fremkomne primtal optræder med en vis vilkårlighed. Hvis vi vil lede efter et logisk fordelingsmønster for primtallene,