最小境界ボックス: コンピューター ビジョンにおける空間最適化の力を明らかにする

By Fouad Sabry

最小境界ボックスとは

幾何学では、N 次元の点セット S の最小境界ボックスまたは最小境界ボックスは、すべての点がその中に収まる最小の尺度を持つボックスです。他の種類の尺度が使用される場合、最小ボックスは通常、それに応じて、たとえば「最小周囲境界ボックス」と呼ばれます。

どのようなメリットがあるのか

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: 最小境界ボックス

第 2 章: 凸包

第 3 章: 衝突検出

第 4 章: 計算幾何学

第 5 章: 境界ボリューム

第 6 章: 境界球

第 7 章: R ツリー

第 8 章: 凸多面体

第 9 章: 最小外接長方形

第 10 章: 凸包アルゴリズム

(II) 最小境界ボックスに関する一般のトップの質問に答える。

(III) 多くの分野における最小境界ボックスの使用例の実例。

この本は誰に向けたものなのか

専門家、学部生、大学院生、愛好家、趣味人、およびあらゆる種類の最小境界ボックスに関する基本的な知識や情報を超えたい人。

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: May 5, 2024

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第 1 章: 最小境界ボックス

N 次元の点集合 S の最小または最小の境界または囲みボックスは、すべての点を含む最小のメジャー (高次元の面積、体積、またはハイパーボリューム) を持つボックスです。異なる測定単位が採用されている場合、最小ボックスは通常、最小周長境界ボックス と呼ばれます。

点集合の最小バウンディングボックスが、その凸包の最小バウンディングボックスと同一であるという事実を利用して、計算を高速化できます。

「ボックス」と「ハイパーレクタングル」のラベルは、デカルト座標系での使用に由来し、長方形(2次元の場合)、直方体(3次元のインスタンス)などとして表されます。

2 次元では、最小外接四角形と呼ばれます。

特定の点集合の軸に平行な最小境界ボックス (AABB) は、エッジが (直交座標) 座標軸に平行な最小境界ボックスです。これは、S の各点に関連する座標の最小値と最大値によって決定される N 間隔のデカルト積です。

軸に平行な最小境界ボックスは、オブジェクトの位置を近似し、その形状を非常に基本的な方法で記述するために使用されます。計算幾何学とそのアプリケーションでは、たとえば、オブジェクトのグループ内の交差を見つける必要がある場合、それらのMBB間の交差が最初のチェックとして機能します。通常、実際の交差チェックよりもかなりコストのかからない操作であるため (単に座標比較を必要とするため)、遠く離れたペアのチェックをすばやく省略できます。

任意の方向の最小バウンディング ボックスは、方向の制限なしで計算される最小のバウンディング ボックスです。回転ノギス法に基づく最小境界ボックス アルゴリズムは、線形時間における 2 次元凸ポリゴンの最小面積または最小周長境界ボックスと、その凸包の構築に必要な時間で設定された 3 次元点の最小面積または最小周長境界ボックスとそれに続く線形時間計算を求めることができます。

オブジェクトが独自のローカル座標系を持つ場合、これらの軸を基準にしてバウンディング ボックスを保存すると、オブジェクト自体の変換が変化しても変換が不要になるので便利です。

デジタル画像処理では、バウンディングボックスは、デジタル画像がページ、キャンバス、画面、またはその他の二次元の背景に表示されるときに完全に囲まれる長方形の境界線の座標です。

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第2章:凸包

ジオメトリ内の形状の凸包、凸包絡、または凸閉包は、形状を含む最小の凸集合です。凸包は、ユークリッド空間の特定の部分集合を含むすべての凸集合の交点として、または部分集合内の点のすべての凸組み合わせの集合として定義することができる。平面の有界部分集合の場合、凸包は延長された輪ゴムに含まれる形式と見なすことができます。

開集合は開集合の凸包であり、コンパクト集合はコンパクトな凸包を持ちます。

各凸コンパクトセットは、その端の凸包です。

凸包演算子は閉包演算子の例であり、すべてのアンチマトロイドは、この閉包演算子を有限点集合に適用することで表すことができます。

平面やその他の低次元ユークリッド空間内の有限個の点の凸包を見つけることは、アルゴリズム上の課題を提示し、半空間の重なりという二重の問題は、計算幾何学の本質的な問題です。

これらは、2次元または3次元の点集合に対して時間内に解くことができ、高次元の上限定理によって与えられる最悪の場合の出力の複雑さに時間的に一致 O(n\log n) させることができます。

凸包は、有限点集合に加えて、単純な多角形、ブラウン運動、空間曲線、および関数のエピグラフについても検討されています。数学、統計学、組合せ最適化、経済学、幾何学的モデリング、動物行動学では、凸包には多くの用途があります。凸頭蓋骨、直交凸包、凸層、ドローネ三角測量、ボロノイ図は関連する構造です。

ユークリッド空間内の点の集合は、その点の各ペアを結ぶ線分を含む場合、凸になります。

与えられた集合の凸包は X 、次のように定義できます。

以下を含む(一意の)最小凸集合 X

以下を含むすべての凸集合の交点 X

の点のすべての凸の組み合わせの集合 X

のすべての単純化と頂点の和集合 X

単線ではなくユークリッド平面で制限される集合の場合、凸包の境界は、 を含む最小周長を持つ単純な閉じた曲線です X 。

輪ゴムをセット全体を囲むように伸ば S し、それを解放して収縮させることを想像する人もいるかもしれません。 締め付けると、 の凸包が囲まれます S 。

3 次元オブジェクトの場合、凸包の初期定義では、凸包が可能な限り最小の凸状バウンディング ボリュームであることが指定されています。凸集合の交叉を用いた定義は非ユークリッド幾何学に拡張でき、凸の組み合わせを用いた定義はユークリッド空間から任意の実ベクトル空間またはアフィン空間に拡張することができる。凸包は、配向マトロイドに抽象的に一般化することもできます。

最初の定義が意味をなすかどうかは明らかではありません:なぜ X すべての に対して を含む一意の X 最小凸集合が存在する必要がありますか?しかし、2番目の意味である、 を含むすべての凸集合の交点 X は明確に定義されています。

これは、 を含む他のすべての凸集合の部分集合であり Y X 、 は交差する集合に含まれる Y ためです。

したがって、これは正確に を含む一意の最小凸集合です X 。

したがって、最初の 2 つの定義は同じです。

を含む各凸集合 X は、(凸であるという仮定により) の点のすべての凸の組み合わせを含む必要がある X ため、すべての凸の組み合わせの集合は、 を含むすべての凸集合の交点に含まれます X 。

逆に、すべての凸の組み合わせの集合は、それ自体が を含む凸集合であるため、 X を含むすべての凸集合の交点も含む X ため、2 番目と 3