直接線形変換: コンピュータビジョンにおける実際の応用と技術

By Fouad Sabry

直接線形変換とは

DLT とも呼ばれる直接線形変換は、一連の類似関係を作業要素として使用して変数セットを解くアルゴリズムです。 セット。 射影幾何学の分野では、この種の関係は非常に頻繁に発生します。 現実世界の状況に適用できる例には、ホモグラフィーや、シーン内の 3 次元点とピンホール カメラの画像面への投影の間の関係が含まれます。

どのようなメリットがあるか

(I) 次のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: 直接線形変換

第 2 章: 線形マップ

第 3 章: 線形部分空間

第 4 章: コレスキー分解

第 5 章: 可逆行列

第 6 章: 二次形式

第 7 章: 同次関数

第 8 章: カーネル (線形代数)

第 9 章: プリュッカー座標

第 10 章: 制御理論における TP モデル変換

(II) 直接線形変換に関する一般のよくある質問に答えます。

(III) 多くの分野での直接線形変換の使用例の実例。

本書の対象者

専門家、学部生および大学院生、愛好家、愛好家、およびあらゆる種類の直接線形変換に関する基本的な知識や情報を超えたいと考えている人。

 

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Apr 30, 2024

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第 1 章: 直接線形変換

変数のセットは、直接線形変換 (DLT) と呼ばれる手法を使用して、一連の類似関係によって解くことができます。

{\mathbf {x}}_{{k}}\propto {\mathbf {A}}\,{\mathbf {y}}_{{k}} 対して \,k=1,\ldots ,N

ここで {\mathbf {x}}_{{k}} 、 {\mathbf {y}}_{{k}} と は既知のベクトルであり、 \,\propto 未知のスカラー乗算までの等価性を示し、 \mathbf {A} は解くべき未知数を含む行列 (または線形変換) です。

射影幾何学では、これは一般的な種類の関係です。同形異義語と、3D シーン ポイントとそのピンホール カメラ投影の関係は、そのような 2 つの例です。

簡単に言えば、線形方程式系です

{\mathbf {x}}_{{k}}={\mathbf {A}}\,{\mathbf {y}}_{{k}} 対して \,k=1,\ldots ,N

は、たとえば、行列 {\mathbf {X}}={\mathbf {A}}\,{\mathbf {Y}} と {\mathbf {X}} がベクトルを含 {\mathbf {Y}} み、 {\mathbf {x}}_{{k}} それぞれの列に {\mathbf {y}}_{{k}} 行列式として書き直すことによって解くことができます。

この問題に対する答えは1つしかないので、

{\mathbf {A}}={\mathbf {X}}\,{\mathbf {Y}}^{{T}}\,({\mathbf {Y}}\,{\mathbf {Y}}^{{T}})^{{-1}}.

方程式が決定された場合、または決定が不十分な場合は、解決策を記述することもできます。

直接線形変換問題と前述の典型的な例との違いは、定義方程式の左辺と右辺を分ける乗法係数がパラメータkに依存することです。

したがって、 \mathbf {A} 標準的な場合のように計算することはできません。

代わりに、このアプローチでは、類似関係は通常の線形同次方程式に変換されます。

直接線形変換 (DLT) アルゴリズムは、類似度方程式を同次線形方程式として書き直し、確立された方法を使用してそれらを解くことを組み合わせます。

Ivan SutherlandはDLTの開発者として知られています。

とします {\displaystyle k\in \{1,...,N\}} 。

{\displaystyle \mathbf {x} _{k}=(x_{1k},x_{2k})\in \mathbb {R} ^{2}} と {\displaystyle \mathbf {y} _{k}=(y_{1k},y_{2k},y_{3k})\in \mathbb {R} ^{3}} を 2 つの既知のベクトルとし、次のような 2\times 3 行列を見つけたい \mathbf {A} とします。

\alpha _{{k}}\,{\mathbf {x}}_{{k}}={\mathbf {A}}\,{\mathbf {y}}_{{k}}

ここで、 \alpha _{{k}}\neq 0 は方程式 k に関連する未知のスカラー因子です。

反対称行列を定義して自由スカラーを除去し、同次方程式を生成します。

{\mathbf {H}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

方程式の両辺に {\mathbf {x}}_{{k}}^{{T}}\,{\mathbf {H}} 左から乗算します

{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} )\,\alpha _{k}\,\mathbf {x} _{k}&=(\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} )\,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}\\\alpha _{k}\,\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} \,\mathbf {x} _{k}&=\mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} \,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}\end{aligned}}}

現在、謎のスカラーを欠いている次の同次方程式が手元に {\mathbf {x}}_{{k}}^{{T}}\,{\mathbf {H}}\,{\mathbf {x}}_{{k}}=0, あるので、

{\displaystyle \mathbf {x} _{k}^{T}\,\mathbf {H} \,\mathbf {A} \,\mathbf {y} _{k}=0}

この一連の方程式から \mathbf {A} 解くには、ベクトル {\mathbf {x}}_{{k}} と {\mathbf {y}}_{{k}} 行列の要素を考えます \mathbf {A} 。

{\mathbf {x}}_{{k}}={\begin{pmatrix}x_{{1k}}\\x_{{2k}}\end{pmatrix}} 、 {\mathbf {y}}_{{k}}={\begin{pmatrix}y_{{1k}}\\y_{{2k}}\\y_{{3k}}\end{pmatrix}} 、および {\mathbf {A}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}\end{pmatrix}}

この場合、上記の同次方程式は次のように単純化されます。

0=a_{{11}}\,x_{{2k}}\,y_{{1k}}-a_{{21}}\,x_{{1k}}\,y_{{1k}}+a_{{12}}\,x_{{2k}}\,y_{{2k}}-a_{{22}}\,x_{{1k}}\,y_{{2k}}+a_{{13}}\,x_{{2k}}\,y_{{3k}}-a_{{23}}\,x_{{1k}}\,y_{{3k}}

対して \,k=1,\ldots ,N.

行列形式は、これに対しても同様に機能します。

0={\mathbf {b}}_{{k}}^{{T}}\,{\mathbf {a}} 対して \,k=1,\ldots ,N

ここで {\mathbf {b}}_{{k}} 、 と \mathbf{a} はどちらも 6 次元ベクトルで、次のように定義されます。

{\mathbf {b}}_{{k}}={\begin{pmatrix}x_{{2k}}\,y_{{1k}}\\-x_{{1k}}\,y_{{1k}}\\x_{{2k}}\,y_{{2k}}\\-x_{{1k}}\,y_{{2k}}\\x_{{2k}}\,y_{{3k}}\\-x_{{1k}}\,y_{{3k}}\end{pmatrix}} そして {\mathbf {a}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}\\a_{{21}}\\a_{{12}}\\a_{{22}}\\a_{{13}}\\a_{{23}}\end{pmatrix}}.

この時点で、1つの方程式と6つの変数があります。行列形式は、同次方程式系を表すために使用できます。

{\mathbf {0}}={\mathbf {B}}\,{\mathbf {a}}

ここで \mathbf {B} 、 は N\times 6 既知のベクトルを {\mathbf {b}}_{{k}} 行に保持する行列です。

未知数は \mathbf{a} 、例えば、 の特異値分解によって決定することができる \mathbf {B} 。 \mathbf{a} は、ゼロに等しい特異値に対応する \mathbf {B} 右特異ベクトルです。

\mathbf{a} 決定されると、行列の要素は \mathbf {A} ベクトルから再配置できます \mathbf {a} 。

or \mathbf{a} のスケーリング \mathbf {A} は重要ではないことに注意してください (ただし、定義式では未知のスケーリングが既に許容されているため、0 以外である必要があります)。

実際には、ベクトル {\mathbf {x}}_{{k}} と {\mathbf {y}}_{{k}} にはノイズが含まれている可能性があり、これは類似度方程式がほぼ有効であることを意味します。

したがって、 \mathbf{a} 同次方程式を正確に解くベクトルは存在しない可能性があります {\mathbf {0}}={\mathbf {B}}\,{\mathbf {a}} 。

このような状況では、最小二乗法は、 \mathbf{a} {\mathbf {B}}.

上記の例には {\mathbf {x}}_{{k}}\in {\mathbb {R}}^{{2}} と {\mathbf {y}}_{{k}}\in {\mathbb {R}}^{{3}} がありますが、類似関係を同次線形方程式に書き換えるための一般的な戦略は、 と の両方について任意の次元に一般化できます {\mathbf {x}}_{{k}} 。 {\mathbf {y}}_{{k}}.

if {\mathbf {x}}_{{k}}\in {\mathbb {R}}^{{2}} と {\mathbf {y}}_{{k}}\in {\mathbb {R}}^{{q}} 前の式は、まだ方程式につながる可能性があります

0={\mathbf {x}}_{{k}}^{{T}}\,{\mathbf {H}}\,{\mathbf {A}}\,{\mathbf {y}}_{{k}} 対して \,k=1,\ldots ,N

ここで、 \mathbf {A} now は 各 2\times q. k は の未知の要素 2q に 1 つの方程式を提供し \mathbf {A} 、これらの方程式を一緒に、 {\mathbf {B}}\,{\mathbf {a}}={\mathbf {0}} 既知の N\times 2\,q 行列 \mathbf {B} と未知の 2q 次元ベクトル {\mathbf {a}}. について記述できます。

最も一般的なケースでは、 {\mathbf {x}}_{{k}}\in {\mathbb {R}}^{{p}} と {\mathbf {y}}_{{k}}\in {\mathbb {R}}^{{q}} .

以前との主な違いは、マトリックスが \mathbf {H} 反対称になった p \times p ことです。

{\displaystyle p>2} そのような行列の空間がもはや一次元ではなくなるとき、それは測定可能なサイズを持っています。

M={\frac {p\,(p-1)}{2}}.

これは、k のすべての値に対して M 個の同次型の方程式が存在することを示唆しています。

0={\mathbf {x}}_{{k}}^{{T}}\,{\mathbf {H}}_{{m}}\,{\mathbf {A}}\,{\mathbf {y}}_{{k}} for \,m=1,\ldots ,M と for \,k=1,\ldots ,N

ここで {\mathbf {H}}_{{m}} 、 は反対称行列 p \times p の空間の M 次元基底です。

p = 3 の場合、次の 3 つの行列 {\mathbf {H}}_{{m}} を選択できます

{\mathbf {H}}_{{1}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}} 、、 {\mathbf {H}}_{{2}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}} {\mathbf {H}}_{{3}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.

この状況での同次線形方程式は、次のように表すことができます。

{\mathbf {0}}=[{\mathbf {x}}_{{k}}]_{{\times }}\,{\mathbf {A}}\,{\mathbf {y}}_{{k}} 対して \,k=1,\ldots ,N

ここで [{\mathbf {x}}_{{k}}]_{{\times }} 、 はベクトル外積の行列表現です。

この最後の方程式はベクトル値の多様性であり、左辺は の の 0 要素です {\mathbb {R}}^{{3}} 。

k の各値は、 の未知の要素に 3 つの同次線形方程式を提供します \mathbf {A} 。

ただし、 [{\mathbf {x}}_{{k}}]_{{\times }} はランク = 2 であるため、線形独立方程式の最大数は 2 です。

したがって、実際には、3つの行列のうち2つだけを使用するのが一般的です {\mathbf {H}}_{{m}} たとえば、m = 1、2の場合。

ただし、方程式間の線形依存関係は に依存する {\mathbf {x}}_{{k}} ため、不利な状況では、ピッキングが優れたオプションであった可能性があります (たとえば、 m = 2,3)。

したがって、方程式の数が問題でない場合は、行列を構築するときに3つの方程式すべてを使用する方が良い場合があります \mathbf {B} 。

結果として得られる同次線形方程式間の線形依存性は、ケースp>2の一般的な関心事であり、反対称行列の集合を減らすか、 {\mathbf {H}}_{{m}} 決定に必要以上に大きくすること \mathbf {B} によって対処する必要があります {\mathbf {a}}.

{チャプター1終了}

第2章:線形地図

数学、特に線形代数では、線形写像(または線形写像)は、線形変換、ベクトル空間の準同型、または一部の文脈では線形関数)が、ベクトル加算とスカラー乗算の操作を保持する2つのベクトル空間間の V\to W 写像である写像の一種です。

リング上のモジュールのより一般的なケースでは、同じ名前と定義が使用されます。Homomorphism of Modulesを調べる。

線形同型は、2つのベクトル空間間の全単射である。

の場合、 {\displaystyle V=W} 線形準同型は写像の別名である。

この状況は線形演算子と呼ばれることもありますが、「線形演算子」というフレーズが何を意味するかを定義するいくつかの明確な伝統があります。 その好例として、 V と W が実ベクトル空間であることを強調するために使用したり、 が関数空間であること {\displaystyle V=W} を強調するために使用したり、 V が関数空間であることを強調したりするために使用できます。 これは、関数分析の標準的な方法です。

線形関数は、一部のコンテキストでは線形マップと同じ意味を持つ可能性がありますが、分析はそうではないことを示しています。

V を W に線形にマッピングする場合、V の開始点は常に W の開始点にマッピングされます。さらに、V の原点を通る平面を W の原点を通る平面、W の原点を通る線、または W の原点のみにマッピングするなど、線形部分空間を V から W (より低い次元の可能性がある) に転送します。 回転と反射は、行列を使用して表現できる線形変換の 2 つの例です。

線形写像は圏論の専門用語でベクトル空間の射である。

と V を同じ体上のベクトル空間 W とする K 。

関数 f:V\to W は、任意の 2 つのベクトルと任意のスカラー {\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V} に対して、次の 2 つの条件が満たされ {\displaystyle c\in K} る場合に線形写像と呼ばれます。

追加、または追加する機能

{\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}

次数-1均質性/スカラー積の操作

{\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}

その結果、線形マップは操作を保持すると言います。言い換えると、線形写像が算術演算と乗算演算の前 (インスタンスの右側) に適用されるか、後 (例の左側) に適用されるかは関係ありません。

プラス記号 (+) の可換性により、任意のベクトル {\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V} とスカラー {\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,} に対して次の等式が成り立ちます。

{\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}

線形の組み合わせはそのようなマップによって保存されるため、その名前が付けられます。

ベクトル空間の零元と V W と {\textstyle \mathbf {0} _{V}}