射影幾何学: コンピューター ビジョンにおける射影幾何学の探索

By Fouad Sabry

射影幾何学とは

射影幾何学は、適用される変換に関係なく変化しない幾何学的な性質の研究に焦点を当てた数学の一分野です。これは、単純なユークリッド幾何学とは対照的に、射影幾何学は、明確な環境、プロジェクトの主題である空間、および基本的な幾何学的概念の限られたコレクションによって特徴付けられることを示しています。特定の次元について、基本的な直感は、射影空間にはユークリッド空間よりも多くの点があり、余分な点をユークリッド点に、またはその逆に変更する幾何学的変換が許可されるということです。

どのようなメリットがあるか

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: 射影幾何学

第 2 章: 射影平面

第 3 章: 射影空間

第 4 章: アフィン幾何学

第 5 章: デザルグの定理

第 6 章: 双対性(射影幾何学)

第 7 章: 完全な四角形

第 8 章: ホモグラフィー

第 9 章: デザルグ構成

第 10 章: 円錐セクション

(II) 射影幾何学に関する一般のよくある質問に答える。

(III) 多くの分野で射影幾何学を使用する実際の例。

本書の対象者

専門家、学部生、大学院生、愛好家、趣味人、あらゆる種類の射影幾何学に関する基本的な知識や情報を超えたいと考えている人。

 

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Apr 30, 2024

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第1章:射影幾何学

射影幾何学は、射影変換の下で不変である幾何学的性質の研究に関係する数学の一分野です。射影幾何学は、伝統的なユークリッド幾何学とは異なる環境を使用し、幾何学の基本概念の小さなサブセットを採用します。射影空間には、同じ次元のユークリッド空間よりも多くの点があり、余分な点(「無限遠の点」と呼ばれる)をユークリッド点に、またはその逆に変換する幾何学的変換が許可されます。

この新しい変換の概念は、変換行列と平行移動で述べることができるよりも根本的な結果をもたらしますが、射影幾何学(アフィン変換)にとって意味のある特性を維持します。未知の領域で数学者が直面する最初の問題は、どのような種類の幾何学が適切かを判断することです。透視図法で観察できるように、角度は射影変換に関して不変ではないため、射影幾何学ではユークリッド幾何学と同じように参照することはできません。遠近法の概念は、射影幾何学のインスピレーションでした。射影幾何学の言語に翻訳すると、2本の平行線が無限遠で交わるという考えは新しい意味を持ちます。繰り返しになりますが、この考えは常識に基づいています。たとえば、透視図では、列車の線は地平線に向かって収束します。2次元の射影幾何学の入門書として、射影平面をご覧ください。

この概念は以前から存在していたが、射影幾何学が実際に普及したのは19世紀になってからである。これらの分野の中には、複素数が座標(同次座標)として利用される複素射影空間の理論があります。射影幾何学は、不変量理論、イタリアの代数幾何学学、フェリックス・クラインのエアランゲン計画など、より抽象的な数学のいくつかの重要な分野の発展の原動力であり、古典群の研究につながった。合成幾何学として、この分野はそれ自体が多くの専門家を惹きつけました。有限幾何学は、射影幾何学の公理的研究から生まれたもう一つの分野です。

研究の多くのサブフィールドは、射影幾何学の元の分野から発展しました。例えば、射影代数幾何学(射影多様体の研究)や射影微分幾何学(射影変換の微分不変量の研究)などです。

基本的な非計量幾何学、射影幾何学は距離の測定に依存しません。2次元の点と線の配置から始めます。遠近法の基礎を研究していたデザルグらは、この不毛な状況の中に幾何学的な魅力があることを最初に発見しました。射影幾何学に適用できる定理は、より短く、より単純であることがわかっています。円に関するいくつかの定理は、これらの一般定理の特定の例と見なすことができ、(複雑な)射影幾何学では、さまざまな円錐断面は互いに等しくなります。

射影幾何学は、19世紀初頭にジャン・ヴィクトル・ポンスレやラザール・カルノーなどの数学者の努力のおかげで、独自の数学の分野として登場しました。アフィン幾何学やユークリッド幾何学と同様に、射影幾何学はフェリックス・クラインのエアランゲンプログラムから導出できます。射影幾何学は射影群の変換の下で不変量によって区別される。

この分野の膨大な定理を集中的に研究した結果、射影幾何学の基礎が確立されました。射影変換には、入射構造と交差比という2つの基本的な不変量があります。アフィン平面(またはアフィン空間)に「無限遠」の線(超平面)を追加し、それを「普通」であるかのように扱うと、射影幾何学のモデルができあがります。一方、公理学的研究は、入射公理が均質座標系を介して推論できない構造によって(わずか2次元で)モデル化できることを証明するものとして、非デザルグ平面を明らかにしました。

射影幾何学と順序幾何学はどちらも、アフィン幾何学とユークリッド幾何学の基礎として機能し、基本的に単純です。これにより、ジオメトリを構築できる独自の前提が提供されます。

3世紀に生きたアレクサンドリアのパップスは、最初の射影幾何学的性質を発見したと信じられています。デザルグは、消失点が無限遠にある状況を説明する遠近法の新しい方法を作成しました。彼は幾何学の範囲を拡張して、平行線が実際に平行であるユークリッド幾何学の一般的な状況を含めました。ブレーズ・パスカルは、16歳のとき、デザルグの円錐断面の研究に触発されてパスカルの定理を発展させました。その後の射影幾何学の発展は、19世紀初頭のガスパール・モンジュの貢献に負うところが大きい。デザルグの作品は、1845年にミシェル・シャスルが引き出しの中からコピーを発見するまで忘れ去られていました。一方、1822年にJean-Victor Ponceletによる射影幾何学に関する独創的な研究が現れた。ポンスレは、円に関する具体的な極と極の関係を使用して、中心投影下の物体の不変性を調べることにより、計量と射影の性質の間の関係を確立しました。双曲空間のクライン模型のようなモデルは、最終的に新しく発見された非ユークリッド幾何学に存在することが証明された。

1855年A.

F.

メビウスは、複素平面一般化円の順列(現在はメビウス変換と呼ばれている)についての記事を書いた。

複素射影直線の射影性は、ここではこれらの変換によって表されます。

空間線の研究、ユリウス・プリュッカーは彼の説明に同次座標を使用しました、次に私たちはクライン二次方程式の線のコレクションを見ました、代数幾何学と呼ばれる発展途上の分野への射影幾何学の最も初期の貢献の1つ、射影技術に触発された幾何学の一分野。

双曲幾何学に関するロバチェフスキーとボリャイの仮説は、射影幾何学によって提供される双曲面のモデルによって正しかったことが証明された。例えば、単位円に垂直な一般化された円が「双曲線」(測地線)に対応するポアンカレ円板模型であり、この模型の「平行移動」は、単位円板をそれ自体に写像するメビウス変換によって記述される。

Cayley-Klein メトリックは、交差比に基づいて 2 点間の距離を計算するために使用されるため、平行移動不変、投影の中心不変量であることが知られています。

計量空間の理論では、並進は種々の等値、部分線形変換、射影線型群、およびその群の線型変換に分類される(例として、SU(1), 1)。

ポンスレやヤコブ・シュタイナーらは、解析幾何学を研究で広げようとしたわけではない。合成法は実装されることを意図しており、現在知られている射影空間が公理的に追加されています。したがって、射影幾何学の初期の研究を今日の基準で厳密に再定式化することは難しいかもしれません。公理的手法は、射影平面の単純な例においてさえ、線形代数の記述に反するモデルを提供することができる。

クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターなどは、普遍代数曲線を研究することにより、幾何学における既存の方法の限界を押し広げました。これに続いて、不変量理論が発展しました。イタリアの代数幾何学派(エンリケス、セグレ、セヴェリ)は、世紀の終わりに伝統的な主題から、より高度な技術を必要とする領域に分岐しました。

この主題に関する文献は数多くあるが、射影幾何学は19世紀後半に人気を失った。特に、シューベルトは、現在グラスマン人の代数的位相幾何学を記述するために理解されているチャーンクラスの理論の伏線と見なされている列挙幾何学でいくつかの仕事をしました。

ポール・ディラックの量子力学の発展は、射影幾何学に大きく依存していた。ハイゼンベルクは量子観測が可換に失敗する可能性があるという考えに動揺し落胆したが、ディラックは非可換環上の射影平面をすでに研究していたため、この新しい展開の影響をあまり受けなかった。後者の研究では、ディラックは方程式の直観的な意味を把握するために射影幾何学の図面に大きく依存し、純粋に代数的アプローチで彼の発見を紙にコミットしました。

ユークリッド幾何学やアフィン幾何学と比較すると、射影幾何学はより柔軟です。これは、メトリックフレームワークを必要とせずに事実が自立するジオメトリです。射出構造と射影調和共役の関係は、射影変換の影響を受けません。下地は 1 次元の射影範囲です。遠近法の最も基本的な概念の1つは、無限遠での平行線の出会いであり、射影幾何学はこの考えを形式化します。射影幾何学は、原理的には、ユークリッド幾何学の延長線として、各線の「方向」を付加的な「点」として線に組み込み、同一平面上の線に対応する方向の「地平線」を「線」として捉えることができる。したがって、2つの線が同じ方向に進んでいる場合、それらは最終的に地平線で交差します。

無限遠の点は理想化された方向を示し、無限遠の線は理想化された地平線を示します。その結果、これらの線は平面内の無限遠で平坦になります。ただし、無限大は計量項であるため、厳密に射影幾何学では、原点からの距離に関係なく、すべての点、線、および平面が等しく見なされます。

射影幾何学はユークリッド幾何学よりも単純な基底を持つという事実のために、ユークリッド幾何学の一般的な結果は、ユークリッド幾何学の異なるが類似した定理をまとめて扱うことができる射影幾何学の枠組みの中で、より理解しやすい方法で導出することができる。たとえば、同次座標を使用して任意の射影平面を「無限遠」に配置することができ、平行線と非平行線を区別する必要がなくなります。

デザルグの定理とパップスの定理は、極めて重要な関連性を持つ2つのさらなる特性です。デザルグの定理は、サイズ 3 以上の射影空間において特定の構成を用いて証明することが可能である。対照的に、次元 2 には別の仮定が必要です。

デサルグの定理は、他の公理と一緒に取られると、 算術の初歩的なステップは、幾何学的に定義することができます。

場の公理は、乗算の可換性がパップスの六角形の定理を必要とすることを除いて、結果の演算によって満たされる。

つまり、各ラインのノードは、それぞれの変数Fに正比例し∞、r⋅∞= ∞、−∞= ∞、r + ∞ = ∞、r / 0 = ∞、r / ∞ = 0、∞−r = r − ∞ = ∞、0 /  0、∞ / ∞、∞ + ∞、∞ − ∞、0 ⋅ ∞、∞ ⋅ 0 は未定義のままです。

ユークリッド幾何学と同様に、円錐断面の理論は射影幾何学で完全に発展しています。双曲線と楕円を区別するには、双曲線は無限遠で線と交差し、楕円は同じ線に接していることを覚えておくと便利です。円のクラス全体は、無限遠で線上の任意の 2 つの固定位置を通る円錐で表すことができますが、この表現には複素座標が必要です。座標は「合成」ではないので、線上の2つの固定位置の間を流れるすべての円錐の線形系を研究することに置き換えることができます。このアプローチは多くの才能ある数学者の興味をそそり、この主題に関するさらなる研究につながりました。H. F. Bakerの複数巻にわたる論文は、このアプローチの優れた例です。

多数の射影幾何学は、それぞれ「離散」または「連続」のいずれかに分類できます。無限に多くの点を含み、その間に隙間がない連続ジオメトリと、有限である場合と有限でない場合がある点の集合で構成される離散ジオメトリの違い。

単一点は、次元がゼロの唯一の射影幾何学です。3 つ以上の点を持つ 1 本の線分は、次元 1 の射影幾何学を構成します。どちらのシナリオでも、数学演算を幾何学的に作成することは不可能です。デザルグの定理がないため、2次元は特に堅牢な構造をしています。

ファノ平面は、合計7つの点と7つの線を持ち、各線上に3つの点があり、最小の2次元射影幾何学(点が最も少ないもの)であり、次の共線性を持っています。

[ABCの]

[ADEの]

[AFG]を

[BDGの]

[BEF]

[CDFの]

[CEG]

A が B に等しいと仮定した場合、C = D など (0,0,1 )、B = (0,1,1)、C = (0,1,0)、 D = (1,0,1)、E = (1,0,0)、F = (1,1,1)、G = (1,1,0)、またはアフィン軸の平面上では、A = (0,0)、B = (0,1)、C = (∞)、D = (1,0)、E = (0)、F = (1,1)、G = (1)です。

無限大としてマークされた点(ここではC)と、デザルグ平面の対応するアフィン座標EとG)は、さまざまな方法で解釈できます。

有限射影幾何学は PG(a, b) という表記で表され、a と b は実数である。

a は射影 (または幾何学的) 次元、

b は、線上の点の数より 1 つ少ない数です (ジオメトリの順序と呼ばれます)。

このため、PGは7ポイント(2、2)のみの場合を表すために使用されます。

ユークリッド幾何学が埋め込まれる平坦空間の計量幾何学を解析するために同次座標を利用し、一般化された基礎となる抽象幾何学と広く関心のある特定の幾何学(それゆえに拡張ユークリッド平面)の両方を示すために「射影幾何学」というフレーズが使われることがあります。

すべての射影幾何学は、射影平面内の任意の2つの独立した直線LとMが単一の点Pで交わることを示す楕円入射として知られる共通の特性を共有しています。P が位置する無限遠の直線は、平行線の解析幾何学固有のケースをさらに一般化したものです。この場合、無限遠の線は理論上の別の線にすぎず、固有の性質はありません。任意の線が(後のエアランゲンプログラムの精神で)無限大線にどのように変換できるかを説明するために、変換のグループを参照することができます。

楕円幾何学、ユークリッド幾何学、双曲線幾何学の類似点と相違点:

任意の線 l とその外側にある任意の点 P に対して、楕円

p を通る経路で l と交差しないものはありません。

ユークリッド

P を横断する 1 つの線だけが l を満たしません。

双曲線

l を満たさない複数の線を P に引くことができます。

おそらく、すべての射影幾何学に共通する最も重要な特徴は、楕円幾何学の平行条件から導かれる射影双対性の考え方です。

1825年、ジョゼフ・ジェルゴンヌは射影平面幾何学を特徴づける双対性原理を指摘した。射影平面幾何学の定理や定義を 1 つの単語 (たとえば、point を line に、 lie on を pass through に、 collinear を concurrent に、 intersection を join に置き換えると、新しい定理や定義も有効になります。同様に、3次元では、点と平面の間の双対関係が適用され、問題の点と平面を交換することで定理を変更できます。より広い意味では、次元 R と NR1 の部分空間は次元 N の射影空間に対して双対性を形成する。N が 2 の場合、これは点と線の間の双対性に絞り込まれますが、これは最もよく知られているタイプの双対性です。Jean-Victor Ponceletは、二元性原理を独自に発見しました。

双対性を証明するには、異次元の公理と等価な定理を証明すればよい。したがって、(1*)3次元空間のすべての点が3つの異なる平面にあること、(2*)平面のすべてのペアが1本の線で交差すること、および(3*)平面PとQの交点が平面RとSの交点と同一平面上にある場合、平面PとR、QとSの交点も同一平面上にあることを証明する必要があります(平面PとSがQとRと異なると仮定します)。

双対性の概念は、2つの異なる幾何学的構造間の関係を確立するために使用できます。円錐曲線(2次元)または二次曲面上の2つの図形には、極性または相反性(3次元)と呼ばれるよく知られた特性があります。対称多面体を同心円状の球面に鏡像化して二重多面体を作成するのは、この一般的な例です。

ブリアンションの定理の最も単純な証明の1つは、パスカルの定理に双対性の概念を適用することです。2つの定理は、次のステートメントで比較および対比されます(どちらの場合も射影平面の枠組み内)。

パスカル:六角形に円錐上にある6つの頂点がある場合、その反対側の3つの交点(射影平面には「線分」のようなものがないため、線全体と見なされます)はすべて同一線上です。パスカルの六角形の線は、これら2つの点を結ぶ線です。

六角形は、Brianchonが示すように、6つの辺すべてが円錐に接している場合、対角線に沿って3本の連続した線があります。それらが出会うとき、それはあなたが六角形のブライアンションポイントを持っているときです。

(円錐が2本の直線に縮退すると、ブリアンション点が直線の交点になるので、パスカルの定理はパップスの定理になり、対応するものはありません。

正しい公理から、任意の幾何学を導き出すことができます。「楕円平行線」の仮定は、任意の2つの平面が常に1本の線で交わるか、平面内で任意の2本の線が常に1つの点で交わるというもので、射影幾何学の決定的な特徴です。つまり、射影幾何学では、平行線と平面は存在しません。

射影幾何学については数多くの公理系が提案されている(例えば、Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980を参照)。

ホワイトヘッドの「射影幾何学の公理」は、これらの教義のインスピレーションとして役立ちます。点と線という2つの異なる種類があり、両者の間には「発生」と呼ばれる単一の関係があります。3つの公理は次のとおりです。

G1: 各行に少なくとも 3 つのポイント。

G2: 任意の 2 つの場所 A と B を結ぶ一意の線があります。

線 AC と BD は、線 AB と CD が交差する場合に限ります (この場合、A と D は B と C と区別されると仮定されます)。

一部の縮退シナリオを除外するために、各ラインには少なくとも 3