Nya enkla sätt att lösa ekvationer: Hur man löser ekvationer med huvudräkning, vilket stärker tankeförmågan och förbättrar minnet

By Einar Östmyren

I den här boken presenterar jag en unik andragradsformel, vilken är en omskrivning av p-q-formeln. Omskrivningen ledde till att ekvationerna kunde lösas nästan dubbelt så snabbt med den nya formeln, när den jämfördes i ett test med p-q-formeln. I ett annat test var den nya formeln också betydligt snabbare än den vediska formeln. Det unika med den nya formeln var att ekvationerna vid testet kunde lösas med huvudräkning, vilken förbättrar minnet och ökar mental skärpa och intelligens.

Då jag upptäckte att den mellersta koefficienten i en andragradsekvation innehöll all information om dess ursprung, ledde detta till regler som skulle förenkla lösningen av alla ekvationer. Ursprunget i en andragradsekvation kunde då lokaliseras, och därmed blev det möjligt att skapa en regel för hur koefficienterna skulle delas upp i faktorer. Med hjälp av denna regel och någon övning kan svaret på en ekvation både beräknas och kontrolleras snabbt, oberoende av hur stora koefficienterna är. Denna universiella metod är avsedd att användas innan ekvationen löses med formel.

Eftersom ursprunget till en andragradsekvation kunde lokaliseras, var det också lätt att hitta ursprunget till andra typer av ekvationer, och därmed kunde nya metoder skapas. Det här ledde till att en tredjegradsekvation kunde lösas utan att ta några omvägar som polynomdivision, gissning eller prövning av en rot. När ursprunget till ekvation kan lokaliseras, är det lika lätt att lösa en femtegradsekvation som en andragradsekvation på samma enkla sätt som att låsa upp ett kassaskåp med nyckel. Syftet med boken är främst att göra det så enkelt som möjligt för studenterna att lösa ekvationer, men också att ge dem en bättre inblick i ursprunget till en ekvation.

• Language: Svenska
• Publisher: Books on Demand
• Release date: May 30, 2017
• ISBN: 9789175696782

Einar Östmyren

I was born in 1932 in the Norwegian city of Risör and when I was 21 years old I studied in Sweden to become a Chemical Engineer,

Book preview

Kapitel 1

DEN NYA ANDRAGRADSFORMELN

Med den nya andragradsformeln har vi sett att ekvationer kan lösas med huvudräkning och nästan dubbelt så snabbt som med p-q-formeln. Resultatet av ett jämförande test på de två formlerna och en vedisk formel redovisas på sidan 18.

Jag hade länge funderat på en enklare formel, men då jag kunde lösa många ekvationer med irrationella tal, förstod jag att jag hade lyckats. Det framkom senare att formeln är en omskrivning av p-q-formeln.

Formlerna är ekvivalenta och har olika egenskaper. De kan jämföras med två likadana bilar, en av dem med en starkare motor och nästan dubbelt så snabb som den andra.

HÄRLEDNING AV DEN NYA ANDRAGRADSFORMELN

* Får inte förväxlas med p-q-formeln. Kvadrering av tal som slutar på 5, se sidan 9.

Konjugatregeln

Den nya andragradsformeln bygger på konjugatregeln, som ofta används för att skriva om skillnaden till en produkt. Om a och b är två tal får vi:

Denna identitet omfattar alla tal a och b. Konjugatregeln kan skrivas om till en produkt där den ena faktorn har ett plus och den andra ett minus mellan parentesuttrycken.

När vi till exempel skall multiplicera 27 ∙ 33, är medelvärdet 30 och avvikelsen 3. När

Konjugatregeln används ofta för att ge snabba och eleganta lösningar och det visar vi i följande exempel.

Exempel 1

Exempel 2

Kvadrering av tal som slutar på fem

Eftersom den mellersta koefficienten halveras i den nya andragradsformeln, kommer udda tal att sluta på 5. Ett enkelt sätt att kvadrera sådana tal med huvudräkning är att använda ordformeln: Med ett mer än föregående. När vi till exempel skall kvadrera 5,5, multipliceras 5 med 6, d.v.s. det tal som kommer efter 5. Vi multiplicerar 5 med 6 vilket blir 30 och sedan adderas 25 i rätt decimalposition och vi får då 30,25. Vi tar ett exempel och multiplicerar 5 + 0,5 med 6 − 0,5 = 30,25 och 5,52 = 30,25.

Lös ekvationen: 4x² + 15x + 9 = 0

Den mellersta koefficienten 15 halverar vi till 7,5. För att kvadrera 7,5 multipliceras 7 med 8 vilket blir 56. Därefter lägger vi till 25 i rätt decimalposition och 7,52 = 56,25.

Tabell för kvadrering och kvadratrötter

Denna tabell visar de tal som normalt krävs för att lösa andragradsekvationer med den nya formeln. När man kan den lilla multiplikationstabellen, är det lätt att kvadrera och beräkna kvadratroten med huvudräkning. Låt oss beräkna kvadratroten ur 12,25. Man inser att talet blir något högre än 3 och mindre än 4 närmare bestämt 3,5. Kvadratroten ur 72,25 bör ligga emellan 8 och 9 och kan verifieras till 8,5. Med någon övning löser man ekvationer snabbare med huvudräkning än med ett artificiellt hjälpmedel.

Den nya formeln blev testad av studenter

Ett test utfördes av studenter på Blackebergs Gymnasium, vilken rankas som en av de bästa gymnasieskolorna i Stockholm. Innan studenterna mottog övningarna gjordes en jämförelse, som visade att ekvationerna löstes snabbare med den Vediska formeln än med p-q-formeln. Därför jämfördes den nya formeln bara med den vediska formeln i testet som eleverna gjorde. Testet bestod av 20 ekvationer och utfördes av 21elever.

För att visa hur besvärlig och tidsödande p-q-formeln är jämfört med den nya formeln har vi också löst varje ekvation med p-q-formeln.

Övningar under provet

Exempel 1

Exempel på grafen till andragradsfunktionen:

Exempel 2

Exempel 3

Exempel 4

Exempel 5

Exempel 6

Exempel 7

Exempel 8

Exempel 9

Exempel 10

Exempel 11

Exempel 12

Exempel 13

Exempel 14

Exempel 15

Exempel 16

Exempel 17

Exempel 18

Exempel 19

Exempel 20

Resultatet av provet

Efter testet tyckte alla eleverna bäst om den nya formeln, eftersom det var så enkelt att kvadrera de låga talen med huvudräkning. Då eleverna inte var så vana med formlerna och inte haft tillfälle att förbereda sig så mycket, blev det stora tidsvariationer. Därför var det svårt att göra en utvärdering, men alla elever löste ekvationerna snabbare med den nya formeln jämfört med den vediska formeln. Några få elever löste ekvationerna i genomsnitt 16 % snabbare med den nya formeln än med den vediska formeln.

Då samma test gjordes av två rutinerade personer, blev alla ekvationer lösta med enbart huvudräkning när den nya formeln användes. Resultatet av detta test visade att de löste ekvationerna i genomsnitt 30 % snabbare med