Einsteins speciella och allmänna relativitetsteori

By Bengt Månsson

Denna bok bygger på kurser och föreläsningar som författaren har hållit. Den innehåller såväl grundläggande avsnitt, som inte kräver några större förkunskaper som mera avancerade avsnitt.

I. Inledande översikt
II. Speciell relativitetsteori
III. Speciell och allmän relativitetsteori
IV. Svarta hål och kosmologi
V. Mera avancerade ämnen (singulariteter, gravitationsvågor mm)
VI. Einstein... (historik och vetenskapsteori samt en kort presentation av Einsteins enhetliga fältteori)
VII. Litteraturförteckning och referenser

De olika avsnitten kan passa intresserade gymnasister, studenter och lärare på olika nivåer liksom fysiker med andra specialområden.

• Language: Svenska
• Publisher: Books on Demand
• Release date: Jan 21, 2019
• ISBN: 9789178517602

Bengt Månsson

The author has a PhD in theoretical physics and is lecturer of mathematics. He has for many years taught physics and mathematics at senior high school as well as university level.

Book preview

Innehåll

I. INLEDANDE ÖVERSIKT

1. Speciell relativitetsteori

1.1 Begreppen rum och tid

1.1.1 Samtidighet

1.1.2 Ljusets egenskaper

1.1.3 Observation av dubbelstjärnor

1.1.4 π⁰-sönderfall

1.1.5 Den speciella relativitetsteorins grundpostulat

1.1.6 Tidens relativitet

1.1.7 Tidsdilatationen

1.1.8 Längdkontraktion

1.1.9 Relativistisk aberration

1.1.10 Sammanfattning av avsnitt 1.1

1.1.11 Problem 1-7

1.2 Paradoxer

1.2.1 Signaler och kausalitet

1.3 Snabbare än ljuset?

1.3.1 Signaler

1.3.2 Rörelse som inte innebär signalöverföring

1.3.3 Hyperbolisk rörelse

1.3.4 Längdkontraktionsparadoxer

1.3.5 Staven och skivan

1.3.6 Fallande staven

1.3.7 Tvillingparadoxen eller tvillingproblemet

1.3.8 Paradoxernas betydelse

1.3.9 Sammanfattning av avsnitt 1.3

1.3.10 Problem 8-14

1.4 Lorentztransformationen

1.4.1 Referenssystem

1.4.2 Koordinater och tid

1.4.3 Lorentztransformationen

1.4.4 Inertialsystem och relativitetsprincipen

1.4.5 Tillämpningar av lorentztransformationen

1.4.6 Gränshastigheten c för inertialsystem

1.4.7 Lorentzkontraktionen

1.4.8 Tidsdilatationen

1.4.9 Samtidighetens relativitet

1.4.10 Signalfart

1.4.11 Staven och skivan

1.4.12 Tvillingparadoxen igen

1.4.13 Egentid

1.4.14 Sammansättning av hastigheter

1.4.15 Parallella hastigheter

1.4.16 Relativistiska sammansättningslagen för parallella hastigheter

1.4.17 Vinkelräta hastigheter

1.4.18 Relativistisk sammansättning av vinkelräta hastigheter

1.4.19 Dopplereffekten

1.4.20 Sammanfattning av avsnitt 1.4

1.4.21 Problem 15-29

1.5 Rumtiden

1.5.1 Fysikalisk rumtid och matematiska rumtidmodeller

1.5.2 Inertialsystemens koordinater

1.5.3 Ljuskoner och kausalitet

1.5.4 Samtidighet

1.5.5 Relativistiska effekter

1.5.6 Sammanfattning av avsnitt 1.5

1.5.7 Problem 30-32

1.6 Relativistisk dynamik

1.6.1 Kinematik och dynamik

1.6.2 Transformation av acceleration

1.6.3 Tröga massans ökning med farten

1.6.4 Rörelsemängd och kinetisk energi

1.6.5 Vilomassa och energi

1.6.6 Ekvivalensen mellan massa och energi

1.6.7 Partikelreaktioner

1.6.8 π⁰-sönderfall

1.6.9 Parbildning

1.6.10 Antiprotonproduktion

1.6.11 Elastisk stöt

1.6.12 Sammanfattning av avsnitt 1.6

1.6.13 Problem 33-41

2. Allmän relativitetsteori

2.1 Relativistisk gravitationsteori

2.1.1 Gravitationen och den speciella relativitetsteorin

2.1.2 Ekvivalensprincipen

2.1.3 Ljusets uppförande i gravitationsfält

2.1.4 Avböjning av ljusstrålar

2.1.5 Frekvensändring och tid

2.1.6 Gravitation och rumtidsstruktur

2.1.7 Geodeter och linjeelement

2.1.8 Fältekvationerna

2.1.9 Schwarzschilds lösning

2.1.10 Ljusets uppförande och planetbanor

2.1.11 Ljusavböjning

2.1.12 Frekvensändring

2.1.13 Planetbanor

2.1.14 Fördröjning av radarsignaler

2.1.15 Starka och svaga gravitationsfält

2.1.16 Sammanfattning av avsnitt 2.1

2.1.17 Problem 42-48

2.2 Svarta hål och rumtidsingulariteter

2.2.1 Starka gravitationsfält

2.2.2 Ljuskonstrukturen

2.2.3 Svarta hål

2.2.4 Gravitationskollaps

2.2.5 Singulariteter

2.2.6 Singularitetssatserna

2.2.7 Finns svarta hål?

2.2.8 Sammanfattning av avsnitt 2.2

2.2.9 Problem 49-52

2.3 Kosmologi

2.3.1 von Seeligers paradox

2.3.2 Kosmologiska principen

2.3.3 Robertson-Walkers linjeelement

2.3.4 Användning av fältekvationerna

2.3.5 Jämförelse med observationer

2.3.6 Big Bang

2.3.7 Observationshorisonter

2.3.8 Sammanfattning av avsnitt 2.3

3. Historik och aktuella problem

3.1 Maxwells teori

3.2 Eterhypotesen

3.3 Problem i allmän relativitetsteori

Appendix I.A - Beräkning av signalfart

Appendix I.B - Fältekvationerna

Appendix I.C - Skalfaktorn R(t)

Appendix I.D - Maxwells ekvationer

Appendix I.E - Några viktiga årtal

II. SPECIELL RELATIVITETSTEORI

4. Den speciella relativitetsteorins grundpostulat

5. Samtidighetsbegreppet

6. Tidsdilatationen

7. Lorentzkontraktionen

8. Transversell längd

9. Koordinater

10. Lorentztransformationen

11. Konsekvenser av lorentztransformationen

11.1 Lorentzfaktorn

11.2 Signalhastighet

11.3 Samtidighetens relativitet

11.4 Tidsdilatationen

11.5 Lorentzkontraktionen

11.6 Lorentztransformationens betydelse

11.7 Fallande staven - en paradox

12. Invarianter, lorentzavståndet, ljuskonen

13. Egentiden

14. Sammansättning av hastigheter

14.1 Allmänna formler

14.2 Några specialfall

15. Relativistisk rörelsemängd

16. Relativistisk kraft, kinetisk energi

16.1 Allmänt

16.2 Specialfall

17. Relativistisk energi, ekvivalensen mellan massa och energi

17.1 Allmänt

17.2 Viloenergi

17.3 Atombomben

17.4 Användbara samband

18. Transformation av rörelsemängd och energi

19. C-systemet

20. Invarianter

21. Konserveringslagar

22. Tillämpningar på stöt och sönderfall

23. Avslutning

24. Lösta problem - problem

25. Lösta problem - kortfattade lösningar

26. Problem

Appendix II.A - Lorenztransformationen. Alternativ härledning

III. SPECIELL OCH ALLMÄN

RELATIVITETSTEORI

27. Speciell relativitetsteori

27.1 Bakgrund och postulat

27.2 Lorentztransformationen

27.3 Dopplereffekten

27.4 Thomasprecessionen

27.5 Fyrdimensionell formalism

27.6 Tensorbegreppet

27.7 Kovariansbegreppet

27.8 Maxwells ekvationer

27.9 Lorentzkraften

27.10 Partikelrörelse i elektromagnetiska fält

27.11 Elektromagnetiska energi-impulstensorn

27.12 Mekanisk energi-impulstensor

28. Differentialgeometri

28.1 Mångfalder

28.2 Tensoralgebra

28.3 Tensoranalys

28.3.1 Affinitet

28.3.2 Kovariant derivata

28.3.3 Krökningstensorn

28.3.4 Geodetiska koordinater

28.3.5 Metriskt samband, Riemannrum

28.3.6 Tidsliknande och noll- koordinater

28.3.7 Metrisk affinitet

28.3.8 Geodeter

29. Allmän relativitetsteori

29.1 Bakgrund och postulat

29.2 Fältekvationerna

29.3 Newtons teori som en första approximation

29.4 Sfäriskt symmetriskt gravitationsfält

29.5 Schwarzschilds lösning

29.6 Geodeter i sfäriskt symmetriskt gravitationsfält

29.6.1 Tidsliknande geodeter

29.6.2 Periheliumprecessionen

29.6.3 Egentid i omloppsbana

29.6.4 Nollgeodeter

29.6.5 Ljusavböjning

29.6.6 Geodeter innanför r = 3m

29.7 Konsekvenser och tillämpningar av den allmänna relativitetsteorin

Appendix III.A - Mer om differentialgeometrin och dess utveckling

Appendix III.B - Thomasprecessionen

Appendix III.C - Vektorer i tre dimensioner

Appendix III.D - Elektrodynamik

Appendix III.E - Mätningsteori

Appendix III.F - Geodetisk avvikelse

Appendix III.G - Newtons gravitationsteori

Appendix III.H - Elliptiska funtioner och integraler

IV. SVARTA HÅL OCH KOSMOLOGI

30. Inledning

31. Symmetriska rum

31.1 Killings ekvation

31.2 Maximal symmetri

31.3 Homogenitet och isotropi

31.4 Exempel på maximalt symmetriska rum

31.5 Entydighetssats

31.6 Maximalt symmetriska underrum

32. Utvidgning av rumtider

32.1 Utvidgning i allmänhet

32.2 Sfäriskt symmetrisk rumtid

32.3 Maximal utvidgning

33. Svarta hål och gravitationskollaps

33.1 In- och utgående lösningar

33.1.1 Bankurvor – ett matematiskt mellanspel

33.2 Gravitationskollaps och bildning av svarta hål

33.3 Gravitationskollaps i detalj

33.4 Singulariteter och horisonter

33.5 Realistisk gravitationskollaps

33.5.1 I

33.5.2 II

33.5.3 III

34. Kosmologiska lösningar

34.1 Kosmologiska principen och Robertson-Walker-metriken

34.2 Öppet och slutet universum

34.3 Geodeter och koordinaternas betydelse

34.4 Användning av fältekvationerna

34.4.1 Ickerelativistisk materia

34.4.2 Relativistisk materia

34.4.3 Vakuumenergi

34.5 Blandad materia och kritisk täthet

34.6 Jämförelse med observationer

34.7 Den ursprungliga singulariteten. Horisonter

34.8 Kosmiska bakgrundsstrålning CMRB

34.9 Avslutning

Appendix IV.A - Ekvivalens mellan Killings ekvation och existensen av isometrier

Appendix IV.B - Geodetisk avvikelse

Appendix IV.C - Utträdeskonen

Appendix III.D - Andra kosmologiska modeller

V. NÅGRA MERA AVANCERADE ÄMNEN

35. Speciell relativitetsteori

35.1 Acclererade referenssystem och överljusfart

35.2 Tvillingparadoxen

35.2.1 Lösningar av paradoxen inom speciell relativitetsteori

35.2.2 Flera brytpunkter

35.2.3 Lösningar av paradoxen inom allmän relativitetsteori

36. Exakta lösningar

36.1 Einsteinrum

36.1.1 Weyls lösningar

36.1.2 Schwarzschilds lösning i isotropa koordinater

36.1.3 Einstein-Rosenbryggan

36.1.4 Kerrs lösning

36.1.5 Robinson-Trautmanrumtider

36.1.6 Gravitationsvågor

36.1.7 Reissner-Nordströms lösning

36.1.8 Vaidyas lösning

36.1.9 Fluider

36.1.10 Kosmologiska lösningar

37. Gravitationsfältets energi

37.1 En integralsats

37.2 Energi-impulskomplex för gravitationsfältet

37.3 Energitäthet mm

37.4 Superpotentialen

37.4.1 Schwarzschilds rumtid

37.5 Svårigheter med tolkningen

37.5.1 Rumstransformation

37.5.2 Lokalisering av gravitationfältets energi

37.6 Slutsatser/Sammanfattning

38. Rörelseekvationer

38.1 Ekvivalensprincipen

38.2 Weyls lösning

38.2.1 Principiell bestämning av metriken

38.2.2 Ett exempel med två singulariteter

38.3 Einstein-Infeld-Hoffmanns metod

38.3.1 Beskrivning av metoden

38.3.2 Tillämpning på massiva partiklar

39. Gravitationsvågor

39.1 Linjariserade fältekvationer

39.2 Energiutstrålning

39.3 Observationer

39.3.1 Den binära pulsaren PSR 1913+16

39.3.2 LIGO

39.4 Exakta lösningar

40. Vad är en rumtidsingularitet?

40.1 Inledning

40.2 Definitionssvårigheter

40.3 Exempel på koordinateffekter

40.4 Eliminering av koordinatsingulariteter

40.5 Ändliga mätvärden för tid och längd

40.6 Lämpliga koordinatsystem

40.7 Definition av singularitet i rumtiden

Appendix V.A – Weyllösningar

Appendix V.B – Tensortätheter

Appendix V.C - Lagrangetätheten

Appendix V.D - Maximal utvidgning av Schwarzschilds rumtid

Appendix V.E - Fritt fall motr= 2msett utifrån

Appendix V.F - LambertsW-funktion

Appendix V.G - Hydrostatisk jämvikt

VI. EINSTEIN...

41. Dags att knyta ihop trådarna...

42. Speciell relativitetsteori, Einstein 1905, 1907, 1912

42.1 Bakgrund och postulat

42.2 Samtidighetsdefinitionen

42.3 Begreppen orsak och verkan

42.4 Ny axiomatisering?

42.5 Elektrodynamiken

42.6 Partikeldynamik

43. Allmän relativitetsteori, Einstein 1911-1916

43.1 Bakgrund och postulat

43.2 Ekvivalensprincipen

43.3 Fältekvationerna

43.4 Samtidighet i allmän relativitetsteori

43.5 Enhetlig fältteori

44. Einsteins syn på den teoretiska fysikens metod

44.1 Vetenskap

44.2 Matematikens betydelse

44.2.1 Några exempel

44.2.2 Variationskalkyl

44.3 Avslutning

Appendix VI.A - Transversell och longitudinell massa

Appendix VI.B - Hur stort är ett svart hål?

Appendix VI.C - Einsteins teori för det asymmetriska fältet

VII LITTERATUR, REFERENSER OCH REGISTER

Litteratur

Referenser

Register

Förord

Föreliggande bok är baserad på kurser, föreläsningar och seminarier som jag har hållit dels vid Lunds universitet dels på gymnasieskolan. Tanken var först att skriva en regelrätt lärobok i relativitetsteori men jag valde den enklare vägen att sammanställa befintligt material till en bok av typen Lectures on .... Ett antal tillägg har gjorts, bland annat om gravitationsvågor som blev aktuellt år 2016 genom observationer vid LIGO. Även några mer avancerade ämnen har berörts liksom en diskussion av begreppet vetenskap i allmänhet och Einsteins syn på den teoretiska fysikens metod i synnerhet. Som avslutning har presenterats Einsteins teori för det asymmetriska fältet, hans sista försök att konstruera en enhetlig teori för gravitation och elektromagnetism.

Bokens upplägg medför att den läsare som läser hela boken råkar ut för en del upprepningar men för den som vill studera ämnet från grunden borde det vara en fördel samtidigt som det underlättar för den som redan är mer eller mindre insatt i ämnet men vill ta en titt på något speciellt område.

Första delen bygger på kurser för speciellt intresserade gymnasister och bör vara av intresse för såväl lärare som elever och högskolestudenter, speciellt som allmän relativitetsteori fortfarande, trots de senare decenniernas utveckling, inte har något stort utrymme på någon undervisningsnivå. Några större förkunskaper krävs inte utöver gymnasiskolans kurser i fysik och matematik.

Andra delen behandlar den speciella relativitetsteorin i en form som ungefär motsvarar, och har använts som material för, kurser för blivande gymnasielärare i fysik och naturligtvis även som grund för vidare studier. Denna del innefattar grunderna beträffande begreppen rum och tid samt relativistisk mekanik. Som förkunskaper krävs klassisk (newtonsk) mekanik på ungefär samma nivå.

Tredje delen utgör föreläsningar för en kurs i speciell relativitetsteori, inklusive elektrodynamik, samt en grundkurs i allmän relativitetsteori. Denna del bör vara användbar som en doktorandkurs i ämnet. Lämpliga förkunskaper är klassisk mekanik, elektrodynamik och flerdimensionell analys.

Fjärde delen kan ses som en påbyggnad till tredje delen med tillämpning inom kosmologi, gravitationskollaps och svarta hål.

Följande delar bygger på seminarier inom ett antal valda områden, rörelseproblemet, singularitetssatser, energibegreppet i gravitationsfält mm.

Nytillkomna områden av mera avancerad art omfattar gravitationsvågor, exakta lösningar till Einsteins fältekvationer för gravitationsfältet samt Einsteins enhetliga fältteori.

Förutom referenser avslutas boken med en ganska omfattande litteraturlista. Några tips på böcker som kan ses som läro-/kursböcker har givits. Däremot avstod jag av utrymmesskäl att skriva omfattande kommentarer till de olika böckerna. Sådana kan ju lätt hämtas på nätet, framför allt hos Amazon.

En hel del appendices har lagts in. Dessa är placerade i slutet av respektive del, alltså inte i direkt anslutning till kapitlen.

I den här föreliggande andra upplagan har kapitlet om kosmologiska lösningar uppdaterats. För värdefulla synpunkter på detta vill jag tacka professor Bengt E Y Svensson, Institutionen för teoretisk fysik vid Lunds universitet. Eventuella brister är naturligtvis mitt eget ansvar. Vidare har ett antal skrivfel mm rättats.

Partille den 25 november 2018

Bengt Månsson

E-post:[e-mail]

Del I

INLEDANDE ÖVERSIKT

Kapitel 1

Speciell relativitetsteori

Därute låg denna väldiga värld, som existerar oberoende av oss mänskliga varelser och som framstår för oss som en stor, evig gåta, åtminstone delvis tillgänglig för vårt studium och vårt tänkande. Kontemplationen av denna värld lockade som en befrielse ...

Albert Einstein 1949

Självbiografiska anteckningar

INLEDNING

Fysiken studerar och beskriver olika naturfenomen, kvalitativt och kvantitativt. Även i allra enklaste fall innefattar detta en beskrivning av var och när någonting inträffar. Begreppen tid och rum blir därmed fundamentala.

Newton försöker redan i början av sitt stora verk Principia definiera vad som ska menas med dessa begrepp. Om tiden säger han Den absoluta, sanna och matematiska tiden, i och för sig och till sin natur utan relation till något yttre, flyter likformigt, och kallas med ett annat namn varande. Tydligen ansåg han att tiden inte låter sig påverkas.

Einstein gjorde i sitt arbete Zur Elektrodynamik bewegter Körper 1905 en noggrann analys av begreppen rum, tid och rörelse. De historiska skälen till detta återkommer vi till, men reultatet av denna analys blev insikten om att begreppen rum, tid och rörelse är relativa, alltså beroende av observatören.

Senare -i den allmänna relativitetsteorin 1915 - visade Einstein slutligen att tid och rum är beroende av materien.

Relativitetsteorin svarar inte på alla frågor, t ex vad är tid, men Einsteins teorier har gett oss en insikt i hur sådana begrepp som samtidighet, före, efter, rörelse kan definieras fysikaliskt och att de varken är självklara eller absoluta.

Från att ha varit den från början givna scen på vilken naturfenomenen utspelar sig har tiden och rummet blivit studieobjekt för fysiken liksom tidigare materia, gravitation, elektriska och magnetiska fält.

1.1 Begreppen rum och tid

1.1.1 Samtidighet

Vi börjar med ett tankeexperiment. Två lampor, en röd r och en grön g, är monterade i varsin ände av en stav. De kan då anses vara på konstant avstånd från varandra. Mitt på staven sitter en tredje lampa m, som sänder ut ljus i alla riktningar då den tänds.

Figur 1.1: Observatör i vila i förhållande till staven.

Vid r och g finns vidare fotomotstånd, relä och batterier hopkopplade så att respektive lampa tänds då fotomotståndet träffas av ljus. Om nu m tänds så kommer ljuset att samtidigt nå r och g och tända dem. r och g tänds alltså samtidigt. Närmare bestämt, om stavens längd är l och ljusets fart betecknas c, så tänds r och g tiden l/(2c) efter m.

Hur kommer det hela att se ut för en observatör, som rör sig åt vänster längs staven? Jämfört med observatören rör sig hela apparaten åt höger.

Figur 1.2: Observatör i rörelse i förhållande till staven.

Om m tänds just när observatören passerar den så är det klart att ljuset från m har kortare sträcka att gå till r än till g. För att r och g ska tändas samtidigt måste ljuset från m ha olika fart i olika riktningar, c − v åt vänster och c+v åt höger om staven rör sig med farten v i förhållande till observatören.

Om vi förutsätter att samtidigheten är absolut, alltså densamma för alla observatörer, så måste ljusets fart påverkas av ljuskällans rörelse. Men erfarenheten har visat att detta inte är fallet. Ljusets fart kan inte påverkas, varken av ljuskällans eller av observatörens rörelse. Samtidigheten är inte absolut.

1.1.2 Ljusets egenskaper

Alltsedan Ole Römers mätningar 1676 har man känt till att ljusets fart i vakuum, vanligen betecknad c, är hög men ändlig.

Enheten 1 meter

Får man nu samma värde om ljuskällan och/eller observatören rör sig? För att avgöra detta krävs tydligen en ljuskälla som rör sig med hög fart. Vi ska se på två experiment som visar att värdet, inom felgränserna i mätningarna, alltid är detsamma.

1.1.3 Observation av dubbelstjärnor

Betrakta två stjärnor A och B som för enkelhets skull antas röra sig i en och samma cirkelbana runt varandra och så att jorden ligger i banplanet.

Figur 1.3: Ljus från dubbelstjärna.

Om ljusets fart verkligen ökas respektive minskas med stjärnans fart så kommer ljuset, som utsänds från A och B i det läge figuren visar att nå jorden med olika fart, med differensen 2v. Denna skillnad mäts, eftersom det är enklare än att mäta farten hos varje ljusstråle var för sig. Resultatet av sådana mätningar är att det inte finns någon skillnad.

1.1.4 π⁰-sönderfall

Ett helt annat sätt att få tillgång till ljus som utsänts från en ljuskälla i snabb rörelse är att utnyttja sönderfall av partikeln π⁰. Denna sönderfaller i två fotoner, dvs ljuspaket, som rör sig i rakt motsatta riktningar.

Figur 1.4: π⁰-sönderfall.

π⁰ produceras i partikelacceleratorer på ett sådant sätt att den rör sig med en fart v ≈ 0,999c och vid sönderfallet fungerar den alltså som en ljuskälla som rör sig med denna fart. Mätningar visar att de bildade fotonerna rör sig med samma fart. Om ljusets fart hade ökats respektive minskats med π⁰-partikeln fart, så skulle ju däremot den ena fotonen få farten 1,999c och den andra 0,001c.

1.1.5 Den speciella relativitetsteorins grundpostulat

P I Relativitetsprincipen: Om två observatörer i inbördes likformig rörelse utför likadana experiment så får de samma resultat.

Med likformig rörelse menas rätlinjig rörelse med konstant fart eller, enklare uttryckt, konstant hastighet.

P II Principen om ljusfartens invarians eller L-principen: Ljusets fart i vakuum är invariant, det vill säga oberoende av såväl ljuskällans som observatörens rörelse.

Ljusfarten är även konstant, dvs oberoende av tiden. Observatörernas referenssystem förutsätts utgöra så kallade inertialsystem, varom mer senare.

Om man exempelvis utför ett experiment ombord på en båt och får ett annat resultat än på land så kan man alltid finna en fysikalisk orsak till skillnaden. Kanske båten gungar och då är rörelsen ju inte likformig. Eller det kanske förekommer vinddrag och i så fall är ju betingelserna annorlunda så experimenten är inte precis likadana. Resonemang av detta slag gör att relativitetsprincipen verkar närmast omöjlig att betvivla. Enklare men mera oprecist uttryckt så finns det ingen rörelse i och för sig.

Belägg för L-principen¹ behandlades i föregående avsnitt.

De båda postulaten stöds av all erfarenhet och utgör grunden för Einsteins speciella relativitetsteori som publicerades 1905. Teorin byggs upp med hjälp av dessa båda postulat.

Det enda som kan observeras med fysikaliska medel är relativ likformig rörelse, alltså den rörelse två föremål har i förhållande till varandra. Detta är den ena anledningen till att den teori vi just har börjat studera kallas relativitetsteorin. Den andra anledningen är att vissa storheter som man tidigare trodde hade ett absolut värde är beroende av observatörens rörelse. Vi ska närmast finna exempel på detta.

Det visar sig även det omvända inträffar, dvs att storheter vars värde man hade trott var relativa visar sig vara absoluta. Ett exempel är (naturligtvis!) ljusets fart i vakuum.

Slutligen, adjektivet speciell syftar på att denna teori endast behandlar observatörer i vila i inertialsystem (alltså exempelvis inte roterande referenssytem) varom mer senare.

1.1.6 Tidens relativitet

Som en första tillämpning av L-principen ska vi visa att de tidsintervall som olika observatörer uppmäter för ett händelseförlopp i allmänhet är olika. En observatör S mäter tiden Δt som det tar för ljuset att röra sig sträckan Δl exempelvis från en lampa till ett fotomotstånd. Således c = Δl/Δt eller Δt = Δl/c. En annan observatör S’ mäter sträckan och tidsintervallet för samma ljussignal att röra sig från lampan till fotomotståndet. Om S’ får värdena Δl' respektive Δt′ gäller Δt´ = Δl´/c med samma c enligt L-principen. Således

Men Δl´ och Δl kan uppenbarligen vara olika, t ex om lampan och fotomotståndet ligger i vila i förhållande till S medan däremot S’ rör sig längs förbindelselinjen mellan dem. Högerledet i den sista ekvationen är då ≠

Händelseförloppet tar alltså olika tid för S och för S’. Tiden är relativ; de tidsvärden fysikaliska händelseförlopp tilldelas måste bero på observatören. Detta att storheter som tidigare ansetts vara absoluta är relativa är, som tidigare nämnts, en anledning till benämningen relativitetsteori.

En bestämning av ett allmänt samband mellan Δt och Δt´ kommer att genomföras i avsnitt 1.4. Samtidighetens relativitet är ett specialfall (Δt' = 0, Δt ≠ 0). Ett annat specialfall behandlas i nästa avsnitt.

1.1.7 Tidsdilatationen

Antag att S’ sänder iväg en ljussignal, som reflekteras mot en spegel på avståndet l och återvänder till S’ efter tiden Δt', allt uppmätt av S’. Tydligen är Δt' = 2l/c .

Figur 1.5: Ljusklocka i vila.

Händelseförloppet observeras också av S som rör sig rakt åt vänster (parallellt med spegeln) med hastigheten v. I förållande till S rör sig då hela apparaturen åt höger med hastigheten v och ljussignalens avsändande och återkomst äger rum i olika punkter.

Figur 1.6: Ljusklocka i rörelse.

Den sträcka ljuset har rört sig är längre enligt S än enligt S’ men ljusets fart är densamma (L-principen). Om S:s tid för hela händelseförloppet betecknas Δt får vi en rätvinklig triangel med mått enligt figur. Lägg särskilt märke till att hypotenusans längd cΔt/2 är en följd av L-principen. Pythagoras sats ger

Eliminering av l med hjälp av sambandet Δt' = 2l/c ger

som efter någon förenkling kan skrivas

Uttrycket i högerledet visar att Δt > Δt' då v ≠ 0. S uppmäter alltså ett större tidsintervall för S’, som rör sig i förhållande till S än vad S’ själv uppmäter. Effekten kallas tidsdilatation.²

Vi antar nu att det väsentliga i det erhållna sambandet (1.1) är tidsintervallens storlek, inte vilka händelser de hänför sig till. Med andra ord, om två händelser vilka som helst inträffar i samma punkt för en observatör S’ med tidsintervallet Δt' så kan händelsernas tidsintervall Δt för vilken observatör som helst beräknas ur (1.1).

650 (1.1) kan också skrivas

Under tidsintervallet Δt, uppmätt av S, mäter S’ den kortare tiden Δt' för händelser som för S’ inträffar i samma punkt. Tiden går långsammare för S’ än för S, enligt S:s mätning. Vid vardagliga hastigheter är v²/c² av storleksordningen 10−¹² eller mindre. Det krävs alltså hög fart eller hög precision för att kunna mäta effekten.

Fenomenet har dock iakttagits med hjälp av muoner, instabila elementarpartiklar som i vila lever 2,2·10−⁶ s och år 1972 med hjälp av atomklockor som transporterades runt jorden i flygplan. I det senare fallet jämfördes klockorna med en stationär klocka på marken, varvid man iaktog en skillnad av omkring 10−⁷ s, i överensstämmelse med uttrycket för tidsdilatationen.³

1.1.8 Längdkontraktion

Även rummet har enligt relativitetsteorin nya och oväntade egenskaper, som hänger direkt samman med tidens relativitet. Vi ska visa detta i ett enkelt tankeexperiment.

En instabil partikel bildas vid ena änden av en stav, rör sig längs denna med hastigheten v och sönderfaller då den når stavens andra ände. Om partikelns livstid är Δt' uppmätt av en medföljande observatör S’ och Δt enligt en observatör S i vila på staven så gäller (1.2). Stavens vilolängd, dvs dess längd uppmätt av S, betecknas l0 och längden i rörelse, dvs längd uppmätt av S’, betecknas l.

Figur 1.7: Längdkontraktion.

Således

eller

Insättning av detta i (1.2) ger

eller

Tydligen är l < l0 då v ≠ 0. Effekten kallas relativistisk längdkontraktion⁴ eller, av historiska skäl, lorentzkontraktion⁵.

Föremål i rörelse förkortas alltså i sin rörelseriktning (däremot inte i riktningar vinkelräta mot rörelseriktningen). Som vår härledning visar är fenomenet en konsekvens av tidens relativitet. Det är alltså inte fråga om någon mekanisk sammanpressning och effekten är helt oberoende av vilket material föremålet består av.

Klockor i rörelse går långsammare och måttstockar förkortas, inte på grund av sin fysikaliska sammansättning utan som ett uttryck för tidens och rummets relativitet. Vår omvärld kan förväntas ha ett egendomligt utseende om vi betraktar den i snabb rörelse.

1.1.9 Relativistisk aberration

Vi har konstaterat att ljusets fart i vakuum (c) är invariant. Däremot är ljusets rörelseriktning beroende av ljuskällans och observatörens relativa rörelse. Då man betraktar en ljuskälla i rörelse måste man titta något vid sidan om den punkt där ljuskällan för ögonblicket befinner sig.

Figur 1.8: Relativistisk aberration.

Om vinkelskillnaden är α och farten v så gäller

Tydligen är α vanligen en liten vinkel men dock ≠ 0 eftersom c är ändlig. Detta kallas aberration och upptäcktes av Bradley 1727 vid mätning av stjärnors lägen. Fenomenet förstärks i relativitetsteorin där det kan ses som en kombinerad effekt av ljusets rörelse och lorentzkontraktionen. Vid snabb rörelse kommer vi därför inte bara att se omgivningen kontraherad utan dessutom deformerad på ett egendomligt sätt.

En anmärkningsvärd följd av den relativistiska aberrationen är att små föremål ser helt oförändrade ut men däremot tycks de vara roterade i förhållande till sitt verkliga läge.

Betrakta som exempel en kub med kantlängden l som rör sig med farten v, i ett ögonblick då kubens mittpunkt just syns mitt i en synlinje vinkelrät mot kubens rörelseriktning.

Figur 1.9: Kubens läge.

Ljusets ändliga fart (aberrationen) gör att hörnet A syns en sträcka vl/c

Figur 1.10: Kubens utseende.

Men en kub i vila, roterad en vinkel α sådan att sin α = v/c, ser ut på precis samma sätt.

Figur 1.11: Roterad kub i vila.

Lorentzkontraktionen kamoufleras alltså som en rotation!

1.1.10 Sammanfattning av avsnitt 1.1

Erfarenheten visar att ljusets fart i vakuum är invariant, alltså oberoende av såväl ljuskällans som observatörens rörelse. En konsekvens av detta är rummets och tidens relativitet. Olika observatörer tilldelar, med samma rätt, händelseförlopp olika tidsinervall och ger rumsintervall olika värden. Föremål i rörelse åldras långsammare och förkortas i sin rörelseriktning.

1.1.11 Problem 1-7

Om v = c blir uttrycket för tidsdilatationen odefinierat. Vad innebär detta?

Vid vilken fart är ett föremål i rörelse förkortat till halva sin längd i rörelseriktningen?

Hur länge lever en muon vars livstid i vila är 2,2 · 10−⁶ s om den rör sig med farten 0,99c?

Rita graferna till funktionerna

för ett föremål med vilolängden l0 = 1,3 · 10⁷m som rör sig med farten 3,0 · 10⁴ m/s.

Hur fort ska man röra sig för att komma till Andromedagalaxen (avstånd 2,2 millioner ljusår) medan man åldras 10 år? På vilket avstånd befinner sig galaxen enligt rymdskeppet efter halva resan?

Fria neutroner lever 15 min. Hur fort ska en neutron röra sig för att hinna från solen till jorden (avstånd 1,5 · 10⁸ km) under sin livstid?

1.2 Paradoxer

1.2.1 Signaler och kausalitet

Med utgångspunkt från L-principen har vi kommit fram till att föremål i rörelse åldras långsammare. Experiment bekräftar detta och stöder alltså teorin. Vi har också sett att händelser som för en observatör är samtidiga kan inträffa vid olika tidpunkter för en annan observatör.

Låt oss nu betrakta två händelser E1 och E2 sådana att en signal kan gå från E1 till E2 (signal = orsakskedja som kan förmedla ett budskap; E1 är kausalt förbunden med E2; E1 kan orsaka E2). Exempelvis kan E1 vara händelsen att en atomkärna sönderfaller och kastar ut en elektron och E2 händelsen att denna elektron träffar en annan atomkärna. Elektronen fungerar då som signal. Rimligtvis måste E1 inträffa före E2 för alla observatörer. Men tänk om E1 och E2 sammanfaller med tändandet av r och g i tankeexperimentet i avsnitt 1.1.1. I så fall avsänds tydligen elektronen samtidigt som den kommer fram enligt S’ men enligt S avsänds den innan den kommer fram. Enligt en tredje observatör som rör sig åt höger jämfört med staven skulle elektronen komma fram innan den avsänds.

En beräkning visar (se appendix I.A) att elektronens fart enligt S skulle vara c²/v. Men uttrycket för tidsdilatationen och längdkontraktionen visar att föremål som kan befinna sig i vila alltid måste röra sig med en fart mindre än c. Alltså v < c vilket medför c²/v > c. Tydligen har vi begått ett misstag då E1 och E2 identifierades med tändandet av lamporna r och g. En elektron som avsänds från r då r tänds måste nå fram till g efter att g har tänts.

Skulle det bli bättre med en ljussignal än med en elektron? - Nej, samma resonemang som ovan ger farten c²/v > c då v < c vilket strider mot L-principen.

Vi ser alltså att vilka händelser som helst inte kan förmedla signaler i form av översändande av materiella föremål eller ljus. Såvida inga snabbare signaler finns så sätter ljuset en gräns för vilka händelser som kan påverka varandra.

Finns det då signaler snabbare än ljuset? Visserligen skulle detta ge paradoxala effekter men endast erfarenheten kan besvara frågan.⁶

1.3 Snabbare än ljuset?

1.3.1 Signaler

För signalöverföring kan för det första användas materiella föremål som alltid rör sig långsammare än ljuset. Detta inkluderar de flesta elementarpartiklar. För det andra kan användas vågrörelser som ljud och vattenvågor vilka rör sig långsammare än ljuset. Dessa innebär ju ingen transport av materia men väl av energi och kan alltså förbinda orsak och verkan. För det tredje kan ljus eller annan strålning som rör sig med ljusets fart och s k masslösa partiklar användas som signaler.

Snabbare signaler finns inte såvida inte ordningen mellan orsak och verkan kastas om. För att avgöra frågan har man utfört experiment där man sökt efter partiklar med högre fart än c, s k tachyoner. Utfallet har hittills varit negativt och stöder alltså den vanliga uppfattningen att ordningen mellan orsak och verkan bör vara densamma för alla observatörer.

Det är emellertid lätt att konstruera paradoxala tankeexperiment som tycks visa på en möjlighet till signaler snabbare än ljuset. Ett exempel är följande. Man slår till ena änden på en stel stav. Eftersom staven är stel kommer den omedelbart att flytta sig i hela sin längd och en stöt kan i samma ögonblick registreras i andra änden. Detta tycks innebära en ögonblicklig signalöverföring.

En närmare analys visar att tankeexperiment av den här typen innehåller förutsättningar som naturen kanske och kanske inte uppfyller. I det här fallet förutsättes att det finns absolut stela kroppar, vilket man emellertid aldrig har iakttagit. Erfarenheten visar i stället att en lokal deformation breder ut sig längs staven, en stötvåg, med fart mindre än c.

Figur 1.12: Stötvåg.

1.3.2 Rörelse som inte innebär signalöverföring

Antag att två raka stavar bildar en vinkel α och att den ena är i vila för en observatör S medan den andra rör sig med farten v vinkelrätt mot sin längdriktning. Om α är tillräckligt liten (t ex α = v/c) kommer skärningspunkten P att röra sig med en fart w > c även om v < c.

Figur 1.13: w = v/ sin α.

Det kan verka som man skulle kunna överföra ett meddelande med hjälp av P:s rörelse. Men det krävs då att den ena staven sätts i rörelse i hela sin längd så att den ändå förblir rak. Detta kräver att varje partikel i staven samtidigt accelereras t ex genom att en rad raketmotorer tänds samtidigt.

Figur 1.14: Ena staven sätts i rörelse.

Men redan detta kräver ju en signalöverföring för att starta den bortersta motorn samtidigt som den närmaste. Innan skärningspunkten P kan användas för att överföra ett meddelande måste man alltså redan ha skickat en signal hela den sträcka som meddelandet skulle överföras! P kan alltså röra sig fortare än ljuset men ändå inte användas som signal.

De tankeexperiment som hittills har konstruerats är av ettdera av två slag. Antingen förutsättes något som strider mot erfarenheten, t ex att det finns absolut stela kroppar, eller också kan den erhållna rörelsen inte användas för att överföra ett budskap. All erfarenhet hittills gör det berättigat att påstå att inga signaler är snabbare än ljuset i vakuum.

En direkt ljussignal i vakuum är den första signalen mellan två materiella partiklar.

1.3.3 Hyperbolisk rörelse

En materiell partikel kan aldrig passera en ljussignal. Däremot skulle man kanske kunns tro att en ljussignal förr eller senare kommer att passera en materiell partikel, eftersom denna rör sig med en fart mindre än c. Följande exempel visar att så inte är fallet. Antag att en partikels rörelse i ett väg-tid-diagram framställs av hyperbeln x² − c²t² = k.

Figur 1.15: Hyperbolisk rörelse.

Farten är

så rörelsen är möjlig. Ljus som utsändes från punkten x = 0 vid tiden t = 0 kommer att röra sig så att x = ct. Denna linje skär aldrig hyperbeln och ljuset hinner inte upp partikeln! Man kan aldrig vara nog försiktig.

1.3.4 Längdkontraktionsparadoxer

1.3.5 Staven och skivan

En smal stav har vilolängden l0 och en tunn skiva har ett cirkelrunt hål med diametern l0/2 i vila. Vid rörelse enligt figur (observatör S) kommer staven att vara kontraherad och kan alltså passera genom hålet.

Figur 1.16: Stav och skiva i rörelse.

Men sett från staven tycks hålet vara för litet. Enligt relativitetsprincipen borde detta vara ett lika riktigt resonemang.

Figur 1.17: Staven i vila.

En noggrannare undersökning visar emellertid att skivan sett från staven kommer att luta så att staven kommer genom hålet.