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Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral
Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral
Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral
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Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral

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About this ebook

Dieses Buch kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Aber es ist auch für Lehrer geeignet, die sich mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Weiterhin ist dieses Buch für alle gedacht, die sich mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk und in gewissen Grenzen auch als Begleitung für ein Studium mit physikalisch-technischem Hintergrund verwendet werden.
Lösung von mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.
LanguageDeutsch
Release dateApr 24, 2015
ISBN9783738679649
Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral
Author

Werner Fricke

Werner Fricke, geboren am 19.11.49, ist wohnhaft in Schwerte. Nach dem Maschinenbaustudium war er wissenschaftlicher Angestellter der Abteilung Maschinenbau an der Universität Dortmund. Danach gründete er die Fa. DRIGUS GmbH und widmete sich der Entwicklung von Hard- und Software für den Bereich des Industrial-Engineering. Im Rahmen seiner Tätigkeiten beschäftigte er sich mit der Schulung und Beratung in den Bereichen mathematische Statistik, Programmiertechnik, Zeitstudientechnik und Planzeitbildung. Er veröffentlichte folgende Bücher: Rechnergestützte Planung von Übergabesystemen zwischen Transport und Fertigung, VDI-Verlag Düsseldorf Statistik in der Arbeitsorganisation, Hanser Verlag München Mathematik verstehen Band 1: von den Grundlagen bis zum Integral, BoD - Verlag Mathematik verstehen Band 2: Grundlagen für das Studium naturwissenschaftlicher und technischer Fächer, BoD - Verlag Mathematik verstehen Band 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, BoD - Verlag Arbeits- und Zeitwirtschaft verstehen: von der Zeitstudie bis zur Abtaktung, BoD - Verlag

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    Book preview

    Mathematik verstehen Band 1 - Werner Fricke

    Vorwort

    „Die Mathematik ist eine Mausefalle. Wer einmal in dieser Falle gefangen sitzt, findet selten den Ausgang, der zurück in seinen vormathematischen Seelenzustand leitet. ..."

    So beginnt das Vorwort zu Egmont Colerus legendärem Lehrbuch der Mathematik für interessierte Nichtmathematiker: „Vom Einmaleins zum Integral (1934)".

    Als ich mich auf mein Studium vorbereiten wollte, fiel mir durch Zufall dieses Buch in die Hände. Nachdem ich zu lesen begonnen hatte, kam ich nicht mehr davon los und arbeitete das Buch in einem Zug durch. Ich muss sagen, dass ich nur selten eine derart klare, einfache und höchst verständliche Darstellung mathematischer Zusammenhänge gefunden habe. Leider ist dieses Buch nicht mehr erhältlich, so dass ich mich entschloss dem Vorbild zu folgen und eine möglichst verständliche und darüber hinaus flüssig lesbare Übersicht der Mathematik von den Grundlagen bis hin zum Integral zu erstellen. Ich bin sicher, dass dieses Buch für den mathematischen Laien eine große Hilfe sein kann, ein Verständnis mathematischer Zusammenhänge zu entwickeln.

    Dieses Buch kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Ich hoffe auch, dass sich einige Lehrer mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Weiterhin ist dieses Buch für alle gedacht, die sich mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk und in gewissen Grenzen auch als Begleitung für ein Studium mit physikalisch-technischem Hintergrund verwendet werden.

    Egmont Colerus war Schriftsteller und arbeitete als Beamter im österreichischen Bundesamt für Statistik. Vielleicht gerade weil er kein Vollmathematiker war, musste er sich die mathematischen Zusammenhänge hart erarbeiten und konnte diese dann so deutlich darstellen. Auch ich bin kein Mathematiker, sondern Ingenieur des Maschinenbaus. Ich bin also keiner, der nach einem anfänglichen Ansatz mit den Worten:

    „... und wie jeder deutlich erkennen kann, handelt es sich hierbei um..."

    die Lösung eines mathematischen Problems aus dem Hut zaubert. Im Gegensatz dazu habe ich versucht, die mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten zu lösen, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

    Schwerte, im Frühjahr 2015

    Werner Fricke

    Inhaltsverzeichnis

    Grundlagen der Mengenlehre

    1.1 Darstellung und Definition von Mengen

    1.2 Die Mächtigkeit von Mengen

    1.3 Beschreibung von Mengen durch ihre Eigenschaften

    1.4 Teilmengen, Unter-/Obermengen, Gleichheit von Mengen

    1.5 Mengenoperationen

    1.5.1 Die Schnittmenge

    1.5.2 Die Vereinigungsmenge

    1.5.3 Die Differenzmenge (Restmenge)

    1.5.4 Die symmetrische Differenz

    1.6 Zusammenfassung Mengenlehre

    Allgemeine Grundlagen der Arithmetik und Algebra

    2.1 Zahlen und Zahlensysteme

    2.1.1 Zahlenmengen, Zahlengerade und Eigenschaften von Zahlen

    2.1.2 Das Dezimalsystem

    2.1.3 Allgemeine Zahlensysteme

    2.2 Rechnen mit reellen Zahlen

    2.2.1 Die Grundrechenarten

    2.2.1.1 Addition und Subtraktion

    2.2.1.2 Multiplikation

    2.2.1.3 Division

    2.2.1.4 Die Bruchrechnung

    2.2.1.5 Reihenfolge der Rechenoperationen und Klammersetzung

    2.2.1.6 Ungleichungen und Intervalle

    2.2.1.7 Rundungsregeln, Rundungsfehler und signifikante Stellen

    2.2.2 Potenz- und Wurzelrechnung

    2.2.2.1 Die Potenzrechnung

    2.2.2.2 Die Wurzelrechnung oder Radizierung

    2.2.2.3 Beispiele für Potenz- und Wurzelrechnung

    2.2.3 Logarithmenrechnung

    2.2.4 Binomische Formeln

    2.3 Zusammenfassung Grundlagen der Arithmetik und Algebra

    Gleichungen mit einer Unbekannten

    3.1 Einleitung

    3.1.1 Umformung von Gleichungen

    3.1.2 Einführung der Unbekannten x

    3.2 Lineare Gleichungen

    3.3 Quadratische Gleichungen

    3.4 Zusammenfassung Gleichungen mit einer Unbekannten

    Geometrie

    4.1 Ebene Geometrie, Planimetrie

    4.1.1 Grundelemente der ebenen Geometrie

    4.1.1.1 Der Punkt:

    4.1.1.2 Die Strecke

    4.1.1.3 Der Strahl

    4.1.1.4 Die Gerade

    4.1.1.5 Die Parallele

    4.1.1.6 Die Winkel

    4.1.2 Geometrische Grundkonstruktionen

    4.1.2.1 Der geometrische Ort, Ortslinien

    4.1.2.2 Rechter Winkel, Lot, Streckenhalbierung oder Mittelsenkrechte

    4.1.2.3 60° Winkel

    4.1.2.4 Halbierung eines beliebigen Winkels

    4.1.2.5 Addition von Winkeln

    4.1.2.6 Subtraktion von Winkeln

    4.1.2.7 Parallelen

    4.1.2.8 Unterteilung von Strecken

    4.1.2.8.1 Unterteilung einer Strecke in gleiche Teilstrecken

    4.1.2.8.2 Innere Teilung einer Strecke

    4.1.2.8.3 Äußere Teilung einer Strecke

    4.1.2.9 Der Strahlensatz

    4.1.3 Dreiecke

    4.1.3.1 Allgemeine Dreiecke

    4.1.3.1.1 Grundelemente allgemeiner Dreiecke

    4.1.3.1.2 Die Flächenberechnung eines Dreiecks

    4.1.3.1.3 Ähnlichkeit von Dreiecken

    4.1.3.1.4 Kongruenz von Dreiecken

    4.1.3.2 Rechtwinklige Dreiecke

    4.1.3.2.1 Allgemeines

    4.1.3.2.2 Satz des Thales (Thaleskreis)

    4.1.3.2.3 Satz des Pythagoras

    4.1.3.2.4 Höhensatz

    4.1.3.2.5 Kathetensatz (Satz des Euklid)

    4.1.3.2.6 Der Sinussatz

    4.1.3.2.7 Der Kosinussatz

    4.1.3.3 Gleichschenklige Dreiecke

    4.1.3.4 Gleichseitige Dreiecke

    4.1.3.5 Die Konstruktion von Dreiecken

    4.1.3.5.1 Seite, Seite, Seite (SSS)

    4.1.3.5.2 Seite, Winkel, Seite (SWS)

    4.1.3.5.3 Winkel, Seite, Winkel (WSW)

    4.1.3.5.4 Winkel, Winkel, Seite (WWS)

    4.1.3.5.5 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite 2. Seite)

    4.1.3.5.6 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite < 2. Seite)

    4.1.3.5.7 Seite, Seitenhalbierende und anliegender Winkel der Seite

    4.1.3.5.8 Seite, Mittelsenkrechte und anliegender Winkel der Seite

    4.1.3.5.9 Seite, Höhe zur Seite und anliegende Seite

    4.1.3.5.10 2 Seiten und gegenüberliegende Höhe

    4.1.3.5.11 1 Seite, zugehörige Höhe und weitere Höhe

    4.1.3.5.12 3 Höhen

    4.1.3.5.13 Pythagoras und Sinussatz

    4.1.4 Vierecke

    4.1.4.1 Allgemeine Vierecke

    4.1.4.1.1 Grundelemente allgemeiner Vierecke

    4.1.4.1.2 Diagonale, Winkelsumme und Flächeninhalt

    4.1.4.2 Das Trapez

    4.1.4.3 Das Parallelogramm

    4.1.4.4 Raute oder Rhombus

    4.1.4.5 Das Rechteck

    4.1.4.6 Das Quadrat

    4.1.5 N-Eck oder Polygon

    4.1.5.1 Allgemeines n-Eck oder Polygon

    4.1.5.2 Das regelmäßige n-Eck oder regelmäßige Polygon

    4.1.6 Der Kreis

    4.1.6.1 Grundelemente eines Kreises

    4.1.6.2 Der Kreisbogen

    4.1.6.3 Die Kreissehne

    4.1.6.4 Das Kreissegment

    4.1.6.5 Der Kreissektor

    4.1.6.6 Sekante, Tangente und Passante (Gerade und Kreis)

    4.1.6.7 Die Mittelsenkrechten der Kreissehnen

    4.1.6.8 Die Tangente und die Mittelsenkrechte der Kreissehne

    4.1.6.9 Zentriwinkel und Peripheriewinkel

    4.1.6.10 Umfang eines Kreises

    4.1.6.11 Fläche eines Kreises

    4.1.6.12 Die Kreisringfläche

    4.1.6.13 Winkelmaße Gradmaß und Bogenmaß

    4.1.6.14 Fläche eines Kreissektors

    4.1.6.15 Fläche eines Kreissegments

    4.1.6.16 Geometrische Konstruktionen mit Punkt, Gerade und Kreis

    4.1.7 Die Ellipse

    4.2 Räumliche Geometrie, Stereometrie

    4.2.1 Prismen

    4.2.1.1 Das schiefe Prisma

    4.2.1.2 Das gerade Prisma

    4.2.1.3 Das regelmäßige Prisma

    4.2.1.4 Das Parallelepipel

    4.2.1.5 Quader

    4.2.1.6 Würfel

    4.2.2 Pyramiden

    4.2.2.1 Allgemeine Pyramide

    4.2.2.2 Reguläre Pyramide

    4.2.2.3 Tetraeder und regulärer Tetraeder

    4.2.2.4 Pyramidenstumpf

    4.2.2.5 Obelisk

    4.2.3 Keil

    4.2.4 Zylinder

    4.2.4.1 Allgemeiner Zylinder

    4.2.4.2 Kreiszylinder und gerader Kreiszylinder

    4.2.5 Kegel

    4.2.5.1 Allgemeiner Kegel

    4.2.5.2 Kreiskegel und gerader Kreiskegel

    4.2.5.3 Kegelstumpf

    4.2.6 Kugel

    4.2.6.1 Allgemeine Kugel

    4.2.6.2 Kugelausschnitt oder -sektor

    4.2.6.3 Kugelabschnitt oder -segment

    4.2.6.4 Kugelzone oder Kugelschicht

    4.2.7 Torus, Kreisringtorus

    4.2.8 Guldinsche Regeln

    4.3 Zusammenfassung Geometrie

    Trigonometrie

    5.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

    5.2 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

    5.2.1 Der Sinussatz

    5.2.2 Der erweiterte Sinussatz

    5.2.3 Der Kosinussatz

    5.2.4 Der Projektionssatz

    5.2.5 Die Höhenformeln

    5.2.6 Der Tangentensatz

    5.2.7 Die Flächenformel

    5.3 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen

    5.3.1 Grundumformungen

    5.3.2 Umrechnungen zwischen den trigonometrischen Funktionen

    5.3.3 Die Additionstheoreme

    5.3.4 Die Summenformeln

    5.3.5 Produkte der Winkelfunktionen

    5.3.6 Potenzen der Winkelfunktionen

    5.3.7 Funktionen von Winkelvielfachen

    5.3.8 Funktionen des halben Winkels

    5.3.9 Funktionen der Seitenhalbierenden

    5.3.10 Funktionen der Winkelhalbierenden

    5.3.11 Berechnung des Inkreisradius

    5.3.12 Beziehungen zwischen 3 Winkeln mit Winkelsumme = 360°

    5.4 Aufgaben zur Trigonometrie

    5.4.1 Berechnung von Dreiecken

    5.4.1.1 Seite, Seite, Seite (SSS)

    5.4.1.2 Seite, Winkel, Seite (SWS)

    5.4.1.3 Winkel, Seite, Winkel (WSW)

    5.4.1.4 Winkel, Winkel, Seite (WWS)

    5.4.1.5 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite 2. Seite)

    5.4.1.6 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite < 2. Seite)

    5.4.1.7 Seite, Seitenhalbierende der Seite und anliegender Winkel der Seite

    5.4.1.8 Seite, Mittelsenkrechte und anliegender Winkel der Seite

    5.4.1.9 Seite, Höhe zur Seite und anliegende Seite

    5.4.1.10 2 Seiten und gegenüberliegende Höhe

    5.4.1.11 1 Seite, zugehörige Höhe und weitere Höhe

    5.4.1.12 Berechnung der übrigen Größen eines Dreiecks

    5.4.2 Berechnung von Strecken aus gemessenen Winkeln

    5.4.2.1 Gegeben: Standlinie c und 4 an c angrenzende Winkel

    5.4.2.2 Gegeben: 3 Seiten eines Dreiecks und der Standpunkt P

    5.4.2.3 Allgemeine Aufgaben zur Trigonometrie

    5.5 Zusammenfassung Trigonometrie

    Koordinatensysteme

    6.1 Ebene Koordinatensysteme

    6.1.1 Ebene rechtwinklige Koordinaten

    6.1.2 Ebene Polarkoordinaten

    6.1.3 Umrechnungen rechtwinklige Koordinaten in Polarkoordinaten

    6.1.4 Umrechnungen Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten

    6.1.5 Transformationen eines rechtwinkligen Koordinatensystems

    6.1.5.1 Parallelverschiebung eines rechtwinkligen Koordinatensystems

    6.1.5.2 Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems

    6.2 Räumliche Koordinatensysteme

    6.2.1 Räumliche rechtwinklige (kartesische) Koordinaten

    6.2.2 Räumliche Zylinderkoordinaten

    6.2.3 Umrechnungen rechtwinklige und Zylinderkoordinaten

    6.2.4 Kugelkoordinaten

    6.2.5 Umrechnungen rechtwinklige und Kugelkoordinaten

    6.3 Zusammenfassung Koordinatensysteme

    Einführung in die Vektorrechnung

    7.1 Grundlagen

    7.2 Besondere Vektoren:

    7.3 Eigenschaften zweier Vektoren zueinander

    7.3.1 Gleichheit zweier Vektoren

    7.3.2 Parallelität zweier Vektoren

    7.3.3 Anti – Parallelität zweier Vektoren

    7.3.4 Kollinearität zweier Vektoren

    7.3.5 Inverse Vektoren

    7.4 Rechenoperationen mit Vektoren

    7.4.1 Addition von Vektoren

    7.4.2 Subtraktion von Vektoren

    7.4.3 Der Einheitsvektor

    7.4.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

    7.5 Die Komponentendarstellung von Vektoren

    7.5.1 Komponentendarstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem

    7.5.2 Gleichheit von Vektoren in Komponentendarstellung

    7.5.3 Parallelität von Vektoren in Komponentendarstellung

    7.5.4 Addition von Vektoren in Komponentendarstellung

    7.5.5 Subtraktion von Vektoren in Komponentendarstellung

    7.5.6 Multiplikation Skalar – Vektor in Komponentendarstellung

    7.6 Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

    7.7 Zusammenfassung Vektorrechnung

    Folgen und Reihen

    8.1 Zahlenfolgen

    8.1.1 Allgemeines

    8.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen

    8.2 Reihen

    8.2.1 Arithmetische Reihen

    8.2.2 Geometrische Reihen

    8.2.2.1 Endliche geometrische Reihen

    8.2.2.2 Grenzwerte von geometrischen Reihen

    8.2.2.3 Prozent- und Zinsrechnung

    8.2.2.3.1 Allgemeines über Prozente

    8.2.2.3.2 Zinseszinsrechnung

    8.2.2.3.3 Zahlungsreihen

    8.3 Zusammenfassung Folgen und Reihen

    Algorithmen zur Lösung von Gleichungssystemen

    9.1 Allgemeines zu Algorithmen

    9.2 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

    9.2.1 Substitutions- oder Einsetzungsmethode

    9.2.2 Gleichsetzungsmethode

    9.2.3 Subtraktions- und Additionsmethode

    9.2.4 Der Gauß-Algorithmus für 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

    9.3 Der Gauß-Algorithmus für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

    9.4 Zusammenfassung Lösung von Gleichungssystemen

    Funktionen und deren grafische Darstellung

    10.1 Grundsätzliches zu Funktionen

    10.1.1 Nullstellen einer Funktion

    10.1.2 Steigung einer Funktion

    10.1.3 Extremwerte einer Funktion

    10.1.4 Wendepunkte und Sattelpunkte einer Funktion

    10.1.5 Symmetrie einer Funktion

    10.1.6 Monotonie einer Funktion

    10.1.7 Periodizität einer Funktion

    10.1.8 Umkehrfunktion einer Funktion

    10.2 Ganze rationale Funktionen (Polynome)

    10.2.1 Die Geradengleichung

    10.2.2 Quadratische Funktionen (Parabeln 2. Grades)

    10.2.2.1 Parabel aus drei gegebenen Punkten

    10.2.2.2 Parabel aus Scheitelpunktskoordinaten und Faktor a

    10.2.2.3 Parabel aus Scheitelpunktskoordinaten und Faktor b

    10.2.2.4 Parabel aus Scheitelpunktskoordinaten und weiterem Punkt

    10.2.2.5 Parabel aus Scheitelpunktskoordinate xs und zwei weiteren Punkten

    10.2.2.6 Parabel aus Scheitelpunktskoordinate ys und zwei weiteren Punkten

    10.2.2.7 Die Nullstellen einer Parabel 2. Grades

    10.2.2.8 Zerlegung einer Parabel 2. Grades in Linearfaktoren

    10.2.2.9 Aufgaben zu den Parabeln 2. Grades

    10.2.3 Polynome 3. Grades

    10.2.3.1 Berechnung eines Polynoms 3. Grades aus vier gegeben Punkten

    10.2.3.2 Linearfaktoren einer Parabel 3. Grades durch Polynomdivision

    10.2.4 Polynomfunktionen höheren Grades (n-ten Grades)

    10.2.5 Das Horner-Schema

    10.3 Gebrochene rationale Funktionen

    10.3.1 Allgemeines

    10.3.2 Nullstellen

    10.3.3 Unendlichkeitsstellen oder Polstellen

    10.3.4 Zähler und Nenner mit gemeinsamen Nullstellen

    10.3.5 Asymptoten von gebrochen rationalen Funktionen

    10.4 Wurzelfunktionen

    10.5 Trigonometrische Funktionen

    10.5.1 Winkelmaße

    10.5.2 Die Sinusfunktion

    10.5.3 Die Kosinusfunktion

    10.5.4 Die Tangensfunktion

    10.5.5 Die Kotangensfunktion

    10.5.6 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

    10.5.6.1 Multiplikation der Funktion mit Faktor a – Amplitudenänderung

    10.5.6.2 Multiplikation des Winkels mit Faktor b – Frequenzänderung

    10.5.6.3 Addition des Winkels mit Zahl c – Verschieben auf der x-Achse

    10.5.6.4 Addition einer Zahl d zur Funktion - Verschieben auf der y-Achse

    10.5.6.5 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion

    10.5.7 Der Einheitskreis

    10.6 Die Arkusfunktionen

    10.6.1 Arkussinus- und Arkuscosinusfunktion

    10.6.2 Arkustangens- und Arkuscotangensfunktion

    10.7 Die Exponentialfunktionen

    10.8 Die Logarithmusfunktionen

    10.9 Gleichungen der Kegelschnitte

    10.9.1 Allgemeines über Kegelschnitte

    10.9.2 Die Kreisgleichung

    10.9.3 Die Ellipsengleichung

    10.9.4 Die Parabelgleichung

    10.9.5 Die Hyperbelgleichung

    10.9.6 Allgemeine quadratische Form von Kegelschnitten

    10.9.7 Aufgaben zu den Kegelschnitten

    10.10 Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen

    10.10.1 Hyperbolische Funktionen

    10.10.2 Areafunktionen

    10.11 Zusammenfassung Funktionen

    Grenzwerte von Funktionen

    11.1 Allgemeines

    11.2 Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen

    11.3 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken

    11.3.1 Anwendung der Rechenregeln bei unbestimmten Ausdrücken

    11.3.2 Grenzwertregel von Bernoulli und L´Hospital

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